Giải SGK toán 10 trang 24 tập 2

Giải SGK Toán 10 trang 24 tập 2 là nội dung tham khảo dành cho học sinh đang học cách giải toán 10 Kết nối tri thức với cuộc sống, đặc biệt trong quá trình tìm hiểu Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai. Đây là kiến thức quan trọng giúp các em nhận biết khoảng giá trị mà tam thức bậc hai mang dấu dương, dấu âm hoặc bằng không, từ đó vận dụng vào giải phương trình, bất phương trình và các dạng toán liên quan. Trong bài viết này, các bài tập Toán 10 KNTT được định hướng trình bày theo từng yêu cầu cụ thể, giúp học sinh dễ theo dõi cách lập luận, xác định nghiệm và thực hiện xét dấu một cách chính xác.

Giải bài 6.15 trang 24 Toán 10 KNTT Tập 2

Hướng dẫn giải:

a) Xét f(x) = 3x² – 4x + 1 có:

∆' = (– 2)² – 3 . 1 = 1 > 0

Hệ số a = 3 > 0

=> f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1/3; x₂ = 1.

Ta có bảng xét dấu f(x):

=> f(x) > 0 với mọi x∈(−∞;1/3)∪(1;+∞) và f(x) < 0 với mọi x∈(1/3;1).

b)Xétf(x) = x² + 2x + 1 có:

∆' = 1² – 1 . 1 = 0 và a = 1

=> f(x) = 0 có nghiệm kép x = – 1 và f(x) > 0 với mọi x ≠ – 1.

c) Xét f(x) = – x² + 3x – 2 có:

∆ = 3² – 4 . (– 1) . (– 2) = 1 > 0

Hệ số a = – 1 < 0

=> f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1; x₂ = 2.

Ta có bảng xét dấu f(x):

=> f(x) > 0 với mọi x ∈ (1; 2) và f(x) < 0 với mọi x ∈ (– ∞; 1) ∪ (2; + ∞).

d)Xét f(x) = – x²+ x – 1 có:

∆ = 1² – 4 . (– 1) . (– 1) = – 3 < 0

Hệ số a = – 1 < 0

=> f(x) < 0 với mọi x∈ℝ.

Giải bài 6.16 trang 24 Toán 10 KNTT Tập 2

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam thức f(x) = x²– 1 có:

∆ = 0² – 4 . 1 . (– 1) = 4 > 0

=> f(x) = 0 có hai nghiệm x₁ = – 1 và x₂ = 1.

Hệ số a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; – 1] ∪ [1; + ∞).

b)Xét tam thức f(x) = x²– 2x – 1 có:

∆' = (– 1)² – 1 . (– 1) = 2 > 0

=> f(x) có hai nghiệm \({x_1} = 1 + \sqrt 2 ;{x_2} = 1 - \sqrt 2\)

Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1 + \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right)\)

c) Xét tam thức f(x) = – 3x²+ 12x + 1 có:

∆' = 6² – (– 3) . 1 = 39 > 0

=> f(x) = 0 có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{6 - \sqrt {39} }}{3};{x_2} = \frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}\)

Đồng thời hệ số a = – 3 < 0

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;\frac{{6 - \sqrt {39} }}{3}} \right) \cup \left( {\frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}; + \infty } \right)\)

d) Xét tam thức f(x) = 5x²+ x + 1 có:

∆ = 1² – 4 . 5 . 1 = – 19 < 0

Hệ số a = 5 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu a) với mọi x∈ℝ.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ℝ.

Giải bài 6.17 trang 24 Toán 10 KNTT Tập 2

Hướng dẫn giải:

Xét tam thức f(x) = x² + (m + 1)x + 2m + 3 có:

∆ = (m + 1)² – 4 . 1 . (2m + 3) = m² – 6m – 11.

Hệ số a = 1 > 0.

Để f(x) luôn dương (cùng dấu hệ số a) với mọi x∈ℝ thì ∆ < 0.

⇔ m² – 6m – 11 < 0.

Xét tam thức h(m) = m² – 6m – 11 có:

∆'_m = (– 3)² – 1 . (– 11) = 20 > 0

=> h(m) = 0 có hai nghiệm \({m_1} = 3 - 2\sqrt 5 ;{m_2} = 3 + 2\sqrt 5\)

Mặt khác ta có hệ số a_m = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

=> h(m) < 0 với mọi \(m \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;3 + 2\sqrt 5 } \right)\)

Hay ∆ < 0 với mọi \(m \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;3 + 2\sqrt 5 } \right)\)

Vậy \(m \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;3 + 2\sqrt 5 } \right)\) thì tam thức bậc hai đã cho luôn dương với mọi x∈ℝ.

