Toán 10 Bài 20 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
Giải SGK Toán 10 Bài 20 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Góc và khoảng cách
Trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức, Bài 20 giúp học sinh tìm hiểu cách xác định vị trí tương đối, tính góc và khoảng cách giữa các đối tượng hình học trong mặt phẳng tọa độ. Bài viết Toán 10 Bài 20 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách tổng hợp lời giải SGK tập 2 rõ ràng, dễ hiểu, hỗ trợ các em nắm chắc kiến thức và vận dụng thành thạo.
Giải SGK toán 10 trang 36 tập 2
Câu hỏi mở đầu trang 36 Toán 10 KNTT Tập 2
Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi đường thẳng đều có đối tượng đại số tương ứng, gọi là phương trình của nó. Vậy các yếu tố liên quan tới đường thẳng được thể hiện như thế nào qua phương trình tương ứng?
Hướng dẫn giải:
Để biết các yếu tố liên quan tới đường thẳng được thể hiaện qua phương trình tương ứng như thế nào ta cùng tìm hiểu qua bài học 20.
Hoạt động 1 trang 36 Toán 10 KNTT Tập 2
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng
∆1: x – 2y + 3 = 0,
∆2: 3x – y – 1 = 0.
a) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?
b) Giải hệ 
\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 3 = 0\\
3x - y - 1 = 0
\end{array} \right.\)
c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của ∆1và ∆2với nghiệm của hệ phương trình trên.
Hướng dẫn giải:
a) Thay tọa độ điểm M(1; 2) vào phương trình ∆1ta được:
1 – 2 . 2 + 3 = 0 ⇔ 0 = 0 (luôn đúng).
=> Điểm M thuộc ∆1.
Thay tọa độ điểm M(1; 2) vào phương trình ∆2 ta được:
3 . 1 – 2 – 1 = 0 ⇔ 0 = 0 (luôn đúng).
=> Điểm M thuộc ∆2.
Vậy M thuộc cả hai đường thẳng ∆1 và ∆2 .
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 3 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\
3x - y - 1 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được: 5x – 5 = 0 ⇔ x = 1.
Thay x = 1 vào (1) ta được: 1 – 2y + 3 = 0 ⇔ 2y = 4 ⇔ y = 2.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (1; 2).
c) Theo câu a, điểm M(1; 2) thuộc cả hai đường thẳng ∆1và ∆2
=> M là giao điểm của hai đường thẳng này.
=> Tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 giống với nghiệm của hệ phương trình ở câu b.
Giải SGK toán 10 trang 37 tập 2
Luyện tập 1 trang 37 Toán 10 KNTT Tập 2
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: x + 4y – 3 = 0 và ∆2: x – 4y – 3 = 0;
b) ∆1: \(x + 2y - \sqrt 5 = 0\) và ∆2: \(2x + 4y - 3\sqrt 5 = 0\).
Hướng dẫn giải:
a) Xét hệphương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 4y - 3 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\
x - 4y - 3 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Lấy (1) cộng vế theo vế với (2) ta được: 2x – 6 = 0 ⇔ x = 3.
Thay x = 3 vào (1) ta được: 3 + 4y – 3 = 0 ⇔ 4y = 0 ⇔ y = 0.
=> Hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 0).
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tại điểm M(3; 0).
b) Đường thẳng ∆1: \(x + 2y - \sqrt 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;2} \right)\)
Đường thẳng ∆2: \(2x + 4y - 3\sqrt 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;4} \right)\)
Nhận thấy rằng \(\overrightarrow {{n_2}} = 2\overrightarrow {{n_1}}\) => Hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}}\) cùng phương.
=> Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác Điểm A(√5; 0) thuộc đường thẳng ∆1 nhưng không thuộc đường thẳng ∆2 nên hai đường thẳng này không trùng nhau.
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song với nhau.
Hoạt động 2 trang 37 Toán 10 KNTT Tập 2
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?
Hướng dẫn giải:
Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, trong đó có hai cặp góc đối đỉnh với nhau.
Hai góc đối đỉnh thì có số đo bằng nhau. Một cặp góc đối đỉnh là góc tù thì cặp còn lại là góc nhọn.
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tại A như hình trên.
Ta có:
\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_3}}\) (Hai góc đối đỉnh, là hai góc tù)
\(\widehat {{A_2}} = \widehat {{A_4}}\) (Hai góc đối đỉnh, là hai góc nhọn).
