Toán 10 Bài 22 Ba đường conic
Giải SGK Toán 10 Bài 22 Ba đường conic
Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ là chủ đề quan trọng giúp học sinh vận dụng kiến thức đại số vào giải quyết các bài toán hình học. Với Toán 10 Bài 21 Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ, bài viết cung cấp lời giải SGK Kết nối tri thức tập 2 rõ ràng, giúp các em hiểu cách xác định tâm, bán kính và lập phương trình đường tròn.
Giải SGK toán 10 trang 48 tập 2
Hoạt động 1 trang 48 Toán 10 KNTT Tập 2
Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định F1, F2 trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F1, F2). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín (H.7.18).
a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?
b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí F1, F2có thay đổi không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
a) Đường vừa nhận được có liên hệ với Hình 7.17b, hai hình này có dạng gần giống nhau.
b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ đầu bút tới các vị trí F1, F2không thay đổi vì nó luôn bằng độ dài của sợi dây.
Giải SGK toán 10 trang 49 tập 2
Câu hỏi trang 49 Toán 10 KNTT Tập 2
Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c?
Hướng dẫn giải:
Xét tam giác MF1F2, theo bất đẳng thức tam giác ta có: MF1 + MF2 > F1F2.
Mà MF1 + MF2 = 2a, F1F 2 = 2c nên 2a > 2c.
=> a > c.
Luyện tập 1 trang 49 Toán 10 KNTT Tập 2
Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
Vị trí ban đầu của bi và vị trí của lỗ thu là 2 tiêu điểm của hình elip, gọi hai tiêu điểm này lần lượt là F1 và F2. Bi lăn từ F1 đến một vị trí M trên hình elip rồi đi đến F2.
Do đó, quãng đường bi đi được là: MF1 + MF2.
Theo tính chất hình elip thì MF1 + MF2 = 2a không đổi.
Vậy độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.
Hoạt động 2 trang 49 Toán 10 KNTT Tập 2
Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F1F2, tia Ox trùng tia OF2 (H.7.21).
a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm
b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi
\(\sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}} = 2a\)(1)
Chú ý. Người ta có thể biến đổi (1) về dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1;b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}\)
Hướng dẫn giải:
a) Vì F1F2= 2c, mà O là trung điểm của F1F2.
=> F1O = F 2O = 2c : 2 = c.
Quan sát hình ta thấy, điểm F 1 thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F1O
=> F1 (– c; 0).
Điểm F 2 thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F2O
=> F2 (c; 0).
Vậy tọa độ các tiêu điểm: F1(– c; 0) và F2(c; 0).
b) Giả sử M(x; y) thuộc elip (E) ta cần chứng minh: \(\sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}} = 2a\)
Ta có: M thuộc elip (E) nên: MF1 + MF2 = 2a.
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}
M{F_1} = \sqrt {{{\left( {x - \left( { - c} \right)} \right)}^2} + {{\left( {y - 0} \right)}^2}} + \sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} \\
M{F_2} = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {{\left( {y - 0} \right)}^2}} + \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}}
\end{array} \right.\)
⇒ \(M{F_1} + M{F_2} = \sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}} = 2a\)
Vậy \(\sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}} = 2a\)
Giả sử \(\sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}} = 2a\), ta cần chứng minh M thuộc elip (E).
Thật vậy: \(\sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}} = 2a\) nên: MF1 + MF2 = 2a.
Giải SGK toán 10 trang 50 tập 2
Luyện tập 1 trang 50 Toán 10 KNTT Tập 2
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \({a^2} = 100;{b^2} = 64 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {100 - 64} = 6\)
Vậy elip có hai tiêu điểm là F1(– 6; 0); F2(6; 0) và tiêu cự là F1F2 = 2c = 2 . 6 = 12.
Vận dụng 1 trang 50 Toán 10 KNTT Tập 2
Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)
Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng 75 cm.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
30 cm trên thực tế ứng với 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.
=> 75 cm trên thực tế ứng với 75 : 30 = 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.
Gọi điểm M trên elip thỏa mãn có hoành độ là 2,5
=> M(2,5; y)
Do M thuộc (E) nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), suy ra: \(\frac{{{{\left( {2,5} \right)}^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow y \approx 1,56\)
=> Chiều cao của ô thoáng là: h ≈ 1,56 . 30 = 46,8 cm.
Vậy chiều cao của ô thoáng khoảng 46,8 cm.
