Toán 10 Bài tập cuối chương 7

Bài tập cuối chương 7 Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 là nội dung giúp học sinh củng cố kiến thức hình học tọa độ đã học, đồng thời rèn luyện khả năng vận dụng công thức vào giải toán. Với phần Giải sách giáo khoa Toán 10 KNTT tập 2, các em có thể tham khảo hướng dẫn giải từng bài, kiểm tra cách làm và hệ thống lại những kiến thức quan trọng để ôn tập hiệu quả.

Giải SGK toán 10 trang 58 tập 2

Bài 7.26 trang 58 Toán 10 Tập 2 KNTT

Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?

A. 2x – y + 1 = 0;

B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = t \end{array} \right.\);

C. x² + y²  = 1;

D. y = 2x + 3.

Hướng dẫn giải

Ta thấy 2x – y + 1 = 0; y = 2x + 3 là phương trình tổng quát của đường thẳng

=> Phương án A, D sai.

Ta thấy x² + y² = 1 là phương trình đường tròn.

=> Phương án C sai.

Phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = t \end{array} \right.\) là phương trình tham số của đường thẳng.

=> Phương án B đúng.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 7.27 trang 58 Toán 10 Tập 2 KNTT

Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?

1. –x – 2y + 3 = 0;

1.  \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3 - t \end{array} \right.\);

1. y ²  = 2x;
2.  \(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{6} = 1\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3 - t \end{array} \right.\) là phương trình tham số của đường thẳng.

=> Phương án B sai.

y² = 2x là phương trình chính tắc của parabol.

=> Phương án C sai.

\(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{6} = 1\) là phương trình chính tắc của elip.

=> Phương án D sai.

–x – 2y + 3 = 0 là phương trình tổng quát của đường thẳng.

=> Phương án A đúng.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 7.28 trang 58 Toán 10 Tập 2 KNTT

Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?

1. x ² – y ²  = 1;
2. (x – 2) ² – (y – 2) ²  = 1;
3. x ² + y ²  = 2;
4. y ²  = 8x.

Hướng dẫn giải

x² – y² = 1 có hệ hệ số của y² là – 1 ≠ 1 nên phương trình x² – y² = 1 không là phương trình đường tròn.

=> Phương án A sai.

(x – 2)² – (y – 2)² = 1 không thoả mãn dạng của phương trình đường tròn (x – a)² + (y – b)² = R².

=> Phương án B sai.

y² = 8x là phương trình chính tắc của parabol.

=> Phương án D sai.

x² + y² = 2 là phương trình đường tròn có tâm I(0;0) và R = √2.

=> Phương án C đúng.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 7.29 trang 58 Toán 10 Tập 2 KNTT

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?

1.  \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\);
2.  \(\frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{y^2}}}{6} = 1\);
3.  \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\);
4. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Hướng dẫn giải

Xét phương trình \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có a = b = 3 không thoả mãn điều kiện a > b > 0 nên \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) không là phương trình chính tắc của đường elip.

=> Phương án A sai

Xét phương trình \(\frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{y^2}}}{6} = 1\) có mà a < b không thoả mãn điều kiện a > b > 0 nên \(\frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{y^2}}}{6} = 1\) không là phương trình chính tắc của đường elip.

=> Phương án B sai

Xét phương trình \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) là phương trình hypebol.

=> Phương án C sai

\(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)  là phương trình elip vì \(a = \sqrt 2 ;b = 1\) nên a > b > 0.

=> Phương án D đúng.

Vậy chọn đáp án D.

Bài 7.30 trang 58 Toán 10 Tập 2 KNTT

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?

1. \(\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{2} = - 1\)
2. \(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{6} = 1\)
3. \(\frac{{{x^2}}}{6} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
4. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = - 1\)

Hướng dẫn giải

Xét phương trình \(\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{2} = - 1\) không có dạng nên không là phương trình chính tắc của đường hypebol.

=> Phương án A sai

Xét phương án \(\frac{{{x^2}}}{6} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) là phương trình elip.=> Phương án C sai

\(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = - 1\) không có dạng nên không là phương trình chính tắc của đường hypebol.

=> Phương án D sai

Phương án B: \(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{6} = 1\)

Vì \(a = 1;b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {1 + 6} = \sqrt 7\)

Ta có: \(1 < \sqrt 7\) hay a < c nên theo định nghĩa hypebol ta có: là phương trình chính tắc của đường hypebol.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 7.31 trang 58 Toán 10 Tập 2 KNTT

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?

x ²   = 4y

x ²  = -6y

y ²  = 4x

• y ²  = -4x

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (p > 0).

Ta thấy chỉ có đáp án C có phương trình dạng trên và thỏa mãn p = 2 > 0 (thoả mãn điều kiện về phương trình chính tắc của parabol).

Vậy đáp án cần chọn là C.

