Toán 10 Bài 16 Hàm số bậc hai

Trong chương trình Toán 10 Bài 16 Hàm số bậc hai, học sinh sẽ tìm hiểu các đặc điểm quan trọng của hàm số bậc hai, cách xác định chiều biến thiên và nhận biết đồ thị parabol. Nội dung giải sách giáo khoa Toán 10 KNTT tập 2 dưới đây giúp các em tiếp cận từng dạng bài rõ ràng, củng cố kiến thức trọng tâm và rèn luyện kỹ năng vận dụng vào bài tập.

Giải SGK toán 10 trang 11 tập 2

Câu hỏi mở đầu trang 11. Bác Việt có một tấm lưới hình chữ nhật dài 20 m. Bác muốn dùng tấm lưới này rào chắn ba mặt áp bên bờ tường của khu vườn nhà mình thành một mảnh đất hình chữ nhật để trồng rau.

Hỏi hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường bao xa để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích lớn nhất?

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Gọi x (mét, x > 0) là khoảng cách từ điểm cọc P và Q đến bờ tường.

Tấm lưới dài 20 m và được rào chắn ba mặt áp lên bờ tường như Hình 6.8, do đó ta có:

x + x + PQ = 20. => PQ = 20 – x – x = 20 – 2x (m).

Vì PQ > 0 (độ dài dương) nên 20 – 2x > 0 ⇔ 2x < 20 ⇔ x < 10.

=> Điều kiện của x là 0 < x < 10.

Mảnh đất được rào chắn có dạng hình chữ nhật với hai kích thước là x (m) và 20 – 2x (m) với 0 < x < 10.

=> Diện tích của mảnh đất là: S(x) = x . (20 – 2x) = – 2x² + 20x.

Theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm giá trị của x để S(x) có giá trị lớn nhất.

Ta có:

S(x) = – 2(x² – 10x) = – 2(x² – 2 . 5 . x + 25) + 50 = – 2(x – 5)² + 50 ≤ 50 với mọi số thực x.

Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 ⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện 0 < x < 10).

=> Giá trị lớn nhất của S(x) là 50 tại x = 5.

Vậy hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường 5 m để mảnh đất được rào chắn của bác Việt có diện tích lớn nhất.

Hoạt động 1 trang 11. Xét bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu. Gọi x mét (0 < x < 10) là khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường (H.6.8). Hãy tính theo x.

b) Diện tích S(x) của mảnh đất được rào chắn.

Hướng dẫn giải:

a) Tấm lưới có chiều dài 20 m, khoảng cách từ điểm cắm cọc tới bờ tường là x (m), ta đóng 2 cọc P và Q, mỗi cọc đều cách tường x (m).

Tấm lưới rào chắn 3 mặt áp bên bờ tường như Hình 6.8 nên x + x + PQ = 20.

=> Độ dài cạnh PQ của mảnh đất là: 20 – x – x = 20 – 2x (m).

b) Mảnh đất được rào chắn là một hình chữ nhật có hai kích thước là x (m) và 20 – 2x (m).

=> Diện tích S(x) của mảnh đất được rào chắn là: S(x) = x . (20 – 2x) = – 2x² + 20x.

Giải SGK toán 10 trang 12 tập 2

Câu hỏi trang 12. Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?

C. y = – 3x²+ 1.                                            D. \(y = 3.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 3.\frac{1}{x} - 1\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức y = ax²+ bx + x với a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.

Vậy trong các hàm số đã cho thì hàm số y = – 3x² + 1 là hàm số bậc hai với các hệ số a = – 3, b = 0 và c = 1.

Chú ý: Hàm số \(y = 3.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 3.\frac{1}{x} - 1\) không phải là hàm số bậc hai, mà đây là hàm số có thể đưa về dạng bậc hai nếu ta đặt \(t = \frac{1}{x}\).

Luyện tập 1 trang 12. Cho hàm số y = (x – 1)(2 – 3x).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

y = (x – 1)(2 – 3x) = 2x – 3x² – 2 + 3x = – 3x² + 5x – 2.