Hoạt động 3 trang 50 Toán 10 KNTT Tập 2
Giả sử thiết bị tại F2 nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F1 là 2 giây và vận tốc âm thanh là 343 m/s.
a) Tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F1, F2.
b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh có liên quan đến bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF1– MF2= 686 (m) hay không?
Hướng dẫn giải:
a) Giả sử nơi phát ra tín hiệu âm thanh là tại vị trí điểm M.
Khi đó MF1 là khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F1 và MF2 là khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F2.
Gọi t1 là thời gian âm thanh phát từ M đến F1, t2 là thời gian âm thanh phát từ M đến F2.
Thiết bị tại F2 nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F1 là 2 giây nên t1 – t2 = 2.
Vận tốc âm thanh là 343 m/s.
=> MF1 = 343.t1; MF2 = 343.t2.
=> MF1 – MF2 = 343.t1 – 343.t2 = 343.(t1 – t2) = 343 . 2 = 686 (m).
Vậy mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F1, F2 là MF1 – MF2 = 686 (m).
b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh chính là việc giải quyết bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF1– MF2= 686 (m).
Giải SGK toán 10 trang 51 tập 2
Luyện tập 3 trang 51 Toán 10 KNTT Tập 2
Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD (H.7.25). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.
Hướng dẫn giải:
Ta có: ABCD là hình chữ nhật => AB = CD.
Lại có: M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD
=>AM = BM = 1/2AB và CN = DN = 1/2CD.
=> BM = CN = AM = DN (*).
=> BM // ND, BM = ND nên BMDN là hình bình hành
=> BN = MD (1).
Chứng minh tương tự ta được: AN = CM (2).
Hơn nữa ta chứng minh được BMNC là hình chữ nhật nên hai đường chéo BN và MC bằng nhau hay BN = MC (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra: BN = CM = AN = DM (**).
Từ (*) và (**) ta có:
|BN – BM| = |CN – CM| = |AN – AM| = |DN – DM| < MN (bất đẳng thức tam giác).
Vậy A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.
Hoạt động 4 trang 51 Toán 10 KNTT Tập 2
Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F1F2, tia Ox trùng tia OF2 (H.7.26). Nêu tọa độ của các tiêu điểm F1, F2. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi
\(\left| {\sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} - \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\) (3)
Hướng dẫn giải:
Ta có:
F1F2 = 2c, mà O là trung điểm của F1F2.
=> F1O = F2O = 2c : 2 = c.
Ta thấy: Điểm F1 thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F1O
=> F1(– c; 0).
Điểm F2 thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F2O
=> F2(c; 0).
Vậy tọa độ các tiêu điểm: F1(– c; 0) và F2(c; 0).
Giả sử M(x; y) thuộc hypebol (H) ta cần chứng minh: \(\left| {\sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} - \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\)
Thật vậy, M thuộc hypebol (H) nên: |MF1 – MF2|= 2a.
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{ccccc}
M{F_1} = & \sqrt {{{\left( {x - \left( { - c} \right)} \right)}^2} + {{\left( {y - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} \\
M{F_2} = & \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {{\left( {y - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}}
\end{array} \right.\)
⇒ \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right|\left| { = \sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} - \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\)
Vậy \(\left| {\sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} - \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\)
Giả sử \(\left| {\sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} - \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\), ta cần chứng minh M thuộc hypebol (H).
Thật vậy: \(\left| {\sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} - \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\) nên: |MF1 – MF2|= 2a.
Vậy M thuộc hypebol (H).
Giải SGK toán 10 trang 52 tập 2
Luyện tập 4 trang 52 Toán 10 KNTT Tập 2
Cho hypebol (H):\(\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\) . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\({a^2} = 144;{b^2} = 25 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {144 + 25} = \sqrt {169} = 13\)
Vậy hypebol có hai tiêu điểm là F1(– 13; 0), F2(13; 0) và có tiêu cự 2c = 2 . 13 = 26.
Hoạt động 5 trang 52 Toán 10 KNTT Tập 2
Cho parabol (P): \(y = \frac{1}{4}{x^2}\). Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y) thuộc (P).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(MF = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}\)
\(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {y + 1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \left| {y + 1} \right|\)
Giả sử MF = d(M, ∆), ta cần chứng minh M(x; y) thuộc (P).
Thật vậy, MF = d(M, ∆) ⇔ \(\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \left| {y + 1} \right|\)
Bình phương cả hai vế của phương trình trên ta được:
x2 + (y – 1)2 = (y + 1)2
⇔ x2 – 4y = 0 ⇔ y = \(\frac{1}{4}{x^2}\).
Vậy M thuộc (P).
Giả sử M(x; y) thuộc (P), ta cần chứng minh MF = d(M, Δ).
M(x; y) thuộc (P) nên \(y = \frac{1}{4}{x^2}\) hay x2 = 4y, thay vào biểu thức tính MF ta có:
\(\begin{array}{l}
MF = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \\
= \sqrt {4y + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \\
= \sqrt {4y + {y^2} - 2y + 1} \\
= \sqrt {{y^2} + 2y + 1} \\
= y + 1 = d\left( {M;\Delta } \right)
\end{array}\)
Vậy MF = d(M, Δ).
Hoạt động 6 trang 52 Toán 10 KNTT Tập 2
Hoạt động 6 trang 52 SGK Toán lớp 10 Tập 2: Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên Δ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF (H.7.27).
a) Nêu tọa độ của F và phương trình của ∆.
b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi
\(\sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|\)
Hướng dẫn giải:
a) Khoảng cách từ F đến ∆, chính là FH và chính bằng tham số tiêu của (P) nên HF = p.
Vì O là trung điểm của HF nên HO = OF = \(\frac{1}{2}HF = \frac{p}{2}\)
Điểm F thuộc trục Ox và nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng OF => \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)
Điểm H thuộc trục Ox và \(H\left( { - \frac{p}{2};0} \right)\) nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng OH => \(H\left( { - \frac{p}{2};0} \right)\)
Đường thẳng ∆ đi qua điểm và vuông góc với trục Ox, do đó phương trình của ∆ là \(x = - \frac{p}{2}\) hay ∆: \(x + \frac{p}{2} = 0\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
MF = \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} \\
d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {x + \frac{p}{2}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|
\end{array}\)
Giả sử M thuộc (P), ta cần chứng minh \(\sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|\)
Thật vậy, vì M thuộc (P) nên MF = d(M, ∆)
\(\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|\)
Giả sử \(\sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|\), ta cần chứng minh M thuộc (P).
Thật vậy, vì \(\sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|\) nên MF = d(M, ∆).
Vậy M thuộc (P).
Giải SGK toán 10 trang 53 tập 2
Vận dụng 2 trang 53 Toán 10 KNTT Tập 2
Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo (H.7.28). Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
Gọi R là bán kính đảo hình tròn, d là đường bờ biển. Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong đất liền, song song với d và cách d một khoảng bằng R = OA.
Ta có: d(M, ∆) = MH + R = MA + AO = MO.
Vậy tập hợp các điểm M thuộc đường parabol (P) có tiêu điểm là O, đường chuẩn là ∆.
Giải SGK toán 10 trang 56 tập 2
Vận dụng 3 trang 56 Toán 10 KNTT Tập 2
Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc (theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.
\(\frac{{{x^2}}}{{400}} + \frac{{{y^2}}}{{76}} = 1\)
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là tiêu cự của elip.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{a^2} = 400;{b^2} = 76\\
\Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {400 - 76} = \sqrt {324} = 18
\end{array}\)
Khi đó tiêu cự \(2c = 2.18 = 36\)
Vậy khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là 36 cm.
Bài 7.19 trang 56 Toán 10 KNTT Tập 2
Cho elip có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{a^2} = 36;{b^2} = 9\\
\Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {36 - 9} = \sqrt {27} = 3\sqrt 3
\end{array}\)
=> Elip có các tiêu điểm là \({F_1} = \left( { - 3\sqrt 3 ;0} \right);{F_2} = \left( {3\sqrt 3 ;0} \right)\) và tiêu cự \(2c = 2.3\sqrt 3 = 6\sqrt 3\).
Bài 7.20 trang 56 Toán 10 KNTT Tập 2
Cho hypebol có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{7} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{a^2} = 7;{b^2} = 9\\
\Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {7 + 9} = \sqrt {16} = 4
\end{array}\)
=> Hypebol có các tiêu điểm là F1(– 4; 0), F2(4; 0)và tiêu cự 2c = 2 . 4 = 8.
Bài 7.21 trang 56 Toán 10 KNTT Tập 2
Cho parabol có phương trình: \({y^2} = 8x\). Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 2p = 8 nên p = 8 : 2 = 4.
=> \(\frac{p}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
Vậy parabol có tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn ∆: x = – 2.
Bài 7.22 trang 56 Toán 10 KNTT Tập 2
Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F2(3; 0).
Hướng dẫn giải:
Elip (E) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với a > b > 0.
Ta có:
Elip đi qua điểm A(5; 0)
=> Tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) hay
\(\frac{{{5^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{{5^2}}}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = {5^2} \Rightarrow a = 5\) (do a > 0).
