Giải SGK toán 11 trang 55 tập 2
Giải SGK toán 11 KNTT trang 55 Bài 26
Bài Giải SGK Toán 11 trang 55 tập 2 hướng dẫn học sinh tìm hiểu và vận dụng kiến thức trọng tâm trong Bài 26: Khoảng cách – Toán 11 Kết nối tri thức (KNTT). Thông qua lời giải từng bài tập, các em có thể củng cố cách xác định khoảng cách trong hình học không gian, rèn luyện tư duy hình học và nắm chắc phương pháp trình bày lời giải.
Giải luyện tập 1 trang 55 Toán 11 KNTT Tập 2
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AA' = h (H.7.77).
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').
b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng cách từ A đến BC'.
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
a) Ta có:
ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng => BB' ⊥ (ABC) => (BCC'B') ⊥ (ABC).
Hạ AH ⊥ BC tại H.
Ta có: 
\(\left. \begin{array}{l}
\left( {BCC'B'} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\
\left( {BCC'B'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\
AH \subset \left( {ABC} \right)\\
AH \bot BC
\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
=> AH chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a.
Xét tam giác ABC vuông cân tại A ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}}\\
\Rightarrow AH = \frac{a}{{\sqrt 2 }}
\end{array}\)
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') bằng \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\).
b) Ta có:
Tam giác ABC vuông cân tại A => AB ⊥ AC.
Vì AA' ⊥ (ABC) nên AA' ⊥ AB mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ (ACC'A')
=> AB ⊥ AC'.
=> Tam giác ABC' là tam giác vuông tại A.
Hạ AK ⊥ BC' tại K. Khi đó d(A, BC') = AK.
Vì ACC'A' là hình chữ nhật nên AC′2=AA′2+A′C′2=h2+a2
Xét tam giác ABC' vuông tại A, AK là đường cao, ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{AC{'^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2} + {h^2}}} = \frac{{2{a^2} + {h^2}}}{{{a^2}\left( {{a^2} + {h^2}} \right)}}\\
\Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}{{\sqrt {2{a^2} + {h^2}} }} = a.\sqrt {\frac{{{a^2} + {h^2}}}{{2{a^2} + {h^2}}}}
\end{array}\)
Vậy khoảng cách từ A đến BC' bằng \(a.\sqrt {\frac{{{a^2} + {h^2}}}{{2{a^2} + {h^2}}}}\).
Giải hoạt động 2 trang 55 Toán 11 KNTT Tập 2
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm M; N bất kỳ thuộc a và gọi A; B tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (P) (H.7.78).
Giải thích vì sao ABNM là một hình chữ nhật và M, N có cùng khoảng cách đến (P).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
A, B lần lượt là các hình chiếu của M, N trên (P)
=> AM ⊥ (P), BN ⊥ (P).
=> AM // BN hay A, B, M, N cùng thuộc một mặt phẳng.
Vì MN // (P) và (ABNM) ∩ (P) = AB nên MN // AB.
Vì AM // BN và MN // AB nên ABNM là hình bình hành.
Mặt khác AM ⊥ (P) nên AM ⊥ AB. Do đó ABNM là hình chữ nhật.
Vì ABNM là hình chữ nhật nên AM = BN nên M, N có cùng khoảng cách đến (P).
---------------------------
Với phần Giải Toán 11 KNTT Bài 26: Khoảng cách, học sinh có thể ôn lại các kiến thức cần thiết và hiểu rõ hơn cách áp dụng vào từng dạng bài hình học không gian. Hãy chủ động làm bài trước khi tham khảo đáp án, chú ý các bước xác định khoảng cách và căn cứ hình học để nâng cao khả năng vận dụng khi học tập, ôn thi.
