Giải SGK toán 10 trang 27 tập 2
Giải SGK Toán 10 KNTT trang 27 Bài 18
Giải SGK Toán 10 trang 27 tập 2 cung cấp hướng dẫn làm bài thuộc Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai, sách Kết nối tri thức với cuộc sống Toán 10 Thông qua lời giải rõ ràng, học sinh có thể nắm vững phương pháp biến đổi phương trình, xác định điều kiện cần thiết và vận dụng kiến thức để giải bài tập chính xác, hiệu quả hơn.
Giải bài 6.20 trang 27 Toán 10 KNTT Tập 2
Giải các phương trình sau:
a) 
\(\sqrt {3{x^2} - 4x - 1} = \sqrt {2{x^2} - 4x + 3}\); b) \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \sqrt { - 2{x^2} + 5}\);
c) \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 3} = \sqrt { - {x^2} - x + 1}\); d) \(\sqrt { - {x^2} + 5x - 4} = \sqrt { - 2{x^2} + 4x + 2}\).
Hướng dẫn giải:
a) Xét phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 4x - 1} = \sqrt {2{x^2} - 4x + 3}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
3x2– 4x – 1 = 2x2 – 4x + 3
⇔ x2 – 4 = 0 ⇔ x2 = 4
⇔ x = 2 hoặc x = – 2.
Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị x = 2 và x = – 2 thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {– 2; 2}.
b) Xét phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \sqrt { - 2{x^2} + 5}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
x2 + 2x – 3 = – 2x2 + 5 \⇔ 3x2 + 2x – 8 = 0
⇔ x = – 2 hoặc x = 4/3.
Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có giá trị x = 4/3 thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 4/3.
c) Xét phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 3} = \sqrt { - {x^2} - x + 1}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
2x2 + 3x – 3 = – x2 – x + 1 ⇔ 3x2 + 4x – 4 = 0
⇔ x = – 2 hoặc x = 2/3.
Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn.
Vậy phương trình vô nghiệm.
d) Xét phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 5x - 4} = \sqrt { - 2{x^2} + 4x + 2}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
– x2 + 5x – 4 = – 2x2 + 4x + 2 ⇔ x2 + x – 6 = 0
⇔ x = – 3 hoặc x = 2.
Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x = 2 thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Giải bài 6.21 trang 27 Toán 10 KNTT Tập 2
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {6{x^2} + 13x + 13} = 2x + 4\); b) \(\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = - 3 - x\);
c) \(\sqrt {3{x^2} - 17x + 23} = x - 3\); d) \(\sqrt { - {x^2} + 2x + 4} = x - 2\)
Hướng dẫn giải:
a) Xét phương trình \(\sqrt {6{x^2} + 13x + 13} = 2x + 4\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được
6x2+ 13x + 13 = 4x2 + 16x + 16
⇔ 2x2 – 3x – 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{3 - \sqrt {33} }}{4}\\
x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{4}
\end{array} \right.\).
Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{3 - \sqrt {33} }}{4};\frac{{3 + \sqrt {33} }}{4}} \right\}\).
b) Xét phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = - 3 - x\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được
2x2 + 5x + 3 = 9 + 6x + x2 ⇔ x2 – x – 6 = 0
⇔ x = – 2 hoặc x = 3.
Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Xét phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 17x + 23} = x - 3\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được
3x2 – 17x + 23 = x2 – 6x + 9 ⇔ 2x2 – 11x + 14 = 0
⇔ x = 2 hoặc x = 7/2.
Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x = 7/2 thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 7/2.
d) Xét phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 2x + 4} = x - 2\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được
– x2 + 2x + 4 = x2 – 4x + 4 ⇔ – 2x2 + 6x = 0
⇔ – 2x(x – 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3.
Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x = 3 thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.
Giải bài 6.22 trang 27 Toán 10 KNTT Tập 2
Cho tứ giác ABCD có AB ⊥ CD; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5 (H.6.21). Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x = AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.
Hướng dẫn giải:
Đặt AH = x, x > 0.