Lại có: Elip có một tiêu điểm F2(3; 0), nên c = 3
\(\Rightarrow \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3 \Rightarrow \sqrt {25 - {b^2}} = 3 \Rightarrow {b^2} = 16\)
=> b = 4 (do b > 0).
Vậy phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F2(3; 0) là \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Bài 7.23 trang 56 Toán 10 KNTT Tập 2
Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4).
Hướng dẫn giải:
Gọi dạng của phương trình chính tắc của parabol cần lập là: (với p > 0).
Theo bài ra ta có:
Parabol đi qua điểm M(2; 4) suy ra tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình parabol hay x = 2 và y = 4, k
=> 42 = 2p . 2 ⇔ p = 4 (thỏa mãn).
=> 2p = 2 . 4 = 8.
Vậy phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4) là y2 = 8x.
Bài 7.24 trang 56 Toán 10 KNTT Tập 2
Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thủy thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thủy thuộc đường hybebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A, B nằm trên trục Ox, tia Ox trùng với tia OB, O là trung điểm của AB.
Ta có:
AB = 300 => AO = OB = AB : 2 = 300 : 2 = 150.
=> Tọa độ hai điểm A, B là: A(– 150; 0) và B(150; 0).
Gọi vị trí tàu thủy là điểm M nằm trên hypebol có 2 tiêu điểm là A và B.
Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s nên ta có:
|MA – MB| = 0,0005 . 292 000 = 146 (km).
Gọi phương trình chính tắc của hypebol cần lập có dạng:
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với a, b > 0.
Vì |MA – MB| = 146 = 2a ⇔ a = 73 (thỏa mãn).
=> a2 = 732 = 5329.
Lại có: Hypebol có hai tiêu điểm là: A(– 150; 0) và B(150; 0)
=> c = 150.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow 150 = \sqrt {{{73}^2} + {b^2}} \\
\Leftrightarrow {150^2} = {73^2} + {b^2} \Leftrightarrow {b^2} = 17171 \Rightarrow b = \sqrt {17171}
\end{array}\)
(do b > 0).
Vậy tàu thủy thuộc đường hypebol có hai tiêu điểm là A(– 150; 0), B (150; 0), có tiêu cự 2c = 2 . 150 = 300 và có phương trình chính tắc là: .
Bài 7.25 trang 56 Toán 10 KNTT Tập 2
Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là A, điểm cuối là B, khoảng cách AB = 400 m. Đỉnh parabol (P) của khúc cua cách đường thẳng AB một khoảng 20 m và cách đều A, B (H.7.34).
a) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế.
b) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế.
Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho đỉnh của parabol trùng với gốc tọa độ O(0; 0) (như hình vẽ).
Gọi H là hình chiếu của O lên AB, khi đó ta chứng minh được H là trung điểm của AB nên HA = HB = 1/2AB.
Khoảng cách từ đỉnh khúc cua đến đường thẳng AB là OH.
a) Khoảng cách AB = 400 m.
Ta có:
HA = HB = 400 : 2 = 200 (m).
OH = 20 m.
Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế thì tọa độ các điểm là: A(20; – 200) và B(20; 200).
Gọi phương trình parabol (P) có dạng y2 = 2px (với p > 0).
=> A, B đều thuộc (P).
Thay tọa độ điểm B vào phương trình parabol (P) ta có: 2002 = 2p . 20 ⇔ 2p = 2000.
Vậy parabol (P) có phương trình là: y2 = 2000x.
b) Đổi: 400 m = 0,4 km; 20 m = 0,02 km.
=> HA = HB = 0,4 : 2 = 0,2 (km).
OH = 0,02 km.
Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế thì tọa độ các điểm là: A(0,02; – 0,2) và B(0,02; 0,2)
Gọi phương trình parabol (P) có dạng y2= 2p'x (với p' > 0).
=> A, B đều thuộc (P).
Thay tọa độ điểm B vào phương trình parabol (P) ta có: 0,22 = 2p' . 0,02 ⇔ 2p' = 2.
Vậy parabol (P) có phương trình là: y2 = 2x.
---------------------------------
Thông qua lời giải Toán 10 KNTT Bài 21, học sinh có thể củng cố kiến thức về tâm, bán kính và phương trình đường tròn, đồng thời rèn luyện kỹ năng xử lý các dạng bài hình học tọa độ. Hãy chủ động luyện tập thêm để ghi nhớ công thức và vận dụng kiến thức linh hoạt hơn.