=> y = – 3x² + 5x – 2, đây là hàm số bậc hai với các hệ số a = – 3, b = 5, c = – 2.

b)Ta có:

Với x = – 2 thì y = – 3 . (– 2)² + 5 . (– 2) – 2 = – 24.

Với x = – 1 thì y = – 3 . (– 1)² + 5 . (– 1) – 2 = – 10.

Với x = 0 thì y = – 3 . 0² + 5 . 0 – 2 = – 2.

Với x = 1 thì y = – 3 . 1² + 5 . 1 – 2 = 0.

Vậy ta có bảng sau:

x	– 2	– 1	0	1
y	– 24	– 10	– 2	0

Vận dụng 1 trang 12. Một viên bi rơi tự do từ độ cao 19,6 m xuống mặt đất. Độ cao h (mét) so với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) theo công thức: h = 19,6 – 4,9t²; h, t ≥ 0.

b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số h.

Hướng dẫn giải:

a) Viên bi rơi chạm đất thì h = 0.

=> 19,6 – 4,9t²= 0 ⇔ 4,9t²= 19,6 ⇔ t2 = 4 ⇔ t = 2 hoặc t = – 2.

Vì t ≥ 0 nên ta chọn t = 2.

Vậy sau 2 giây kể từ khi rơi thì viên bi chạm đất.

b) Ta có: h = 19,6 – 4,9t²

Đây là hàm số bậc hai với biến t, mà t ≥ 0.

=> Tập xác định của hàm số h này là D = [0; + ∞).

Vì t² ≥ 0 với mọi t nên – 4,9t² ≤ 0 với mọi t.

=> – 4,9t²+ 19,6 ≤ 0 + 19,6

=> 19,6 – 4,9t² ≤ 19,6 với mọi t.

=> h ≤ 19,6 với mọi t.

Mặt khác: h ≥ 0 => 0 ≤ h ≤ 19,6 với mọi t.

Vậy tập giá trị của hàm số h là [0; 19,6].

Hoạt động 2 trang 12. Xét hàm số y = S(x) = – 2x² + 20x (0 < x < 10).

Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.

Hướng dẫn giải:

a) Ta biểu diễn các điểm có tọa độ (0; 0), (2; 32), (4; 48), (5; 50), (6; 48), (8; 32), (10; 0) lên mặt phẳng tọa độ và nối lại, ta được dạng của đồ thị hàm số y = – 2x²+ 20x trên khoảng (0; 10).

Dạng của đồ thị hàm số y = – 2x² + 20x giống với dạng của đồ thị hàm số y = – 2x²

b) Quan sát đồ thị ta thấy tọa độ điểm cao nhất của đồ thị hàm số y = – 2x²+ 20x là điểm (5; 50).

c) Vì (x – 5)²≥ 0 với mọi số thực x => – 2(x – 5)² ≤ 0 với mọi số thực x

=> – 2(x – 5)² + 50 ≤ 0 + 50 = 50 với mọi số thực x.

Khi đó: y ≤ 50.

Vậy giá trị lớn nhất của y là 50 hay diện tích lớn nhất của mảnh đất được rào chắn là 50 m².

Hướng dẫn giải

Gọi x (mét, x > 0) là khoảng cách từ điểm cọc P và Q đến bờ tường.

Tấm lưới dài 20 m và được rào chắn ba mặt áp lên bờ tường như Hình 6.8, do đó ta có:

x + x + PQ = 20.

=> PQ = 20 – x – x = 20 – 2x (m).

Vì PQ > 0 (độ dài dương) => 20 – 2x > 0 ⇔ 2x < 20 ⇔ x < 10.

=> Điều kiện của x là 0 < x < 10.

Mảnh đất được rào chắn có dạng hình chữ nhật với hai kích thước là x (m) và 20 – 2x (m) với 0 < x < 10.

=> Diện tích của mảnh đất là S(x) = x . (20 – 2x) = – 2x² + 20x.

Theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm giá trị của x để S(x) có giá trị lớn nhất.