Bài 7.32 trang 58 Toán 10 Tập 2 KNTT

Trong mặt phẳng toạ độ, cho A(1; −1), B(3; 5); C(−2; 4). Tính diện tích tam giác ABC

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {CB} = \left( {5;1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{5^2} + {1^2}\;} = \sqrt {26}\)

Ta lại có \(\overrightarrow {CB} = \left( {5;1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC nên vectơ pháp tuyến của BC là \(\overrightarrow n = \left( { - 1;5} \right)\).

Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 5) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 1;5} \right)\), có phương trình là: 

−1(x – 3) + 5(y − 5) = 0 ⇒ −x + 5y – 22 = 0

\(d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| { - 1 + 5.\left( { - 1} \right) - 22} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{14\sqrt {26} }}{{13}}\)

=> Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.d\left( {A;BC} \right).BC = \frac{1}{2}.\frac{{14\sqrt {26} }}{{13}}.\sqrt {26} = 14\) (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 14 đvdt.

Bài 7.33 trang 58 Toán 10 Tập 2 KNTT

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm A(−1; 0) và B(3; 1)

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đường tròn tâm A có dạng : (x + 1)² + y²= R²(với R là bán kính của đường tròn tâm A).

Vì đường tròn đi qua điểm B(3; 1) nên (3 + 1)² + 1² = R² ⇒ R² = 17

Vậy phương trình đường tròn là: (x + 1)² + y² = 17

b) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;1} \right)\) nên vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( { - 1;4} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng AB là: −1(x + 1) + 4(y – 0) = 0 hay –x + 4y −1 = 0.

c) Vì đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB nên \(R = d\left( {O;AB} \right) = \frac{{\left| { - 0 + 4.0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\)

Vậy phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB là:

(x – 0)² + (y – 0)² = 1/17 hay x² + y² = 1/17.

Bài 7.34 trang 58 Toán 10 Tập 2 KNTT

Cho đường tròn (C) có phương trình x ² + y ²   - 4x + 6y – 12 = 0

a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của (C).

b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.

Hướng dẫn giải

a) Với phương trình x²+ y²– 4x + 6y – 12 = 0 hay x² + y² – 2.2x – 2.( –3) y + (– 12) = 0.

⇒ a = 2; b = –3; c = –12

Khi đó, tâm I(2; –3) và bán kinh \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + 12} = 5\)

b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn (C) ta được:

5² + 1² – 4.5 + 6.1 – 12 = 0

⇔ 25 + 1 – 20 + 6 – 12 = 0

⇔ 0 = 0 (luôn đúng)

⇒ M(5; 1) ∈ (C).

Ta có: \(\overrightarrow {IM} = \left( {3;4} \right)\)

Vì d là phương trình tiếp tuyến của (C) tại M nên IM ⊥ d, do đó đường thẳng d nhận làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M(5; 1) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IM} = \left( {3;4} \right)\) là:

3(x – 5) + 4(y – 1) = 0 ⇔ 3x + 4y – 19 = 0.

Giải SGK toán 10 trang 59 tập 2

Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2 KNTT

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > b > 0)

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂của (E) với trục hoành và các giao điểm B₁, B₂của (E) với trục tung. Tính A₁A₂; B₁B₂

b) Xét một điểm bất kì M(x₀ ; y₀ ) thuộc (E).

Chứng minh rằng: \({b^2} \le x_0^2 + y_0^2 \le {a^2}\) và b ≤ OM ≤ a

Chú ý: A ₁ A ₂ ; B ₁ B ₂ tương ứng được là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b              

Hướng dẫn giải

a) Giao điểm của (E) với trục hoành có y = 0 nên \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\) ⇒ x²= a² ⇒ x = ± a

=> Giao điểm của (E) với trục hoành lần lượt là: A₁(−a; 0), A₂(a; 0).

\(\Rightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \left( {2a;0} \right) \Rightarrow {A_1}{A_2} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {0^2}} = 2a\)

Giao điểm của (E) với trục tung có x = 0 nên \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\) ⇒ y² = b² ⇒ y = ± b

=> Giao điểm của (E) với trục tung lần lượt là: B₁(0; −b), B₂(0; b).

\(\Rightarrow \overrightarrow {{B_1}{B_2}} = \left( {0;2b} \right) \Rightarrow {B_1}{B_2} = \sqrt {{0^2} + {{\left( {2b} \right)}^2}} = 2b\)

Vậy A₁(−a; 0), A₂(a; 0), B₁(0; −b), B₂(0; b), A₁A₂ = 2a, B₁B₂ = 2b.

b) Vì M(x₀; y₀) thuộc (E) nên \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)

Vì a > b > 0 nên \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{{x_0}^2}}{{{b^2}}}\) (Dấu “=” xảy ra khi x₀ = 0)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} \le \frac{{{x_0}^2}}{{{b^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}}\\ \Leftrightarrow 1 \le \frac{{{x_0}^2}}{{{b^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = \frac{{{x_0}^2 + {y_0}^2}}{{{b^2}}}\\ \Leftrightarrow {b^2} \le {x_0}^2 + {y_0}^2{\rm{ }}\left( 1 \right) \end{array}\)

