Toán 10 Bài 19 Phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng là nội dung quan trọng trong chương trình hình học tọa độ Toán 10, giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích và vận dụng kiến thức toán học. Với bài viết Toán 10 Bài 19 Phương trình đường thẳng, các em sẽ được tham khảo lời giải SGK Kết nối tri thức tập 2 chi tiết, dễ hiểu và bám sát từng dạng bài.

Giải SGK toán 10 trang 31 tập 2

Hoạt động 1 trang 31 Toán 10 KNTT Tập 2

Cho vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0\) và điểm A. Tìm tập hợp những điểm M sao cho \(\overrightarrow {AM}\) vuông góc với \(\overrightarrow n\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow n\)

=> Đường thẳng AM vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow n\).

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow n\).

Hoạt động 2 trang 31 Toán 10 KNTT Tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x₀; y₀ và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\). Chứng minh rằng điểm M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi

a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0. (1)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - {x_0};y - {y_0}} \right)\)

Vì điểm M(x; y) thuộc ∆ ⇔ \(\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow n\)

⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow n = 0\)

⇔ a.(x – x₀) + b(y – y₀) = 0.

Vậy điểm M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0.

Giải SGK toán 10 trang 32 tập 2

Luyện tập 1 trang 32 Toán 10 KNTT Tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(– 1; 5), B(2; 3), C(6; 1). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {6 - 2;1 - 3} \right) = \left( {4; - 2} \right)\).

Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC.

=> Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 5) và nhận vectơ \(\overrightarrow {BC}\) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 4(x + 1) – 2(y – 5) = 0 hay 2x – y + 7 = 0.

Luyện tập 2 trang 32 Toán 10 KNTT Tập 2

Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆: y = 3x + 4.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

y = 3x + 4 ⇔ 3x – y + 4 = 0.

=> Đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: 3x – y + 4 = 0.

Vậy một vectơ pháp tuyến của ∆ là: \(\overrightarrow n = \left( {3; - 1} \right)\).

Hoạt động 3 trang 32 Toán 10 KNTT Tập 2

Trong Hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc bằng \(\overrightarrow v\) và đi qua A thì nó di chuyển trên đường nào?

Hướng dẫn giải:

Quan sát Hình 7.2a ta thấy giá của vectơ song song với đường thẳng ∆₃ nên vật thể chuyển động với vận tốc bằng \(\overrightarrow v\) và đi qua A thì nó di chuyển trên đường ∆₂.

Giải SGK toán 10 trang 33 tập 2

Luyện tập 3 trang 33 Toán 10 KNTT Tập 2

Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆: 2x – y + 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆: 2x – y + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\).

=> Một vectơ chỉ phương của ∆ là \(\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)\).

Ngoài ra ta có thể chọn một vectơ chỉ phương khác của ∆ là \(\overrightarrow v = \left( { - 1; - 2} \right)\).

Giải hoạt động 4 trang 33 Toán 10 KNTT Tập 2

Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy. Vật thể khởi hành từ A(2; 1) và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc \(\overrightarrow v = \left( {3;4} \right)\).

a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b) Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2 + 3t; 1 + 4t).

Hướng dẫn giải:

a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và nhận vectơ vận tốc \(\overrightarrow v = \left( {3;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

b) Gọi M(2 + 3t; 1 + 4t).

=> \(\overrightarrow {AM} = \left( {2 + 3t - 2;1 + 4t - 1} \right) = \left( {3t;4t} \right) = t.\left( {3;4} \right) = t.\overrightarrow v\)

=> Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow v\) là hai vectơ cùng phương hay AM song song hoặc trùng với giá của \(\overrightarrow v\).

=> Điểm M thuộc đường thẳng chuyển động của vật thể, tức là đường thẳng đi qua điểm A và nhận vectơ vận tốc \(\overrightarrow v\) làm vectơ chỉ phương.

Vậy tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2 + 3t; 1 + 4t).

Luyện tập 4 trang 33 Toán 10 KNTT Tập 2

Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M(– 1; 2) và song song với đường thẳng d: 3x – 4y – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d: 3x – 4y – 1 = 0 nhận \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {4;3} \right)\).

Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {4;3} \right)\).

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(– 1; 2) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {4;3} \right)\) nên phương trình tham số của ∆ là \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 4t\\ y = 2 + 3t \end{array} \right.\).

Luyện tập 5 trang 33 Toán 10 KNTT Tập 2

Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) cho trước.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right)\)

Đường thẳng AB đi qua điểm A(x₁; y₁) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}\),

=> Phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l} x = {x_1} + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)t\\ y = {y_1} + \left( {{y_2} - {y_1}} \right)t \end{array} \right.\)

Gọi vectơ \(\overrightarrow {n}\) là vectơ vuông góc với \(\overrightarrow {AB}\).

=> Vectơ có tọa độ là \(\overrightarrow n = \left( { - \left( {{y_2} - {y_1}} \right);{x_2} - {x_1}} \right) = \left( {{y_1} - {y_2};{x_2} - {x_1}} \right)\)

Đường thẳng AB đi qua điểm A(x₁; y₁) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n}\)

=> Phương trình tổng quát là: (y₁ – y₂)(x – x₁) + (x₂ – x₁)(y – y₁) = 0 hay (y₁ – y₂)x + (x₂ – x₁)y + x₁y₂– x₂y₁ = 0.

Giải SGK toán 10 trang 34 tập 2

Vận dụng trang 34 Toán 10 kntt Tập 2

Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1686 – 1736) được xác định bởi hai mốc sau:

Nước đóng băng ở 0°C, 32 °F;

Nước sôi ở 100 °C, 212 °F.

Trong quy đổi đó, nếu a°C tương ứng với b °F thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212).

Hỏi 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C?

Hướng dẫn giải:

Ta lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 32) và B(100; 212).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {100 - 0;212 - 32} \right) = \left( {100;180} \right)\)

Chọn \(\overrightarrow u = \frac{1}{{20}}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{{20}}\left( {100;180} \right) = \left( {5;9} \right)\) là một vectơ chỉ phương của AB thì đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {9; - 5} \right)\).

=> Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là

9(x – 0) – 5(y – 32) = 0 hay 9x – 5y + 160 = 0.

Để tìm 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C nghĩa là ta tìm hoành độ của các điểm thuộc đường thẳng AB có tung độ lần lượt là 0 và 100.

Tại 0 °F, nghĩa là y = 0 thì 9x – 5 . 0 + 160 = 0 ⇔ 9x = – 160 ⇔ \(x = - \frac{{160}}{9}\)

Tại 100 °F, nghĩa là y = 100 thì 9x – 5 . 100 + 160 = 0 ⇔ 9x = 340 ⇔ \(x = \frac{{340}}{9}\)

Vậy 0 °F tương ứng với \(\left( { - \frac{{160}}{9}} \right){{\rm{ }}^0}C\) và 100 °F tương ứng với  \(\frac{{340}}{9}\)°C.

Bài 7.1 trang 34 Toán 10 kntt Tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right);\overrightarrow v = \left( {3;2} \right),A\left( {1;3} \right),B\left( { - 2;1} \right)\).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆₁ đi qua A và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n\).

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆₂ đi qua B và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v\).

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải:

a) Đường thẳng ∆₁ đi qua A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\)

=>Phương trình tổng quát của ∆₁ là: 2(x – 1) + 1(y – 3) = 0 hay 2x + y – 5 = 0.

b) Đường thẳng ∆₂ đi qua B(– 2; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {3;2} \right)\)

=>Phương trình tham số của ∆₂ là \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + 3t\\ y = 1 + 2t \end{array} \right.\).

c) Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 3) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2 - 1;1 - 3} \right) = \left( { - 3; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 3t\\ y = 3 - 2t \end{array} \right.\).

Bài 7.2 trang 34 Toán 10 kntt Tập 2

Lập phương trình đường thẳng tổng quát của các trục tọa độ.

Hướng dẫn giải:

Các vectơ đơn vị của trục Ox và Oy lần lượt là \(\overrightarrow i = \left( {1;0} \right);\overrightarrow j = \left( {0;1} \right)\)

Mỗi vectơ đơn vị chính là 1 vectơ chỉ phương của mỗi trục.

Hai trục tọa độ vuông góc với nhau nên vectơ chỉ phương của trục này là vectơ pháp tuyến của trục kia.

Trục Ox đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ \(\overrightarrow j = \left( {0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Ox là: 0(x – 0) + 1(y – 0) = 0 hay y = 0.

Trục Oy đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ \(\overrightarrow i = \left( {1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Oy là: 1(x – 0) + 0(y – 0) = 0 hay x = 0.

Bài 7.3 trang 34 Toán 10 kntt Tập 2

Cho hai đường thẳng ∆₁:\(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 3 + 5t \end{array} \right.\) và ∆₂: 2x + 3y – 5 = 0.

a) Lập phương trình tổng quát của ∆₁.

b) lập phương trình tham số của ∆₂.