Xét tam giác AHD vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:
AD2 = AH2 + HD2 ⇔ HD2 = AD2 – AH2 = 52 – x2 = 25 – x2
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
HC = HD + DC = \sqrt {25 - {x^2}} + 8\\
HB = AH + AB = x + 2
\end{array} \right.\)
Xét tam giác HBC vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:
BC2 = HB2 + HC2
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {13^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {\sqrt {25 - {x^2}} + 8} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + 25 - {x^2} + 16\sqrt {25 - {x^2}} + 64 - 169 = 0\\
\Leftrightarrow 16\sqrt {25 - {x^2}} = - 4x + 76 \Leftrightarrow 4\sqrt {25 - {x^2}} = - x + 19
\end{array}\)
Để tính x, ta cần giải phương trình: \(4\sqrt {25 - {x^2}} = - x + 19\) (1).
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:
16.(25 – x2) = x2 – 38x + 361 ⇔ 17x2 – 38x – 39 = 0
⇔ x = 3 hoặc x = −13/17.
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình (1), ta thấy hai giá trị x = 3 và x = −13/17 đều thỏa mãn.
Vì điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = 3.
=> AH = 3.
HD = 4.
HC = 4 + 8 = 12
HB = 3 + 2 = 5
Diện tích tam giác HAD là \({S_1} = \frac{1}{2}HA.HD = \frac{1}{2}.3.4 = 6\).
Diện tích tam giác HBC là \({S_2} = \frac{1}{2}HB.HC = \frac{1}{2}.5.12 = 30\).
Vậy diện tích tứ giác ABCD là \(S = {S_2} - {S_2} = 30 - 6 = 24\).
Giải bài 6.23 trang 27 Toán 10 KNTT Tập 2
Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí A cách lề đường một khoảng 50 m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm B, cách mình một đoạn 200 m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là 15 km/h. Hãy xác định vị trí C trên lề đường (H.6.22) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải:
Đổi: 200 m = 0,2 km, 50 m = 0,05 km.
Đặt CH = x (km) (x > 0).
Xét tam giác CHA vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:
CA2 = HA2 + HC2 = (0,05)2 + x2 = 0,0025 + x2
\(\Rightarrow CA = \sqrt {0,0025 + {x^2}}\)
Nghĩa là quãng đường di chuyển của Minh từ vị trí A đến điểm gặp nhau C dài \(\sqrt {0,0025 + {x^2}}\) km.
Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h nên thời gian di chuyển của Minh từ vị trí A đến điểm gặp nhau C là: \(\frac{{\sqrt {0,0025 + {x^2}} }}{5}\) (giờ).
Xét tam giác HAB vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:
AB2 = HB2 + HA2 ⇔ HB2 = AB2 – HA2 = (0,2)2 – (0,05)2 = 0,0375
\(\Rightarrow HB = \frac{{\sqrt {15} }}{{20}}\).
Ta có: BC + CH = HB ⇔ BC = HB – CH = \(\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x\)
Nghĩa là quãng đường di chuyển của Hùng từ B đến điểm gặp nhau C dài \(\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x\) km.
Vận tốc đạp xe của Hùng là 15 km/h nên thời gian di chuyển của Hùng từ B đến điểm gặp nhau là: \(\frac{{\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x}}{{15}} = \frac{{\sqrt {15} - 20x}}{{300}}\) (giờ).
Để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia thì thời gian di chuyển từ vị trí A đến C của Minh phải bằng thời gian di chuyển từ vị trí B đến C của Hùng.
=> Ta có phương trình: \(\frac{{\sqrt {0,0025 - {x^2}} }}{5} = \frac{{\sqrt {15} - 20x}}{{300}}\) (1).
Quy đồng phương trình (1) ta có: \(60\sqrt {0,0025 - {x^2}} = \sqrt {15} - 20x\)
Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:
3600.(0,0025 + x2) = 15 – 40√15x + 400x2
⇔ 3200x2 + 40√15x – 6 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - \sqrt {15} - 3\sqrt 7 }}{{160}}\\
x = \frac{{ - \sqrt {15} + 3\sqrt 7 }}{{160}}
\end{array} \right.\)
Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình (1) ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Lại có điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn \(x = \frac{{ - \sqrt {15} + 3\sqrt 7 }}{{160}}\).
=> BC = BH – CH ≈ 168,2 m.
Vậy vị trí C thỏa mãn yêu cầu đề bài là điểm cách B khoảng 168,2 m.
-------------------------------------------
Hy vọng phần Giải Toán 10 KNTT trang 27 tập 2 – Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai giúp các em hiểu rõ cách giải và vận dụng kiến thức vào từng dạng bài. Hãy chủ động luyện tập, kiểm tra điều kiện và đối chiếu kết quả để củng cố kỹ năng giải phương trình, nâng cao hiệu quả học tập môn Toán 10.
