Giải SGK toán 10 trang 40 tập 2
Giải SGK Toán 10 KNTT trang 40 Bài 20
Giải SGK Toán 10 trang 40 tập 2 cung cấp hướng dẫn làm bài thuộc Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách, sách Kết nối tri thức với cuộc sống lớp 10 tập 2. Qua lời giải cụ thể, học sinh có thể hiểu cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng, tính góc và vận dụng công thức khoảng cách trong mặt phẳng tọa độ Oxy, từ đó củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
Giải hoạt động 4 trang 40 Toán 10 KNTT Tập 2
Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến 
\(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).
a) Chứng minh rằng \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\)
b) Giả sử H có tọa độ (x1; y1). Chứng minh rằng:
\(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_1}} \right) = a{x_0} + b{y_0} + c\)
c) Chứng minh rằng \(HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
H là hình chiếu của M lên ∆ => MH ⊥ ∆.
Vectơ \(\overrightarrow n\) là vectơ pháp tuyến của ∆ nên giá của vectơ \(\overrightarrow n\) vuông góc với ∆.
Khi đó đường thẳng MH song song hoặc trùng với giá của vectơ \(\overrightarrow n\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {HM}\) và \(\overrightarrow n\) cùng phương.
=> Hai vectơ \(\overrightarrow {HM}\) và \(\overrightarrow n\) cùng hướng hoặc ngược hướng.
Nếu hai vectơ \(\overrightarrow {HM}\) và \(\overrightarrow n\) cùng hướng thì \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\)
Nếu hai vectơ \(\overrightarrow {HM}\) và \(\overrightarrow n\) ngược hướng thì \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = - \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right| = - \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\)
Vậy \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\)
b) Ta có:H thuộc ∆ nên tọa độ của H thỏa mãn phương trình ∆, thay tọa độ của H vào phương trình ∆ ta được: ax1+ by1 + c = 0 ⇔ c = – ax1 – by1 (1).
Ta lại có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {HM} = \left( {{x_0} - {x_1};{y_0} - {y_1}} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_1}} \right) = a{x_0} + b{y_0} - a{x_1} - b{y_1}{\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_1}} \right) = a{x_0} + b{y_0} + c\)
Vậy \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_1}} \right) = a{x_0} + b{y_0} + c\)
c) Theo câu a) ta có: \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\)
Theo câu b) ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a{x_0} + b{y_0} + c\)
\(\Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM = \left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|\)\(\Rightarrow HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Vậy \(HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Giải trải nghiệm trang 40 Toán 10 KNTT Tập 2
Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong Hướng dẫn giải Ví dụ 4.
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ là độ dài đoạn MH.
Dùng thước ta đo được MH có độ dài bằng 2 ô vuông trên mặt phẳng tọa độ Oxy nên MH = 2.
Kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả tính được trong Hướng dẫn giải của Ví dụ 4 vì điểm M ở đây có tọa độ trùng với điểm M của Ví dụ 4 và đường thẳng Δ có phương trình trùng với phương trình trong Ví dụ 4.
Giải luyện tập 5 trang 40 Toán 10 KNTT Tập 2
Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + 3t\\
y = - 5 - 4t
\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + 3t\\
y = - 5 - 4t
\end{array} \right.\) đi qua điểm A(5; – 5) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 4} \right)\)
=> ∆ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4;3} \right)\).
=> Phương trình tổng quát của ∆ là: 4(x – 5) + 3(y + 5) = 0 hay 4x + 3y – 5 = 0.
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, ta có:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.1 + 3.2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{5}{5} = 1\)
Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là 1.
---------------------------------------------
Hy vọng phần Giải Toán 10 KNTT Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách giúp các em nắm vững phương pháp giải và vận dụng hiệu quả các công thức đã học. Hãy chủ động luyện tập, kiểm tra từng bước tính toán và ôn lại kiến thức về phương trình đường thẳng để nâng cao khả năng giải bài tập hình học tọa độ.