Tương tự ta có: \(\frac{{{y_0}^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}}\) (Dấu “=” xảy ra khi y₀ = 0)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} \le \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{a^2}}}\\ \Leftrightarrow 1 \ge \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{a^2}}} = \frac{{{x_0}^2 + {y_0}^2}}{{{a^2}}}\\ \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 \le {a^2}{\rm{ }}\left( 2 \right) \end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra: \({b^2} \le x_0^2 + y_0^2 \le {a^2}\) (đpcm)

Mặt khác ta có: \(\overrightarrow {OM} = \left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {{x_0}^2 + {y_0}^2}\)

Mà \({b^2} \le x_0^2 + y_0^2 \le {a^2} \Leftrightarrow b \le \sqrt {x_0^2 + y_0^2} \le a\) (đpcm).

Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2 KNTT

Cho hypebol có phương trình: \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂của hypebol với trục hoành (hoành độ của A₁nhỏ hơn của A₂).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.

c) Tìm các điểm M ₁ , M ₂ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hyperbol để M ₁ M ₂  nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

a) Giao điểm của (H) với trục hoành có y = 0 nên \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\) ⇒ x²= a² ⇒ x = ± a;

Hơn nữa hoành độ A₁ nhỏ hơn hoành độ A₂ nên ta có: A₁(−a; 0), A₂(a; 0).

Vậy tọa độ giao điểm của hypebol với trục hoành lần lượt là A₁(−a; 0), A₂(a; 0).

b) Ta có: \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} = 1 + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}}\)

Mà \(\frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} \ge 0 \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} \ge 1 \Leftrightarrow {x_0}^2 \ge {a^2} \Leftrightarrow {x_0} \ge \left| a \right|\)

⇔ x ≥ a hoặc x ≤ - a .

Vậy điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ 0 nên x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ 0 nên x ≥ a.

b) Gọi toạ độ điểm M₁(x₁;y₁), M₂(x₂;y₂), tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol.

=> x₁ ≤ – a và x₂ ≥ a.

Ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right)\\ \Rightarrow {M_1}{M_2} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \\ {A_1}{A_2} = \sqrt {{{\left( {a - \left( { - a} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = 2a \end{array}\)

Vì x₁ < 0 và x₂ > 0 nên x₂ – x₁ = |x₂|+|x₁| (1)

Mặt khác ta có: x₁ ≤ –a và x₂ ≥ a ⇒ |x₂| ≥ a và |x₁| ≥ a

⇒ |x₂|+|x₁| ≥ a + a = 2a (2)

Từ (1) và (2) ta có: x₂– x₁ ≥ 2a ⇒ (x₂ – x₁)² ≥ (2a)²

Ta lại có: (y₂ – y₁)² ≥ 0

⇒ (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² ≥ (2a)² + 0 = (2a)²

⇒ √(x2−x1)2+(y2−y1)2 ≥ 2a hay M₁M₂ ≥ A₁A₁

Vậy M₁M₂ nhỏ nhất khi M₁M₂ = A₁A₂

Dấu “=” xảy ra khi diểm M₁ ≡ A₁(-a; 0) và M₂ ≡ A₂(a; 0).

Bài 7.37 trang 59 Toán 10 Tập 2 KNTT

Một cột trụ hình hyperbol (H.7.36), có chiều cao 6m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5m (Tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là chỗ nhỏ nhất ở chính giữa, như hình vẽ sau:

Gọi A₁, A₂ lần lượt là giao điểm của hypebol với trục hoành mà O là trung điểm của A₁A₂ nên A₁(−0,4 ; 0), A₂(0,4 ; 0) hay a = 0,4.

Gọi phương trình hypebol của hình trụ có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{0,{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Gọi M là một điểm trên đỉnh cột nằm ở nhánh bên phải của trục tung hypebol. Ta có toạ độ điểm M(0,5; 3).

Vì điểm M(0,5; 3) thuộc (H) nên \(\frac{{0,{5^2}}}{{0,{4^2}}} - \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = 16\)

=> Phương trình hypebol của hình trụ đó là: \(\frac{{{x^2}}}{{0,{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Tại vị trí 5m thì điểm đó cách trục hoành một khoảng bằng 2m nên ta có y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình hypebol ta được:

Vậy độ rộng tại vị trí có độ cao 5m xấp xỉ là: 0,45.2 = 0,9 m.

----------------------------------

Thông qua lời giải Bài tập cuối chương 7, học sinh có thêm tài liệu tham khảo để rà soát kiến thức, nhận biết dạng bài và cải thiện kỹ năng trình bày lời giải. Hãy kết hợp việc đọc hướng dẫn với tự làm bài để ghi nhớ kiến thức Toán 10 và chuẩn bị tốt cho những nội dung tiếp theo.