Ta có:

S(x) = – 2(x² – 10x) = – 2(x² – 2 . 5 . x + 25) + 50 = – 2(x – 5)² + 50 ≤ 50 với mọi số thực x.

Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 ⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện 0 < x < 10).

=> Giá trị lớn nhất của S(x) là 50 tại x = 5.

Vậy hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường 5 m để mảnh đất được rào chắn của bác Việt có diện tích lớn nhất.

Giải SGK toán 10 trang 13 tập 2

Hoạt động 3 trang 13. Tương tự HĐ2, ta có dạng đồ thị của một số hàm số bậc hai sau.

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị hàm số y = – 2x² – 3x + 1 ta thấy:

+ Hệ số a của hàm số là a = – 2;

+ Bề lõm của đồ thị quay xuống;

+ Đồ thị có điểm cao nhất và điểm này có tọa độ \(\left( { - \frac{3}{4};\frac{{17}}{8}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = - \frac{3}{4}\).

Vậy ta hoàn thành bảng như sau:

Hàm số	Hệ số a	Tính chất của đồ thị
		Bề lõm của đồ thị (Quay lên/Quay xuống)	Tọa độ điểm cao nhất/điểm thấp nhất	Trục đối xứng
y = x2 + 2x + 2	1	Quay lên	(– 1; 1)	x = – 1
y = – 2x2 – 3x + 1	– 2	Quay xuống	\(\left( { - \frac{3}{4};\frac{{17}}{8}} \right)\)	\(x = - \frac{3}{4}\)

Giải SGK toán 10 trang 15 tập 2

Luyện tập 2 trang 15. Vẽ parabol y = 3x² – 10x + 7. Từ đó tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3x² – 10x + 7.

Hướng dẫn giải:

Ta có: a = 3 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Parabol y = 3x² – 10x + 7 có:

+ Tọa độ đỉnh \(I\left( {\frac{5}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{5}{3}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 7).

+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình 3x² – 10x + 7 = 0, tức là \(x = \frac{7}{3}\) và x = 1;

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{5}{3}\) là \(B\left( {\frac{{10}}{3};7} \right)\).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

Quan sát đồ thị, ta thấy:

+ Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{5}{3}} \right)\)

=> Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{5}{3}} \right)\).

+ Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng \(\left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\)

=> Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\).

+ Điểm thấp nhất của đồ thị là đỉnh \(I\left( {\frac{5}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\), vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y = - \frac{4}{3}\), khi \(x = \frac{5}{3}\).

Vận dụng 2 trang 15. Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt (H.6.13). Biết rằng trụ tháp cầu có dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27 m, chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26 m là 20 m. Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất).

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho một chân trụ tháp đặt tại gốc tọa độ, chân còn lại đặt trên tia Ox. Khi đó trụ tháp là một phần của đồ thị hàm số dạng y = ax² + bx.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Một chân trụ cột tháp đặt tại gốc tọa độ nên điểm này có tọa độ (0; 0).

Khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27 m, và chân trụ còn lại đặt trên tia Ox, do đó điểm đặt chân trụ cột thứ 2 có tọa độ (27; 0).

Chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26 m là 20 m, điều đó có nghĩa là điểm có tọa độ (2,26; 20) thuộc parabol như trên.

Do đó trụ tháp là một phần đồ thị của hàm số có dạng y = ax² + bx với a, b là các hằng số, a ≠ 0, đồ thị này đi qua các điểm (0; 0), (27; 0), (2,26; 20) như hình vẽ.

Vì đồ thị hàm số y = ax² + bx đi qua điểm có tọa độ (27; 0) nên ta có:

0 = a . 27² + b . 27

⇔ 729a + 27b = 0 ⇔ \(b = \frac{{ - 729a}}{{27}} = - 27a\) (1).

Lại có đồ thị hàm số y = ax² + bx đi qua điểm có tọa độ (2,26; 20) nên ta có:

20 = a . 2,26² + b . 2,26 (2).

