Toán 11 Bài 22 Hai đường thẳng vuông góc

Trong hình học không gian, quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng là kiến thức quan trọng giúp học sinh phân tích hình vẽ và giải quyết nhiều bài toán về góc, khoảng cách. Với Toán 11 Bài 22 Hai đường thẳng vuông góc, bài viết cung cấp lời giải sách giáo khoa Toán 11 KNTT tập 2 rõ ràng, hỗ trợ các em hiểu bản chất lý thuyết, nắm vững cách vận dụng định nghĩa và tính chất để hoàn thành bài tập chính xác.

Giải SGK toán 11 trang 27 tập 2

Câu hỏi mở đầu trang 11 Toán 11 KNTT Tập 2

Đối với các nút giao thông cùng mức hay khác mức, để có thể dễ dàng bố trí các nhánh rẽ và để người tham gia giao thông có góc nhìn đảm bảo an toàn, khi thiết kế người ta đều cố gắng để các tuyến đường tạo với nhau một góc đủ lớn và tốt nhất là góc vuông. Đối với nút giao thông cùng mức, tức là các đường giao nhau, thì góc giữa chúng là góc giữa hai đường thẳng mà ta đã biết. Còn đối với các nút giao khác mức, tức là các đường thẳng chéo nhau, thì góc giữa chúng được hiểu như thế nào? Bài học này sẽ đề cập tới đối tượng toán học tương ứng.

Hướng dẫn giải

Bài học này sẽ giúp chúng ta tìm hiểu về góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Giải SGK toán 11 trang 28 tập 2

Hoạt động 1 trang 28 Toán 11 KNTT Tập 2

Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau m và n. Từ hai điểm phân biệt O, O' tuỳ ý lần lượt kẻ các cặp đường thẳng a, b và a', b' tương ứng song song với m, n (H.7.2).

a) Mỗi cặp đường thẳng a, a' và b, b' có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?

b) Lấy các điểm A, B (khác O) tương ứng thuộc a, b. Đường thẳng qua A song song với OO' cắt a' tại A', đường thẳng qua B song song với OO' cắt b' tại B'. Giải thích vì sao OAA'O'; OBB'O'; ABB'A' là các hình bình hành.

c) So sánh góc giữa hai đường thẳng a, b và góc giữa hai đường thẳng a', b'.

(Gợi ý: Áp dụng định lí côsin cho các tam giác OAB, O'A'B' ).

Hướng dẫn giải

a) Mỗi cặp đường thẳng a, a' và b, b' cùng thuộc một mặt phẳng vì a // a' và b // b'.

b) Ta có: a // a' =>OA // O'A'.

Vì OA // O'A' và AA' // OO' nên OAA'O' là hình bình hành.

Lại có: b // b' => OB // O'B'.

Vì OB // O'B' và BB' // OO' nên OBB'O' là hình bình hành.

Vì OAA'O' là hình bình hành nên AA' = OO', OBB'O' là hình bình hành nên BB' = OO', suy ra AA' = BB'.

Vì AA' // OO' và BB' // OO' nên BB' // AA'.

Vì AA' = BB' và BB' // AA' nên ABB'A' là hình bình hành.

c) Ta có góc giữa hai đường thẳng a, b là và \(\widehat {AOB}\) góc giữa hai đường thẳng a', b' là \(\widehat {A'O'B'}\).

Vì OAA'O' là hình bình hành nên OA = O'A'.

Vì OBB'O' là hình bình hành nên OB = O'B'.

Vì ABB'A' là hình bình hành nên AB = A'B'.

Do đó DOAB và DO'A'B' có các cạnh tương ứng bằng nhau.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB có: \(\cos \widehat {AOB} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}}\).

Áp dụng định lí côsin cho DO'A'B' có: \(\cos \widehat {A'O'B'} = \frac{{O'A{'^2} + O'B{'^2} - A'B{'^2}}}{{2.O'A'.O'B'}}\).

Do tam giác OAB và tam giác O'A'B' có các cạnh tương ứng bằng nhau nên \(\cos \widehat {AOB} = \cos \widehat {A'O'B'}\).

Vậy góc giữa hai đường thẳng a, b và góc giữa hai đường thẳng a', b' bằng nhau.

Câu hỏi trang 28 Toán 11 KNTT Tập 2

Nếu a song song hoặc trùng với a' và b song song hoặc trùng với b' thì (a, b) và (a', b') có mối quan hệ gì?

Hướng dẫn giải

Nếu a song song hoặc trùng với a' và b song song hoặc trùng với b' thì (a, b) = (a', b').

Giải SGK toán 11 trang 29 tập 2

Vận dụng trang 29 Toán 11 KNTT Tập 2

Kim tự tháp Kheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219 m (kích thước hiện nay).(Theo britannica.com).

Tính (gần đúng) góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Vì ABCD là hình vuông nên AB // CD.

=> \(\left( {SC,AB} \right) = \left( {SC,CD} \right) = \widehat {SCD}\)

Gọi H là trung điểm của CD DH=HC=CD/2=230/2=115(m).

Vì tam giác SCD có SC = SD nên tam giác SCD cân tại S mà SH là trung tuyến nên SH là đường cao.

Xét tam giác SHC vuông tại H có:

\(\begin{array}{l} \cos \widehat {SCD} = \cos \widehat {SCH} = \frac{{HC}}{{HS}} = \frac{{115}}{{219}}\\ \Rightarrow \widehat {SCD} \approx 58,{3^0} \end{array}\)

Vậy góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp khoảng 58,3°.

Hoạt động 2 trang 29 Toán 11 KNTT Tập 2

Đối với hai cánh cửa trong Hình 7.5, tính góc giữa hai đường mép cửa BC và MN.

