Giải SGK toán 10 trang 41 tập 2
Giải SGK Toán 10 KNTT trang 41 Bài 20
Giải SGK Toán 10 trang 41 tập 2 cung cấp hướng dẫn làm bài thuộc Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách, sách Kết nối tri thức với cuộc sống lớp 10 tập 2. Qua lời giải cụ thể, học sinh có thể hiểu cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng, tính góc và vận dụng công thức khoảng cách trong mặt phẳng tọa độ Oxy, từ đó củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
Giải vận dụng trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.
b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ?
Hướng dẫn giải:
a) Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:
Vì B trùng với gốc tọa độ O nên B có tọa độ là (0; 0).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 12 m, BC = AD = 15 m.
Điểm A thuộc trục Oy và có AO = AB = 12 m => A (0; 12).
Điểm C thuộc trục Ox và có CO = CB = 15 m => C(15; 0).
Ta có:
DC ⊥ Ox (do DC ⊥ BC), DA ⊥ Oy (do DA ⊥ AB)
DC = 12 m, DA = 15 m
=> Điểm D có tọa độ là (15; 12).
Từ E kẻ EH vuông góc với BC, H thuộc BC nên EH = AB = 12 m, lại có AE = 5 m
=> E(5; 12).
Từ F kẻ FJ vuông góc với AB, J thuộc AB nên FJ = AD = 15 m, lại có CF = 6 m
=>F(15; 6).
Vậy A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6).
Ta có: 
\(\overrightarrow {EF} = \left( {15 - 5;6 - 12} \right) = \left( {10; - 6} \right)\)
Chọn vectơ \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} = \frac{1}{2}.\left( {10; - 6} \right) = \left( {5; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương của đường thẳng EF thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng EF là \(\overrightarrow n = \left( {3;5} \right)\).
Đường thẳng EF đi qua điểm E(5; 12) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;5} \right)\)
=> Phương trình đường thẳng EF là:
3(x – 5) + 5(y – 12) = 0 hay 3x + 5y – 75 = 0.
b) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ B đến EF là:
\(d\left( {B,EF} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 5.0 - 7.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{{75}}{{\sqrt {34} }} \approx 12,9\) (m).
Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưỡi câu có thể quăng xa 10,7 m và 10,7 m < 12,9 m nên lưỡi câu không thể rơi vào vị trí nuôi vịt.
Giải bài 7.7 trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) \({\Delta _1}:3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - 3 = 0;{\Delta _2}:6x + 2y - \sqrt 6 = 0\).
b) \({d_1}:x - \sqrt 3 y + 2 = 0;{d_2}:\sqrt 3 x + 3y + 2 = 0\)
c) m1: x – 2y + 1 = 0 và m2: 3x + y – 2 = 0.
Hướng dẫn giải:
a) Đường thẳng ∆1 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)
Đường thẳng ∆2 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\overrightarrow {{n_2}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}}\) cùng phương
=> Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm \(A\left( {0;\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)\) vừa thuộc ∆1 vừa thuộc ∆2.
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆1 trùng nhau.
b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\) và của d2 là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;3} \right)\).
Ta có:\(\overrightarrow {{n_2}} = \sqrt 3 \overrightarrow {{n_1}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}}\) cùng phương
=> Hai đường thẳng d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm B(– 2; 0) thuộc d1 nhưng không thuộc d2.
Vậy hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.
c) Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 1 = 0\\
3x + y - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x - 6y + 3 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\
3x + y - 2 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1) ta được: 7y – 5 = 0 ⇔y=5/7.
Thay vào (1) ta được: 3x−6.5/7+3=0⇔x=3/7.
=> Hệ trên có nghiệm duy nhất (3/7;5/7).
Vậy hai đường thẳng m1 và m2 cắt nhau tại điểm có tọa độ (3/7;5/7).
Giải bài 7.8 trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1:3x + y – 4 = 0 và ∆2: x +3y + 3 = 0;
b) d1: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1 + 2t\\
y = 3 + 4t
\end{array} \right.\) và d2: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + s\\
y = 1 - 3s
\end{array} \right.\) (t, s là các tham số).