Thay (1) vào (2) ta được:

2,26² . a + (– 27a) . 2,26 = 20 ⇔ – 55,9124a = 20

⇔ a ≈ – 0,358 (thỏa mãn)

=> b = – 27a ≈ (– 27) . (– 0,358) = 9,666.

Khi đó ta có hàm số: y = – 0,358x² + 9,666x.

Tọa độ đỉnh: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{ - b}}{{2a}} \approx \frac{{ - 9,666}}{{2.\left( { - 0,358} \right)}} = 13,5\\ y \approx 65,245 \end{array} \right.\)

=> Đỉnh I(13,5; 65,2455).

Vậy độ cao của đỉnh trụ tháp cầu so với mặt đất khoảng 65,2455 m.

Giải SGK toán 10 trang 16 tập 2

Bài 6.7 trang 16. Vẽ các đường parabol sau:

c) y = x²+ 2x + 1;                             d) y = – x²+ x – 1.

Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số y = x²– 3x + 2

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Parabol y = x² – 3x + 2 có:

+ Tọa độ đỉnh \(I\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 2).

+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình x² – 3x + 2 = 0, tức là x = 2 và x = 1;

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\) là B(3; 2).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

b) Xét hàm số y = – 2x²+ 2x + 3

Ta có: a = – 2 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Parabol y = – 2x² + 2x + 3 có:

+ Tọa độ đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

+ Trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 3).

+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình – 2x² + 2x + 3 = 0, tức là \(x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\) và \(x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2}\);

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\) là B(1; 3).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

c) Xét hàm số y = x²+ 2x + 1

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Parabol y = x² + 2x + 1 có:

+ Tọa độ đỉnh I(– 1; 0)

+ Trục đối xứng x = – 1;

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 1).

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng x = – 1 là B(– 2; 1).

+ Lấy điểm C(1; 4) thuộc parabol, điểm đối xứng với C qua trục đối xứng x = – 1 là D(– 3; 4).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

d) Xét hàm số y = – x²+ x – 1

Ta có: a = – 1 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Parabol y = – x² + x – 1 có:

+ Tọa độ đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{4}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\)

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; – 1).

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\) là B(1; – 1).

+ Lấy điểm C(2; – 3) thuộc parabol, điểm đối xứng với điểm C qua trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\) là D(– 1; – 3).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

Bài 6.8 trang 16. Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.

Hướng dẫn giải

Quan sát các đồ thị ta thấy:

a) Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)\)

=> Hàm số y = x² – 3x + 2 nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)\). 

Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)

=> Hàm số y = x² – 3x + 2 đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\). 

b) Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\)

=> Hàm số y = – 2x² + 2x + 3 đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\). 

Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

=> Hàm số y = – 2x² + 2x + 3 nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

c) Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng (– ∞; – 1)

=> Hàm số y = x² + 2x + 1 nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 1).

Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng (– 1; +∞)

=> Hàm số y = x² + 2x + 1 đồng biến trên khoảng (– 1; +∞).

d) Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\)

=> Hàm số y = – x² + x – 1 đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\).

Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

=> Hàm số y = – x² + x – 1 nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Bài 6.9 trang 16. Xác định parabol y = ax² + bx + 1, trong mỗi trường hợp sau:

d) Đi qua điểm C(– 1; 1) và có tung độ đỉnh bằng – 0,25.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: a ≠ 0.

a) Parabol y = ax²+ bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax²+ bx + 1

=> 0 = a . 1² + b . 1 + 1

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b (1).

Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm B(2; 4) nên ta có tọa độ điểm B thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + c

=> 4 = a . 2² + b . 2 + 1

⇔ 4a + 2b = 3 (2).

Thay (1) vào (2) ta được:

4 . (– 1 – b) + 2b = 3 ⇔ – 2b = 7 ⇔ \(b = - \frac{7}{2}\).

=> \(a = - 1 - \left( {\frac{{ - 7}}{2}} \right) = \frac{5}{2}\)

Vậy ta có parabol: \(y = \frac{5}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 1\).

b) Parabol y = ax²+ bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax²+ bx + 1

=> 0 = a . 1² + b . 1 + 1

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b (1).

