Toán 10 Bài tập cuối chương 6

Phần Toán 10 Bài tập cuối chương 6 giúp học sinh ôn tập và hệ thống hóa những kiến thức quan trọng đã học, đồng thời rèn luyện khả năng vận dụng công thức vào các dạng bài tổng hợp. Với nội dung giải sách giáo khoa Toán 10 KNTT tập 2, bài viết cung cấp hướng dẫn giải rõ ràng, hỗ trợ các em kiểm tra kết quả, củng cố phương pháp làm bài và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra môn Toán.

Giải SGK toán 10 trang 28 tập 2

Bài 6.24 trang 28. Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {x - 2} }}\) là:

A. D = [2; + ∞).                  B. D = (2; + ∞).             C. D =ℝ\{2}.                D. D = ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt {x - 2} }}\) có nghĩa khi x – 2 > 0 ⇔ x > 2.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (2; + ∞).

Bài 6.25 trang 28. Parabol y = – x² + 2x + 3 có đỉnh là

A. I(– 1; 0).             B. I(3; 0).           C.I(0; 3).                 D. I(1; 4).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có các hệ số: a = – 1; b = 2, c = 3.

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1\)

y(1) = – 1² + 2 . 1 + 3 = 4.

Bài 6.26 trang 28. Hàm số y = x² – 5x + 4

A. Đồng biến trên khoảng (1; + ∞).             B. Đồng biến trên khoảng (– ∞; 4).

C. Nghịch biến trên khoảng (– ∞; 1).         D. Nghịch biến trên khoảng (1; 4).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Các hệ số a = 1 > 0, b = – 5, c = 4.

Ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = - \frac{{\left( { - 5} \right)}}{{2.1}} = \frac{5}{2}\)

=> Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−∞;5/2) và đồng biến trên khoảng (5/2;+∞).

Mà (– ∞; 1) ⊂(−∞;5/2) nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; 1).

Bài 6.27 trang 28. Bất phương trình x² – 2mx + 4 > 0 nghiệm đúng với mọi x∈ℝ khi

A. m = – 1.                         B. m = – 2.                 C. m = 2.           D. m > 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 2mx + 4 có:

Hệ số a = 1 > 0

∆' = (– m)² – 1 . 4 = m² – 4.

Để f(x) > 0 (cùng dấu với hệ số a) với mọi x∈R thì ∆' < 0 hay m² – 4 < 0.

⇔ m² < 4 ⇔ – 2 < m < 2.

=> Đáp án A. m = – 1 là thỏa mãn.

Bài 6.28 trang 28. Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3} = x - 1\) là

A.\(\left\{ { - 1 - \sqrt 5 ; - 1 + \sqrt 5 } \right\}\)                      B. \(\left\{ { - 1 + \sqrt 5 } \right\}\)

C. \(\left\{ { - 1 - \sqrt 5 } \right\}\)                                         D. ∅.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3} = x - 1\) ta được:

2x² – 3 = x² – 2x + 1

⇔ x² + 2x – 4 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1 - \sqrt 5 \\ {x_2} = - 1 + \sqrt 5 \end{array} \right.\)

Lần lượt thay các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy \(x=- 1 + \sqrt 5\) thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { - 1 + \sqrt 5 } \right\}\)

Bài 6.29 trang 28. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {2x - 1} + \sqrt {5 - x}\)             b) \(y = \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\)

Hướng dẫn giải:

a) Biểu thức \(\sqrt {2x - 1} + \sqrt {5 - x}\) có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 \ge 0\\ 5 - x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \frac{1}{2}\\ x \le 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 5\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [1/2;5].

b) Biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\) có nghĩa khi x – 1 > 0 hay x > 1.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (1; + ∞).

Bài 6.30 trang 28. Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tìm tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của nó:

a) y = – x²+ 6x – 9;              b) y = – x²– 4x + 1;

c) y = x²+ 4x;                      d) y = 2x²+ 2x + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Xét hàm số y = – x²+ 6x – 9 là hàm số bậc hai nên đồ thị là một parabol.

Hệ số a = – 1 < 0 nên bề lõm của đồ thị quay xuống dưới.

Parabol trên có:

+ Tọa độ đỉnh I(3; 0);

+ Trục đối xứng x = 3;

+ Cắt trục Oy tại điểm A(0; – 9);

+ Điểm đối xứng với A qua trục đối xứng x = 3 là B(6; – 9);

+ Lấy điểm D(1; – 4) thuộc parabol, điểm đối xứng với D là trục đối xứng x = 3 là E(5; – 4).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số cần vẽ.

Quan sát đồ thị ta thấy:

+ Tập giá trị của hàm số là (– ∞; 0].

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 3) (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải) và nghịch biến trên khoảng (3; + ∞) (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải).

b) Xét hàm số: y = – x²– 4x + 1 là hàm số bậc hai nên đồ thị là một parabol.

Hệ số a = – 1 < 0 nên bề lõm của đồ thị quay xuống dưới.

Parabol trên có:

+ Tọa độ đỉnh I(– 2; 5);

+ Trục đối xứng x = – 2;

+ Cắt trục Oy tại điểm A(0; 1);

+ Điểm đối xứng với A qua trục đối xứng x = – 2 là B(– 4; 1);

+ Lấy điểm C(– 1; 4) thuộc đồ thị, điểm đối xứng với C qua trục đối xứng x = – 2 là D(– 3; 4).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số cần vẽ.

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

+ Tập giá trị của hàm số là (– ∞; 5].

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; – 2) và nghịch biến trên khoảng (– 2; + ∞).

c) Xét hàm số y = x²+ 4x là hàm số bậc hai nên đồ thị là một parabol.

Hệ số a = 1 > 0 nên bề lõm của đồ thị quay lên trên.

Parabol trên có:

+ Tọa độ đỉnh I(– 2; – 4);

+ Trục đối xứng x = – 2;

+ Cắt trục Oy tại điểm gốc tọa độ O(0; 0);

+ Điểm đối xứng với O qua trục đối xứng x = – 2 là điểm B(– 4; 0);

+ Lấy điểm C(– 1; – 3) thuộc đồ thị, điểm đối xứng với C qua trục đối xứng x = – 2 là D(– 3; – 3).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị cần vẽ.

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

+ Tập giá trị của hàm số là [– 4; + ∞).

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 2) và đồng biến trên khoảng (– 2; + ∞).

d) y = 2x²+ 2x + 1 là hàm số bậc hai nên đồ thị là một parabol.

Hệ số a = 2 > 0 nên bề lõm của đồ thị quay lên trên.

Parabol trên có:

+ Tọa độ đỉnh \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = - \frac{1}{2}\)

+ Cắt trục Oy tại điểm A(0; 1).

+ Điểm đối xứng với A qua trục đối xứng \(x = - \frac{1}{2}\) là B(– 1; 1);

+ Lấy điểm C(1; 5) thuộc đồ thị, điểm đối xứng với C qua trục đối xứng \(x = - \frac{1}{2}\) là D(– 2; 5).

Vẽ đường cong đi qua các điểm đã cho ta được đồ thị cần vẽ.

Quan sát đồ thị ta thấy:

+ Tập giá trị của hàm số là [1/2;+∞).

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1/2) và đồng biến trên khoảng (−1/2;+∞).

Bài 6.31 trang 28. Xác định parabol (P): y = ax² + bx + 3 trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua hai điểm A(1; 1) và B(– 1; 0);

b) (P) đi qua điểm M(1; 2) và nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng;

c) (P) có đỉnh là I(1; 4).

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: a ≠ 0.

a) Ta có:(P) đi qua điểm A(1; 1)

=> Tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3

=> 1 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 2 ⇔ a = – 2 – b (1).

(P) đi qua điểm B(– 1; 0)

=> Tọa độ điểm B thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3,

=> 0 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 3 ⇔ a – b = – 3 ⇔ a = – 3 + b (2).

Từ (1) và (2) suy ra: – 2 – b = – 3 + b ⇔ 2b = 1 ⇔ b = 1/2.

=> a = – 2 – 1/2= −5/2.

Vậy phương trình parabol (P): \(y = - \frac{5}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + 3\)

b) Ta có: (P) đi qua điểm M(1; 2)

=> Tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3

=> 2 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 1 ⇔ a = – 1 – b (1).

(P) nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng nên  \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Rightarrow a = - \frac{1}{2}b\)(2).

Từ (1) và (2) suy ra: \(- 1 - b = - \frac{1}{2}b \Leftrightarrow b = - 2\)

=> a = – 1 – (– 2) = 1.

Vậy phương trình parabol (P): y = x² – 2x + 3.

c) Ta có:

(P) có đỉnh là I(1; 4) hay (P) đi qua điểm I(1; 4)

=> Tọa độ điểm I thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3

=> 4 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b (1).

Vì I là đỉnh của (P) nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Rightarrow a = - \frac{1}{2}b\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: \(1 - b = - \frac{1}{2}b \Leftrightarrow b = 2\).

=> a = 1 – b = 1 – 2 = – 1.

Vậy phương trình parabol (P): y = – x² + 2x + 3.

Bài 6.32 trang 28. Giải các bất phương trình sau:

a) 2x²– 3x + 1 > 0;

b) x²+ 5x + 4 < 0;

c) – 3x²+ 12x – 12 ≥ 0;

d) 2x² + 2x + 1 < 0.

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x²– 3x + 1 có:

∆ = (– 3)² – 4 . 2 . 1 = 1 > 0

=> f(x) = 0 có hai nghiệm \({x_1} = \frac{1}{2};{x_2} = 1\)

Mặt khác hệ số a = 2 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

=> Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = (−∞;1/2)∪(1;+∞).

b) Xét tam thức bậc hai f(x) = x²+ 5x + 4 có:

∆ = 5² – 4 . 1 . 4 = 9 > 0

=> f(x) = 0 có hai nghiệm x₁ = – 4 và x₂ = – 1.