Hướng dẫn giải:
a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆1và∆2 lần lượt là
Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Ta có:
\(\cos \varphi = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\(= \frac{{\left| {3.1 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
=> Góc giữa ∆1 và ∆2 là φ = 30°.
b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;4} \right);\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 3} \right)\).
=> Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1} \right)\)
Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2. Ta có:
\(\cos \varphi = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\(= \frac{{\left| {4.3 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
=> Góc giữa d1 và d2 là α = 45°.
Giải bài 7.9 trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.
b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆.
c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {0 - 2 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 3 }} = 3\sqrt 2\)
Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là \(3\sqrt 2\).
b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;1} \right)\).
Vì a // ∆ => Vectơ pháp tuyến của a là \(\overrightarrow {{n_a}} = \left( {1;1} \right)\).
Đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_a}} = \left( {1;1} \right)\)
=> Phương trình đường thẳng a là:
1(x + 1) + 1(y – 0) = 0 hay x + y + 1 = 0.
c) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 1} \right)\)
Vì b ⊥ ∆, nên vectơ pháp tuyến của b là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 1} \right)\).
Đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_b}} = \left( {1; - 1} \right)\)
=> Phương trình đường thẳng b là:
1(x – 0) – 1(y – 3) = 0 hay x – y + 3 = 0.
Giải bài 7.10 trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1).
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
a) Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác ABC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2 - 3; - 1 - 2} \right) = \left( { - 5; - 3} \right)\)
Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là \(\overrightarrow u = \overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 3} \right)\)
=> Vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 5} \right)\)
Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 5} \right)\)
=> Phương trình đường thẳng BC là: 3(x – 3) – 5(y – 2) = 0 hay 3x – 5y + 1 = 0.
=> Khoảng cách từ A đến BC là:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 - 5.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\)
Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là \(h = \frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\)
b) Ta có: \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {34}\)
Diện tích tam giác ABC là:
\(S = \frac{1}{2}.h.BC = \frac{1}{2}.\frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}.\sqrt {34} = 2\) (đvdt).
Vậy diện tích tam giác ABC là 2 đvdt.
Giải bài 7.11 trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.a' = – 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0 hay d: ax – y + b = 0
=> Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là \(\overrightarrow n = \left( {a; - 1} \right)\).
Lại có: y = a'x + b' ⇔ a'x – y + b' = 0 hay d': a'x – y + b' = 0
=> Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d' là \(\overrightarrow n ' = \left( {a'; - 1} \right)\).
Hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau khi
\(\overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {n'} = 0\)\(\Leftrightarrow a.a' + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a.a' = - 1\)
Vậy d ⊥ d' ⇔ aa' = – 1.
Giải bài 7.12 trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
Hướng dẫn giải:
Gọi H(a; b) là vị trí tín hiệu âm thanh phát đi.
Lại có ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận tín hiệu từ H phát đi tại cùng một thời điểm => HO = HA = HB.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {HO} = \left( { - a; - b} \right) \Rightarrow HO = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\overrightarrow {HA} = \left( {1 - a; - b} \right) \Rightarrow HA = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {b^2}} \\
\overrightarrow {HB} = \left( {1 - a;3 - b} \right) \Rightarrow HB = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {3 - b} \right)}^2}}
\end{array} \right.\)
Ta có: HO = HA
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2}\\
\Leftrightarrow 2a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}
\end{array}\)
Lại có: HA = HB
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {3 - b} \right)}^2}} \\
\Rightarrow {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2}\\
\Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2}\\
\Leftrightarrow 6b = 9 \Leftrightarrow b = \frac{3}{2}
\end{array}\)
Thay a = 1/2 và b = 3/2 vào các phương trình ta thấy đều thỏa mãn.
Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là tại điểm H có tọa độ (1/2; 3/2).
---------------------------------------------
Hy vọng phần Giải Toán 10 KNTT Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách giúp các em nắm vững phương pháp giải và vận dụng hiệu quả các công thức đã học. Hãy chủ động luyện tập, kiểm tra từng bước tính toán và ôn lại kiến thức về phương trình đường thẳng để nâng cao khả năng giải bài tập hình học tọa độ.