Parabol y = ax² + bx + 1 có trục đối xứng x = 1

=>  \(- \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow 2a = - b\)(2).

Thay (1) vào (2) ta có:

2 . (– 1 – b) = – b ⇔ b = – 2.

=> a = – 1 – (– 2) = 1.

Vậy ta có parabol: y = x² – 2x + 1.

c) Parabol y = ax²+ bx + 1 có đỉnh I(1; 2).

=> \(- \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow 2a = - b\) và 2 = a . 1² + b . 1 + 1

⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b.

=> 2 . (1 – b) = – b ⇔ b = 2.

=> a = 1 – 2 = – 1.

Vậy ta có parabol: y = – x² + 2x + 1.

d) Parabol y = ax²+ bx + 1 đi qua điểm C(– 1; 1) nên ta có tọa độ điểm C thỏa mãn hàm số y = ax²+ bx + 1

=> 1 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 1

⇔ a – b = 0 ⇔ a = b.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = a² – 4 . a . 1 = a² – 4a.

Tung độ đỉnh bằng – 0,25 => \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = - 0,25 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - 4a}}{{4a}} = 0,25\)

⇔ \(\frac{{a\left( {a - 4} \right)}}{{4a}} = 0,25;\left( {a \ne 0} \right)\)

⇔ a – 4 = 1 ⇔ a = 5.

=> a = b = 5.

Vậy ta có parabol: y = 5x² + 5x + 1.

Bài 6.10 trang 16. Xác định parabol y = ax² + bx + c, biết rằng parabol đó đi qua điểm A(8; 0) và có đỉnh là I(6; – 12).

Gợi ý: Phương trình parabol có thể viết dưới dạng y = a(x – h)² + k, trong đó I(h; k) là tọa độ đỉnh của parabol.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: a ≠ 0.

Vì parabol có đỉnh là I(6; – 12) nên phương trình parabol có dạng: y = a(x – 6)² – 12.

Mặt khác, parabol đi qua điểm A(8; 0) nên ta có:

0 = a(8 – 6)² – 12

⇔ a . 4 – 12 = 0 ⇔ a = 3 (thỏa mãn)

Vậy phương trình parabol là y = 3(x – 6)² – 12 hay y = 3x² – 36x + 96.

Bài 6.11 trang 16. Gọi (P) là đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c. Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt thức ∆, trong mỗi trường hợp sau:

d) (P) tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

Hướng dẫn giải

a) Vì (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên:

+ Bề lõm của đồ thị phải quay lên trên => Hệ số a > 0.

+ Giá trị của hàm số y > 0 nên tung độ của đỉnh parabol là \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} > 0 \Rightarrow \Delta < 0\)

b) Vì (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên:

+ Bề lõm của đồ thị phải quay xuống dưới => Hệ số a < 0.

+ Giá trị của hàm số y < 0 nên tung độ của đỉnh parabol là \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} < 0 \Rightarrow \Delta > 0\)

c) Vì (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên phương trình ax²+ bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt, do đó biệt thức ∆ > 0.

(P) có đỉnh nằm phía dưới trục hoành và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên bề lõm của đồ thị phải quay lên trê=> Hệ số a > 0.

d) (P) tiếp xúc với trục hoành nên nên phương trình ax²+ bx + c = 0 có nghiệm kép,=> Biệt thức ∆ = 0.

(P) nằm phía trên trục hoành nên bề lõm của đồ thị phải quay lên trên, => Hệ số a > 0.

Bài 6.12 trang 16. Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.

Hướng dẫn giải

Cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng là một parabol, giả sử parabol này có phương trình là y = ax² + bx + c với a ≠ 0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ với Oy là trục đối xứng của cổng parabol:

Khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 8 m.

O là trung điểm của AB nên AO = OB = 4 m.

Lấy điểm C cách A một khoảng 0,5 m, vì chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m nên CD = 2,93 m.

Ta có: CO = AO – AC = 4 – 0,5 = 3,5 m.

=> Tọa độ các điểm là: A(– 4; 0), B(4; 0), C(– 3,5; 0), D(– 3,5; 2,93).

Ta thấy parabol đi qua các điểm A, B, D nên phương trình y = ax² + bx + c thỏa mãn tọa độ các điểm A, B, D, do đó ta có:

0 = a . (– 4)² + b . (– 4) + c ⇔ 16a – 4b + c = 0 (1)

0 = a . 4² + b . 4 + c ⇔ 16a + 4b + c = 0 (2)

2,93 = a . (– 3,5)² + b . (– 3,5) + c = 0

⇔ 12,25a – 3,5b + c = 2,93 (3)

Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được: 8b = 0 ⇔ b = 0 thay vào (1) và (3) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} 16a + c = 012,25\\ a + c = 2,93 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 293375\\ c = 4688375 \end{array} \right.\)

=> Phương trình parabol: y=−293375x²+4688375.

Tọa độ đỉnh I(0; 4688375).

Chiều cao của cổng parabol chính là tung độ đỉnh I và bằng 4688/375≈12,5m.

Vậy kết quả của bạn An tính ra là không chính xác.

Bài 6.13 trang 16. Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.

Hướng dẫn giải

a) Bác Hùng dùng lưới để rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng x (mét) như sau:

Vì tấm lưới dài 40 m, hay chính là chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật ABCD là 40 m.

=> Nửa chu vi của mảnh vườn là 40 : 2 = 20 m.

=> Chiều dài của mảnh vườn rào được theo chiều rộng x (mét) là: 20 – x (m).

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (mét) là:

S(x) = x . (20 – x) = – x² + 20x (m²).

b) Để tìm diện tích lớn nhất của mảnh vườn hình chữ nhật bác Hùng có thể rào được, ta tính giá trị lớn nhất của hàm số S(x), đây là hàm số bậc hai.

Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai S(x) = – x²+ 20x là I(10; 100).

=> Giá trị lớn nhất của hàm số S(x) là S =100 tại x = 10.

=> Chiều dài khi chiều rộng x = 10 m là 20 – 10 = 10 (m).

Vậy để mảnh vườn rào được có diện tích lớn nhất thì bác Hùng nên rào lưới thép gai thành hình vuông có độ dài cạnh là 10 m.

Bài 6.14 trang 16. Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là một parabol có phương trình \(y = \frac{{ - 3}}{{1000}}{x^2} + x\), trong đó x (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc O, y (mét) là độ cao của vậy so với mặt đất (H.6.15).

Hướng dẫn giải

a) Độ cao lớn nhất của vật trong quá trình bay chính là tung độ đỉnh của parabol có phương trình \(y = \frac{{ - 3}}{{1000}}{x^2} + x\). 

Ta có tọa độ đỉnh là \(I\left( {\frac{{500}}{3};\frac{{250}}{3}} \right)\).

Vậy độ cao lớn nhất của vật trong quá trình bay là \(\frac{{250}}{3} \approx 83,33\) mét.

b) Khi vật chạm đất, tức là y = 0

⇔ \(\frac{{ - 3}}{{1000}}{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {\frac{{ - 3}}{{1000}}x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{{1000}}{3} \end{array} \right.\)

Ta loại trường hợp x = 0 vì đây là vị trí điểm gốc tọa độ O.

Vậy khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O hay tầm xa của quỹ đạo là \(\frac{{1000}}{3} \approx 333,33\)  mét.

-------------------------------------

Qua bài Toán 10 Bài 16 Hàm số bậc hai , học sinh cần nắm vững dạng tổng quát của hàm số, đặc điểm đồ thị parabol và cách khảo sát các tính chất cơ bản. Tham khảo lời giải sách giáo khoa Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 sẽ giúp các em hiểu phương pháp làm bài, tự kiểm tra kết quả và chủ động luyện tập. Hãy kết hợp việc đọc lời giải với tự giải lại từng bài để ghi nhớ kiến thức lâu hơn.