Hướng dẫn giải:

a) Đường thẳng ∆₁có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 3 + 5t \end{array} \right.\)

=> Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm A(1; 3) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;5} \right)\).

=> Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₁ là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {5; - 2} \right)\).

=> Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆₁ là 5(x – 1) – 2(y – 3) = 0 hay 5x – 2y + 1 = 0.

b) Đường thẳng ∆₂ có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 5 = 0 nên ∆₂có một vectơ pháp tuyến:\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;3} \right)\) .

=> Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆₂ là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3; - 2} \right)\).

Ta lấy điểm B(1; 1) thuộc ∆₂ (do 2 . 1 + 3 . 1 – 5 = 0).

Khi đó đường thẳng ∆₂ đi qua điểm B(1; 1) và nhận \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của ∆₂ là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3t\\ y = 1 - 2t \end{array} \right.\).

Bài 7.4 trang 34 Toán 10 kntt Tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(– 2; – 1).

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2 - 3; - 1 - 0} \right) = \left( { - 5; - 1} \right)\).

Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC.

Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận \(\overrightarrow {BC}\) vectơ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là – 5(x – 1) – 1(y – 2) = 0 hay 5x + y – 7 = 0.

b) Gọi M là trung điểm của AC, khi đó tọa độ của điểm M là

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{1 + \left( { - 2} \right)}}{2} = - \frac{1}{2}\\ {y_M} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = \frac{{2 + \left( { - 1} \right)}}{2} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Đường trung tuyến kẻ từ B chính là đường thẳng BM.

Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \left( { - \frac{1}{2} - 3;\frac{1}{2} - 0} \right) = \left( { - \frac{7}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

Chọn \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {BM} = \left( { - 7;1} \right)\).

Đường trung tuyến BM đi qua B(3; 0) và có một vectơ chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng BM là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 7t\\ y = t \end{array} \right.\).

Bài 7.5 trang 34 Toán 10 kntt Tập 2

(Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)

Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 (H.7.3) có phương trình là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0 - a;b - 0} \right) = \left( { - a;b} \right)\).

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến: \(\overrightarrow n = \left( {b;a} \right)\)

=> Phương trình tổng quát của đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận làm vectơ pháp tuyến là: b(x – a) + a(y – 0) = 0 hay bx + ay – ab = 0 (1).

Do ab ≠ 0 nên ta chia cả hai vế của (1) cho ab, ta được:

\(\frac{{bx}}{{ab}} + \frac{{ay}}{{ab}} - \frac{{ab}}{{ab}} = \frac{0}{{ab}} \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0\)

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 có phương trình là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Bài 7.6 trang 34 Toán 10 kntt Tập 2

Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2° Bắc, kinh độ 105,8° Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1° Bắc, kinh độ 108,2° Đông. Một máy bay, bay từ sân bay Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ x° Bắc, kinh độ y° Đông được tính theo công thức \(\left\{ \begin{array}{l} x = 21,2 - 15340t\\ y = 105,8 + 95t \end{array} \right.\)

a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc) chưa?

Hướng dẫn giải:

a) Tại sân bay Nội Bài, máy bay bắt đầu bay ứng với thời gian t = 0.

Tọa độ của sân bay Đà Nẵng thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l} x = 21,2 - 15340t\\ y = 105,8 + 95t \end{array} \right.\)

=> Thời gian máy bay bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng là nghiệm t của hệ \(\left\{ \begin{array}{l} 16,1 = 21,2 - 15340t\\ 108,2 = 105,8 + 95t \end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{4}{3}\)

Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất 4/3 giờ.

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, nghĩa là t = 1, thay vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l} x = 21,2 - 15340t\\ y = 105,8 + 95t \end{array} \right.\) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 21,2 - 15340.1\\ y = 105,8 + 95.1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 17,375\\ y = 107,6 \end{array} \right.\)

=> Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đang ở vị trí có 17,375° Bắc và có kinh độ 107,6° Đông.

Vậy tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay chưa bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc).

-----------------

Hy vọng phần giải sách giáo khoa Toán 10 KNTT tập 2 Bài 19 đã giúp các em hiểu rõ cách lập và vận dụng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ. Hãy chủ động luyện thêm các dạng bài để ghi nhớ kiến thức, nâng cao kỹ năng tính toán và tự tin khi làm bài kiểm tra.