Giải SGK toán 10 trang 38 tập 2
Hoạt động 3 trang 38 Toán 10 KNTT Tập 2
Cho hai đường thẳng cắt nhau ∆1, ∆2 tương ứng có các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}}\). Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:
a) góc φ và góc \(\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)\);
b) cosφ và \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)\)
Hướng dẫn giải:
a) Quan sát Hình 7.7, ta thấy góc giữa hai đường thẳng ∆1và ∆2là góc φ, góc này bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ .
b) Với trường hợp góc φ và góc bằng nhau thì ta có: cosφ = \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)\)
+) Với trường hợp góc φ và góc bù nhau thì ta có: cosφ = –\(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)\)
Luyện tập 2 trang 38 Toán 10 KNTT Tập 2
Tính góc giữa hai đường thẳng
∆1: x + 3y + 2 = 0 và ∆2: y = 3x + 1.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng ∆1 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3} \right)\)
Ta có: y = 3x + 1 ⇔ 3x – y + 1 = 0 hay ∆2: 3x – y + 1 = 0
=> Đường thẳng ∆2 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 1} \right)\).
Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
Ta có:
\(\cos \varphi = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.3 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0\)
=> Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 vuông góc và φ = 90°.
Giải SGK toán 10 trang 39 tập 2
Luyện tập 3 trang 39 Toán 10 KNTT Tập 2
Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = 1 - 2t
\end{array} \right.;{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t'\\
y = 5 + 3t'
\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải:
Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3} \right)\)
=> Vectơ pháp tuyến của ∆1 và ∆ 2 lần lươt là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 3;1} \right)\)
Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
Ta có:
\(\cos \varphi = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\(= \frac{{\left| {2.3 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
=> Góc giữa ∆1 và ∆2 là φ = 45°.
Luyện tập 4 trang 39 Toán 10 KNTT Tập 2
Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.
b) Lập phương trình đường thẳng ∆0đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆.
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α∆ và α∆0.
d) Gọi M là giao điểm của ∆0với nửa đường tròn đơn vị và x0là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x0 và a. Từ đó, chứng minh rằng tanα∆ = a.
Hướng dẫn giải:
a) Phương trình trục hoành Ox: y = 0.
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
y = 0\\
y = ax + b
\end{array} \right. \Rightarrow ax + b = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{b}{a};\left( {a \ne 0} \right)\)
=> Hệ trên có nghiệm duy nhất \(\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\)
=> Tọa độ giao điểm của ∆ và trục hoành là \(\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\)
b) Vectơ pháp tuyếncủa đường thẳng ∆ là \(\overrightarrow n = \left( {a; - 1} \right)\)
Do đường thẳng ∆0 song song hoặc trùng với ∆ nên ta chọn vectơ là một vectơ pháp tuyến của ∆0.
Đường thẳng ∆0 đi qua điểm O(0; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {a; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
=> Phương trình đường thẳng ∆0 là: a(x – 0) – (y – 0) = 0 hay ax – y = 0 hay y = ax.
c) Khi ∆ và ∆0trùng nhau thì α∆và α∆0 trùng nhau nên α∆ = α∆0.
Khi ∆ và ∆0 song song thì α∆ = α∆0 (do hai góc ở vị trí đồng vị).
Vậy α∆ = α∆0..
d) Vì M thuộc đường thẳng ∆0nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng ∆0nên khi có hoành độ x0 thì tung độ của M là y0 = ax0.
Ta có: \(\tan {a_{{\Delta _0}}} = \tan \widehat {xOM} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = \frac{{a{x_0}}}{{{x_0}}} = a\)
(theo định nghĩa giá trị lượng giác)
Do α∆ = α∆0 nên tanα∆ = tanα∆0 = a.
Vậy tanα∆ = a.
Giải SGK toán 10 trang 40 tập 2
Hoạt động 4 trang 40 Toán 10 KNTT Tập 2
Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).
a) Chứng minh rằng \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\)
b) Giả sử H có tọa độ (x1; y1). Chứng minh rằng:
\(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_1}} \right) = a{x_0} + b{y_0} + c\)
c) Chứng minh rằng \(HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
H là hình chiếu của M lên ∆ => MH ⊥ ∆.
Vectơ \(\overrightarrow n\) là vectơ pháp tuyến của ∆ nên giá của vectơ \(\overrightarrow n\) vuông góc với ∆.
Khi đó đường thẳng MH song song hoặc trùng với giá của vectơ \(\overrightarrow n\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {HM}\) và \(\overrightarrow n\) cùng phương.
=> Hai vectơ \(\overrightarrow {HM}\) và \(\overrightarrow n\) cùng hướng hoặc ngược hướng.
Nếu hai vectơ \(\overrightarrow {HM}\) và \(\overrightarrow n\) cùng hướng thì \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\)
Nếu hai vectơ \(\overrightarrow {HM}\) và \(\overrightarrow n\) ngược hướng thì \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = - \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right| = - \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\)
Vậy \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\)
b) Ta có:H thuộc ∆ nên tọa độ của H thỏa mãn phương trình ∆, thay tọa độ của H vào phương trình ∆ ta được: ax1+ by1 + c = 0 ⇔ c = – ax1 – by1 (1).