Hướng dẫn giải

Vì khuôn cửa và hai cánh cửa là các hình chữ nhật hay ABCD và MNPQ là các hình chữ nhật nên BC // AD mà AD // MQ

=> BC // MQ.

=> (BC, MN) = (MQ, MN) = \(\widehat {QMN}\).

Do MNPQ là hình chữ nhật nên \(\widehat {QMN} = {90^0}\)

Vậy góc giữa hai đường mép cửa BC và MN bằng 90°.

Câu hỏi trang 29 Toán 11 KNTT Tập 2

Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì a có vuông góc với các đường thẳng song song với b hay không?

Hướng dẫn giải

Vì a ⊥ b nên (a, b) = 90° mà b // c nên (a, b) = (a, c) = 90°. Vậy a ⊥ c.

Giải SGK toán 11 trang 30 tập 2

Luyện tập trang 30 Toán 11 KNTT Tập 2

Cho tam giác MNP vuông tại N và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng (MNP). Lần lượt lấy các điểm B, C, D sao cho M, N, P tương ứng là trung điểm của AB, AC, CD (H.7.7). Chứng minh rằng AD và BC vuông góc với nhau và chéo nhau.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

=> MN // BC.

Xét tam giác ACD có N là trung điểm của AC, P là trung điểm của CD nên NP là đường trung bình của tam giác ACD

=> NP // AD.

=> (AD, BC) = (NP, MN) = \(\widehat {MNP}\).

Do tam giác MNP vuông tại N nên \(\widehat {MNP} = {90^0}\).

Vậy AD và BC vuông góc với nhau.

Nếu D ∈ (ABC) thì A ∈ (MNP) (vô lí).

Do đó D ∉ (ABC) nên AD và BC chéo nhau.

Bài 7.1 trang 30 Toán 11 KNTT Tập 2

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều. Tính góc (AB, B'C').

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên các mặt bên là hình bình hành.

Do ABB'A' là hình bình hành nên AB // A'B'.

Khi đó (AB, B'C') = (A'B', B'C') = \(\widehat {A'B'C'}\).

Do tam giác A'B'C' là tam giác đều nên \(\widehat {A'B'C'} = {60^0}\).

Vậy (AB, B'C') = 60°.

Bài 7.2 trang 30 Toán 11 KNTT Tập 2

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng tứ diện ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng nhau nên các mặt của hình hộp là hình thoi.

Vì ABB'A' là hình thoi nên AB' ⊥ A'B.

Có CB // A'D' và CB = A'D' (do cùng song song và bằng AD). Do đó CBA'D' là hình bình hành

=> CD' // BA'.

=> (CD', AB') = (BA', AB') = 90°.

Vậy CD' và AB' vuông góc với nhau.

Vì ADD'A' là hình thoi nên AD' ⊥ A'D.

Có CD // A'B' và CD = A'B' (vì CD, A'B' cùng song song và bằng AB) nên CDA'B' là hình bình hành, suy ra CB' // DA'.

=> (CB', AD') = (DA', AD') = 90°.

Vậy CB' và AD' vuông góc với nhau.

Do ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD.

Vì BB' // DD' và BB' = DD' (do BB', DD' cùng song song và bằng AA' ) nên BDD'B' là hình bình hành

=> BD // B'D'.

=> (AC, B'D') = (AC, BD) = 90°.

Vậy AC và B'D' vuông góc với nhau.

Bài 7.3 trang 30 Toán 11 KNTT Tập 2

Cho tứ diện ABCD có \(\widehat {CBD} = {90^0}\).

a) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng MN vuông góc với B

b) Gọi G, K tương ứng là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD. Chứng minh rằng GK vuông góc với BC.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Xét tam giác ABD, có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD

=> MN // BD.

=> (MN, BC) = (BD, BC) = \(\widehat {CBD} = {90^0}\).

Vậy MN vuông góc với BC.

b) Gọi AG cắt BC tại E=> E là trung điểm BC

Gọi AK cắt CD tại F => F là trung điểm CD.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC => \(\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{2}{3}\)

K là trọng tâm tam giác ACD =>  \(\frac{{AK}}{{AF}} = \frac{2}{3}\)

Xét tam giác AEF có \(\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{{AK}}{{AF}} = \frac{2}{3}\) => GK // EF.

Xét tam giác BCD có E, F lần lượt là trung điểm của BC, CD nên EF là đường trung bình => EF // BD.

Vì GK // EF và EF // BD nên GK // BD mà BD ⊥ BC suy ra GK ⊥ BC.

Bài 7.4 trang 30 Toán 11 KNTT Tập 2

Đối với nhà gỗ truyền thống, trong các cấu kiện: hoành, quá giang, xà cái, rui, cột tương ứng được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 như trong Hình 7.8, những cặp cấu kiện nào vuông góc với nhau?

Hướng dẫn giải

Những cặp đường thẳng sau vuông góc với nhau: hoành (1) và quá giang (2); hoành (1) và rui (4); hoành (1) và cột (5); quá giang (2) và xà cái (3); quá giang (2) và cột (5); xà cái (3) và rui (4); xà cái (3) và cột (5).

-------------------------------------

Nắm chắc kiến thức về hai đường thẳng vuông góc sẽ giúp học sinh nhận biết mối quan hệ hình học trong không gian và vận dụng linh hoạt vào các dạng bài tập Toán 11. Thông qua phần giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2, các em có thể đối chiếu cách lập luận, củng cố kỹ năng trình bày và chuẩn bị tốt cho những nội dung tiếp theo về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.