Giải bài 6.18 trang 24 Toán 10 KNTT Tập 2

Hướng dẫn giải:

Độ cao của vật so với mặt đất được mô tả bởi công thức: \(h\left( t \right) = {h_0}\; + {v_0}t - \frac{1}{2}g{t^2}\)

Trong đó:

• v₀ = 20 m/s là vận tốc ban đầu của vật, t là thời gian chuyển động tính bằng giây
• g là gia tốc trọng trường (thường lấy g ≈ 9,8 m/s²)
• Độ cao h(t) tính bằng mét.

Ta có:

\(h\left( t \right) = 320\; + 20t - \frac{1}{2}.9,8{t^2} \Leftrightarrow h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 20t + 320\) (ta được một hàm số bậc hai)

Vật cách mặt đất không quá 100 m khi và chỉ khi h(t) ≤ 100

\(\Leftrightarrow - 4,9{t^2} + 20t + 320 \le 100 \Leftrightarrow 4,9{t^2} - 20t - 220 \ge 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Xét tam thức có:

∆ ' = (– 10)² – 4,9 . (– 220) = 1 178 > 0

=> f(t) có hai nghiệm \({t_1} = \frac{{10 - \sqrt {1178} }}{{4,9}};{t_2} = \frac{{10 + \sqrt {1178} }}{{4,9}}\).

Đồng thời hệ số a_f = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu f(t) như sau:

=> Bất phương trình (1) có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l} t \le \frac{{10 - \sqrt {1178} }}{{4,9}}\\ t \ge \frac{{10 + \sqrt {1178} }}{{4,9}} \end{array} \right.\)

Mà thời gian t > 0 nên \(t \ge \frac{{10 + \sqrt {1178} }}{{4,9}} \approx 9,05\)

Vậy sau ít nhất khoảng 9,05 giây thì vật đó cách mặt đất không quá 100 m.

Giải bài 6.19 trang 24 Toán 10 KNTT Tập 2

Hướng dẫn giải:

Vì M di chuyển trên đoạn AB và AM = x nên x ≥ 0 (xảy ra trường hợp bằng 0 khi M trùng A), lại có AM ≤ AB (dấu bằng xảy ra khi M trùng B) nên x ≤ 4

=> Điều kiện của x là 0 ≤ x ≤ 4.

Đường tròn lớn có đường kính AB = 4 nên bán kính của hình tròn này là R = 2.

Diện tích hình tròn lớn này là S_R = πR² = π . 2² = 4π.

Đường tròn nhỏ đường kính AM = x có bán kính là r₁ = x/2.

Diện tích hình tròn nhỏ có bán kính r₁ là \({S_1}\; = \;\pi r_1^2 = \;\pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{{x^2}.\pi }}{4}\).

Ta có: AM + MB = AB ⇒ MB = AB – AM = 4 – x.

Đường tròn đường kính MB có bán kính là \({r_2} = \frac{{4 - x}}{2}\).

Diện tích hình tròn có bán kính r₂ là \({S_2}\; = \;\pi r_2^2 = \;\pi .{\left( {\frac{{4 - x}}{2}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}.\pi }}{4}\).

Tổng diện tích hai hình tròn nhỏ là: 

\({S_{12}}\; = {\rm{ }}{S_1} + {\rm{ }}{S_2}\; = \frac{{{x^2}.\pi }}{4} + \frac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}.\pi }}{4}\;\)\(= \frac{{\left[ {{x^2} + {{\left( {4 - x} \right)}^2}} \right].\pi }}{4} = \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}.\pi\)

Diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ là:

\(S\left( x \right) = {S_R}\;-{\rm{ }}{S_{12}}\;\)\(= 4\pi - \left( {\frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}} \right).\pi = \left( {\frac{{ - {x^2} + 4x}}{2}} \right).\pi\)

Vì diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ hay diện tích S(x) nhỏ hơn hoặc bằng nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ hay \(S\left( x \right) \le \frac{1}{2}{S_{12}}\).

\(\begin{array}{l} \left( {\frac{{ - {x^2} + 4x}}{2}} \right).\pi \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}} \right).\pi \\ \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 4x}}{2} \le \frac{1}{2}.\left( {\frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 4x \le \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + 8x \le {x^2} - 4x + 8\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 8 \ge 0 \end{array}\)

Xét tam thức f(x) = 3x² – 12x + 8 có:

∆' = (– 6)² – 3 . 8 = 12 > 0

=> f(x) = 0 có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3};{x_2} = \frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}\)

Đồng thời hệ số a = 3 > 0

Ta có bảng xét dấu f(x):

=> f(x) ≥ 0 với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\). 

Kết hợp với điều kiện 0 ≤ x ≤ 4.

Vậy các giá trị của x thỏa mãn yêu cầu của đề bài là \(x \in \left[ {0;\frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3};4} \right]\).

-------------------------------

Qua nội dung Giải SGK Toán 10 trang 24 tập 2 – Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai , học sinh có thể củng cố kiến thức về cách xác định dấu của tam thức và rèn luyện phương pháp giải các bài tập liên quan trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức.