Giải SGK toán 10 trang 45 tập 2

Giải SGK Toán 10 trang 45 tập 2 hướng dẫn học sinh giải các bài tập thuộc Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ, sách Kết nối tri thức với cuộc sống Toán 10. Qua lời giải cụ thể, các em có thể nắm vững cách xác định tâm, bán kính và lập phương trình đường tròn, từ đó vận dụng kiến thức chính xác vào các dạng bài hình học tọa độ.

Giải luyện tập 3 trang 45 Toán 10 KNTT Tập 2

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Các đoạn thẳng MN, NP tương ứng có trung điểm là A(3; – 3), B(5/2;−9/2).

Đường thẳng trung trực d₁ của đoạn thẳng MN đi qua điểm A(3; – 3) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;4} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;4} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\) nên d₁ cũng nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.

=> Phương trình của d₁ là: 1(x – 3) – 2(y + 3) = 0 hay x – 2y – 9 = 0.

Đường thẳng trung trực d₂ của đoạn thẳng NP đi qua B(5/2;−9/2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {NP} = \left( {1; - 7} \right)\)

=> Phương trình d₂ là: 1(x−5/2)−7(y+9/2)=0 hay x – 7y – 34 = 0.

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm M, N, P nên I là giao điểm của d1 và d2.

Vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x - 2y - 9 = 0\\ x - 7y - 34 = 0 \end{array} \right.\)

=> I(– 1; – 5).

Đường tròn (C) có bình phương bán kính là \(IM\; = \sqrt {{{(4 - ( - 1))}^2} + {{\left( { - 5 - \left( { - 5} \right)} \right)}^2}} = 5\)

Vậy phương trình của (C) là: (x + 1)² + (y + 5)² = 25.

Giải vận dụng 1 trang 45 Toán 10 KNTT Tập 2

Hướng dẫn giải:

Gọi bán kính của bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là x, y (m) (x, y > 0).

Chu vi của bể hình tròn là: 2πx = 2 . 3,14 . x = 6,28x (m).

Vì hai bể còn lại là hai bể có dạng nửa hình tròn bằng nhau nên tổng chu vi của hai bể này bằng tổng chu vi của đường tròn bán kính y (m) với 2 lần độ dài đường kính của đường tròn đó, do đó chu vi của hai bể nửa hình tròn là:

2πy + 2 . 2y = 2 . 3,14 . y + 4y = 10,28y (m).

Tổng chu vi của ba bể là 32 m nên ta có:

6,28x + 10,28y = 32 hay 1,57x + 2,57y – 8 = 0.

Diện tích của bể hình tròn là: πx² = 3,14x² (m²).

Diện tích của hai bể nửa hình tròn là: πy² = 3,14y² (m²).

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (m²). Khi đó ta có:

3,14x² + 3,14y² = S hay x²+ y² = \(\frac{S}{{3,14}}\).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường tròn (C): x²+ y² = \(\frac{S}{{3,14}}\) có tâm O(0; 0), bán kính \(R = \sqrt {\frac{S}{{3,14}}}\) và đường thẳng ∆: 1,57x + 2,57y – 8 = 0.

Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để (C) và ∆ ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Bài toán trên tương đương với ∆ tiếp xúc với (C), đồng thời khi đó điểm M trùng với điểm H là hình chiếu vuông góc của O trên ∆.

Ta có: OH ⊥ ∆ nên \(\overrightarrow {{u_{OH}}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1,57;2,57} \right)\)

=> Đường thẳng OH có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{OH}}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {2,57; - 1,57} \right)\).

Phương trình đường thẳng OH là:

2,57(x – 0) – 1,57(y – 0) = 0 hay 2,57x – 1,57y = 0.

Điểm H là giao điểm của đường thẳng OH và đường thẳng ∆ nên tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} 1,57x + 2,57y - 8 = 0\\ 2,57x - 1,57y = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1,38\\ y = 2,27 \end{array} \right.\)

Vậy bán kính bể sục hình tròn xấp xỉ bằng 1,38 m và bể sục nửa hình tròn xấp xỉ bằng 2,27 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

------------------------------

Hy vọng phần Giải Toán 10 KNTT Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và vận dụng thành thạo công thức phương trình đường tròn. Hãy chủ động luyện tập, kiểm tra kết quả và ôn lại kiến thức về tọa độ trong mặt phẳng để nâng cao kỹ năng giải bài tập Toán 10.