Đồng thời hệ số a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy bất phương đã cho có tập nghiệm là S = (– 4; – 1).

c) Xét tam thức bậc hai f(x) = – 3x²+ 12x – 12 có:

∆' = 6² – (– 3) . (– 12) = 0

=> f(x) = 0 có nghiệm kép x = 2.

Đồng thời hệ số a = – 3 < 0 nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x ≠ 2.

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

d) Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x²+ 2x + 1 có:

∆' = 1² – 2 . 1 = – 1 < 0

Hệ số a = 2 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là 2x² + 2x + 1 > 0 với mọi x∈ℝ.

Giải SGK toán 10 trang 29 tập 2

Bài 6.33 trang 29. Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {2{x^2} - 14} = x - 1\);

b) \(\sqrt { - {x^2} - 5x + 2} = \sqrt {{x^2} - 2x - 3}\).

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình: \(\sqrt {2{x^2} - 14} = x - 1\)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

⇔ x² + 2x – 15 = 0

⇔ x = – 5 hoặc x = 3.

Thực hiện thay các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x = 3 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3.

b) Xét phương trình \(\sqrt { - {x^2} - 5x + 2} = \sqrt {{x^2} - 2x - 3}\)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

– x²– 5x + 2 = x² – 2x – 3

⇔ 2x² + 3x – 5 = 0

⇔ x = −5/2 hoặc x = 1.

Thực hiện thay các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = −5/2 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = −5/2.

Bài 6.34 trang 29. Một công ty bắt đầu sản xuất và bán một loại máy tính xách tay từ năm 2018. Số lượng loại máy tính đó bán được trong hai năm liên tiếp 2018 và 2019 lần lượt là 3,2 nghìn và 4 nghìn chiếc. Theo nghiên cứu dự báo thị trường của công ty, trong khoảng 10 năm kể từ năm 2018, số lượng máy tính loại đó bán được mỗi năm có thể được mô tả bởi một hàm số bậc hai.

Giả sử t là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm 2018. Số lượng loại máy tính đó bán được trong năm 2018 và năm 2019 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm (0; 3,2) và (1; 4). Giả sử điểm (0; 3,2) là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai này.

a) Lập công thức của hàm số mô tả số lượng máy tính xách tay bán được qua từng năm.

b) Tính số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm 2024.

c) Đến năm bao nhiêu thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức 52 nghìn chiếc?

Hướng dẫn giải:

a) Giả sử hàm số cần lập có dạn:

y = f(t) = at²+ bt + c, với a, b, c là các số thực, a ≠ 0.

Trong đó:

t là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm 2018 nên t > 0 và ta quy ước tại năm 2018 thì t = 0, năm 2019 thì t = 1, tương tự cho các năm sau

f(t) là số lượng máy tính bán ra qua từng năm.

Số lượng loại máy tính đó bán được trong năm 2018 và năm 2019 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm (0; 3,2) và (1; 4)

=> Đồ thị hàm số y = f(t) = at² + bt + c đi qua các điểm (0; 3,2) và (1; 4) nên ta có:

3,2 = a . 0² + b . 0 + c ⇔ c = 3,2

Và

4 = a . 1² + b . 1 + c ⇔ a + b + 3,2 = 4 ⇔ a + b = 0,8 ⇔ a = 0,8 – b (1).

Lại có đồ thị hàm số trên có đỉnh là (0; 3,2) nên \(- \frac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\) (do a ≠ 0).

Thay vào (1) ta có: a = 0,8 – 0 = 0,8.

Vậy ta có hàm số: y = f(t) = 0,8t² + 3,2.

b) Đến năm 2024 thì loại máy tính trên đã bán ra được số năm là: 2024 – 2018 = 6 (năm). Suy ra: t = 6.

=> f(6) = 0,8 . 6² + 3,2 = 32.

Vậy trong năm 2024 số lượng máy tính bán ra được là 32 nghìn chiếc.

c) Số lượng máy tính xách tay bán ra được trong năm vượt mức 52 nghìn chiếc nghĩa là f(t) > 52 \(\Leftrightarrow 0,8{t^2} + 3,2 > 52 \Leftrightarrow {t^2} > 61 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t < \sqrt {61} \\ t > \sqrt {61} \end{array} \right.\)

Do t > 0 nên \(t > \sqrt {61} \approx 7,8\)

=> Trong năm thứ 8 kể từ khi bắt đầu bán thì số lượng máy tính bán ra được trong năm sẽ vượt mức 52 nghìn chiếc và đó chính là năm 2018 + 8 = 2026.

Vậy trong năm 2026 thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức 52 nghìn chiếc.

------------------------------

Phần Toán 10 Bài tập cuối chương 6 giúp học sinh ôn tập và hệ thống hóa những kiến thức quan trọng đã học, đồng thời rèn luyện khả năng vận dụng công thức vào các dạng bài tổng hợp. Với nội dung giải sách giáo khoa Toán 10 KNTT tập 2 , bài viết cung cấp hướng dẫn giải rõ ràng, hỗ trợ các em kiểm tra kết quả, củng cố phương pháp làm bài và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra môn Toán.