Ta lại có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {HM} = \left( {{x_0} - {x_1};{y_0} - {y_1}} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_1}} \right) = a{x_0} + b{y_0} - a{x_1} - b{y_1}{\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_1}} \right) = a{x_0} + b{y_0} + c\)
Vậy \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_1}} \right) = a{x_0} + b{y_0} + c\)
c) Theo câu a) ta có: \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\)
Theo câu b) ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} = a{x_0} + b{y_0} + c\)
\(\Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM = \left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|\)\(\Rightarrow HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Vậy \(HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Trải nghiệm trang 40 Toán 10 KNTT Tập 2
Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong Hướng dẫn giải Ví dụ 4.
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ là độ dài đoạn MH.
Dùng thước ta đo được MH có độ dài bằng 2 ô vuông trên mặt phẳng tọa độ Oxy nên MH = 2.
Kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả tính được trong Hướng dẫn giải của Ví dụ 4 vì điểm M ở đây có tọa độ trùng với điểm M của Ví dụ 4 và đường thẳng Δ có phương trình trùng với phương trình trong Ví dụ 4.
Luyện tập 5 trang 40 Toán 10 KNTT Tập 2
Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + 3t\\
y = - 5 - 4t
\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + 3t\\
y = - 5 - 4t
\end{array} \right.\) đi qua điểm A(5; – 5) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 4} \right)\)
=> ∆ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4;3} \right)\).
=> Phương trình tổng quát của ∆ là: 4(x – 5) + 3(y + 5) = 0 hay 4x + 3y – 5 = 0.
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, ta có:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.1 + 3.2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{5}{5} = 1\)
Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là 1.
Giải SGK toán 10 trang 41 tập 2
Vận dụng trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.
b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ?
Hướng dẫn giải:
a) Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:
Vì B trùng với gốc tọa độ O nên B có tọa độ là (0; 0).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 12 m, BC = AD = 15 m.
Điểm A thuộc trục Oy và có AO = AB = 12 m => A (0; 12).
Điểm C thuộc trục Ox và có CO = CB = 15 m => C(15; 0).
Ta có:
DC ⊥ Ox (do DC ⊥ BC), DA ⊥ Oy (do DA ⊥ AB)
DC = 12 m, DA = 15 m
=> Điểm D có tọa độ là (15; 12).
Từ E kẻ EH vuông góc với BC, H thuộc BC nên EH = AB = 12 m, lại có AE = 5 m
=> E(5; 12).
Từ F kẻ FJ vuông góc với AB, J thuộc AB nên FJ = AD = 15 m, lại có CF = 6 m
=>F(15; 6).
Vậy A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6).
Ta có: \(\overrightarrow {EF} = \left( {15 - 5;6 - 12} \right) = \left( {10; - 6} \right)\)
Chọn vectơ \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} = \frac{1}{2}.\left( {10; - 6} \right) = \left( {5; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương của đường thẳng EF thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng EF là \(\overrightarrow n = \left( {3;5} \right)\).
Đường thẳng EF đi qua điểm E(5; 12) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;5} \right)\)
=> Phương trình đường thẳng EF là:
3(x – 5) + 5(y – 12) = 0 hay 3x + 5y – 75 = 0.
b) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ B đến EF là:
\(d\left( {B,EF} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 5.0 - 7.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{{75}}{{\sqrt {34} }} \approx 12,9\) (m).
Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưỡi câu có thể quăng xa 10,7 m và 10,7 m < 12,9 m nên lưỡi câu không thể rơi vào vị trí nuôi vịt.
Bài 7.7 trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) \({\Delta _1}:3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - 3 = 0;{\Delta _2}:6x + 2y - \sqrt 6 = 0\).
b) \({d_1}:x - \sqrt 3 y + 2 = 0;{d_2}:\sqrt 3 x + 3y + 2 = 0\)
c) m1: x – 2y + 1 = 0 và m2: 3x + y – 2 = 0.
Hướng dẫn giải:
a) Đường thẳng ∆1 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)
Đường thẳng ∆2 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\overrightarrow {{n_2}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}}\) cùng phương
=> Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm \(A\left( {0;\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)\) vừa thuộc ∆1 vừa thuộc ∆2.
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆1 trùng nhau.
b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\) và của d2 là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;3} \right)\).
Ta có:\(\overrightarrow {{n_2}} = \sqrt 3 \overrightarrow {{n_1}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}}\) cùng phương
=> Hai đường thẳng d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm B(– 2; 0) thuộc d1 nhưng không thuộc d2.
Vậy hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.
c) Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 1 = 0\\
3x + y - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x - 6y + 3 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\
3x + y - 2 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1) ta được: 7y – 5 = 0 ⇔y=5/7.
Thay vào (1) ta được: 3x−6.5/7+3=0⇔x=3/7.
=> Hệ trên có nghiệm duy nhất (3/7;5/7).
Vậy hai đường thẳng m1 và m2 cắt nhau tại điểm có tọa độ (3/7;5/7).
Bài 7.8 trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1:3x + y – 4 = 0 và ∆2: x +3y + 3 = 0;
b) d1: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1 + 2t\\
y = 3 + 4t
\end{array} \right.\) và d2: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + s\\
y = 1 - 3s
\end{array} \right.\) (t, s là các tham số).
Hướng dẫn giải:
a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆1và∆2 lần lượt là
Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Ta có:
\(\cos \varphi = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\(= \frac{{\left| {3.1 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
=> Góc giữa ∆1 và ∆2 là φ = 30°.
b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;4} \right);\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 3} \right)\).
=> Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1} \right)\)
Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2. Ta có:
\(\cos \varphi = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\(= \frac{{\left| {4.3 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
=> Góc giữa d1 và d2 là α = 45°.
Bài 7.9 trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.
b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆.
c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {0 - 2 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 3 }} = 3\sqrt 2\)
Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là \(3\sqrt 2\).
b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;1} \right)\).
Vì a // ∆ => Vectơ pháp tuyến của a là \(\overrightarrow {{n_a}} = \left( {1;1} \right)\).
Đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_a}} = \left( {1;1} \right)\)
=> Phương trình đường thẳng a là:
1(x + 1) + 1(y – 0) = 0 hay x + y + 1 = 0.
c) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 1} \right)\)
Vì b ⊥ ∆, nên vectơ pháp tuyến của b là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 1} \right)\).
Đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_b}} = \left( {1; - 1} \right)\)
=> Phương trình đường thẳng b là:
1(x – 0) – 1(y – 3) = 0 hay x – y + 3 = 0.
Bài 7.10 trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1).
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
a) Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác ABC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2 - 3; - 1 - 2} \right) = \left( { - 5; - 3} \right)\)
Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là \(\overrightarrow u = \overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 3} \right)\)
=> Vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 5} \right)\)
Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 5} \right)\)
=> Phương trình đường thẳng BC là: 3(x – 3) – 5(y – 2) = 0 hay 3x – 5y + 1 = 0.
=> Khoảng cách từ A đến BC là:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 - 5.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} = \frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\)
Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là \(h = \frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\)
b) Ta có: \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {34}\)
Diện tích tam giác ABC là:
\(S = \frac{1}{2}.h.BC = \frac{1}{2}.\frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}.\sqrt {34} = 2\) (đvdt).
Vậy diện tích tam giác ABC là 2 đvdt.
Bài 7.11 trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.a' = – 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0 hay d: ax – y + b = 0
=> Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là \(\overrightarrow n = \left( {a; - 1} \right)\).
Lại có: y = a'x + b' ⇔ a'x – y + b' = 0 hay d': a'x – y + b' = 0
=> Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d' là \(\overrightarrow n ' = \left( {a'; - 1} \right)\).
Hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau khi
\(\overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {n'} = 0\)\(\Leftrightarrow a.a' + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a.a' = - 1\)
Vậy d ⊥ d' ⇔ aa' = – 1.
Bài 7.12 trang 41 Toán 10 KNTT Tập 2
Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
Hướng dẫn giải:
Gọi H(a; b) là vị trí tín hiệu âm thanh phát đi.
Lại có ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận tín hiệu từ H phát đi tại cùng một thời điểm => HO = HA = HB.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {HO} = \left( { - a; - b} \right) \Rightarrow HO = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\overrightarrow {HA} = \left( {1 - a; - b} \right) \Rightarrow HA = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {b^2}} \\
\overrightarrow {HB} = \left( {1 - a;3 - b} \right) \Rightarrow HB = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {3 - b} \right)}^2}}
\end{array} \right.\)
Ta có: HO = HA
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2}\\
\Leftrightarrow 2a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}
\end{array}\)
Lại có: HA = HB
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {3 - b} \right)}^2}} \\
\Rightarrow {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2}\\
\Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2}\\
\Leftrightarrow 6b = 9 \Leftrightarrow b = \frac{3}{2}
\end{array}\)
Thay a = 1/2 và b = 3/2 vào các phương trình ta thấy đều thỏa mãn.
Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là tại điểm H có tọa độ (1/2; 3/2).
----------------------------
Thông qua lời giải Toán 10 KNTT Bài 20, học sinh có thể củng cố phương pháp xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, xác định góc và tính khoảng cách trong mặt phẳng tọa độ. Hãy luyện tập thường xuyên để ghi nhớ công thức, nâng cao kỹ năng giải toán và tự tin chinh phục các bài tập hình học tọa độ.
