Giải SGK toán 10 trang 47 tập 2
Giải SGK Toán 10 trang 47 Bài 21
Giải SGK Toán 10 trang 47 tập 2 hướng dẫn học sinh giải các bài tập thuộc Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ, sách Kết nối tri thức với cuộc sống Toán 10. Qua lời giải cụ thể, các em có thể nắm vững cách xác định tâm, bán kính và lập phương trình đường tròn, từ đó vận dụng kiến thức chính xác vào các dạng bài hình học tọa độ.
Giải bài 7.13 trang 47 Toán 10 KNTT Tập 2
Tìm tâm và bán kính của đường tròn
(x + 3)2 + (y – 3)2 = 36.
Hướng dẫn giải:
Ta viết phương trình đường tròn đã cho về dạng: (x – (– 3))2 + (y – 3)2 = 62.
Do đó đường tròn này có tâm I(– 3; 3) và bán kính R = 6.
Giải bài 7.14 trang 47 Toán 10 KNTT Tập 2
Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
a) x2+ y2+ xy + 4x – 2 = 0;
b) x2+ y2– 2x – 4y + 5 = 0;
c) x2+ y2+ 6x – 8y + 1 = 0.
Hướng dẫn giải:
a) Phương trình x2+ y2+ xy + 4x – 2 = 0 không có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 với a, b, c là các số thực nên đây không phải phương trình đường tròn.
b)Xét phương trình x2+ y2 – 2x – 4y + 5 = 0 ⇔ x2 + y2 – 2 . 1 . x – 2 . 2 . y + 5 = 0.
Các hệ số: a = 1, b = 2, c = 5.
Ta có: a2 + b2 – c = 12 + 22 – 5 = 0 nên đây cũng không phải phương trình đường tròn.
c) Xét phương trình x2 + y2+ 6x – 8y + 1 = 0 ⇔ x2+ y2 – 2 . (– 3) . x – 2 . 4 . y + 1 = 0.
Các hệ số: a = – 3, b = 4, c = 1.
Ta có: a2 + b2 – c = (– 3)2 + 42 – 1 = 24 > 0 nên đây là phương trình đường tròn.
Đường tròn này có tâm I(– 3; 4) và bán kính 
\(R = \sqrt {24} = 2\sqrt 6\)
Giải bài 7.15 trang 47 Toán 10 KNTT Tập 2
Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7;
b) Có tâm I(1; – 2) và đi qua điểm A(– 2; 2);
c) Có đường kính AB, với A(– 1; – 3), B(– 3; 5);
d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0.
Hướng dẫn giải:
a) Đường tròn có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7 có phương trình là
(x – (–2))2 + (y – 5)2 = 72 hay (x + 2)2 + (y – 5)2 = 49.
b) Đường tròn có tâm I và đi qua điểm A nên bán kính đường tròn là IA.
Ta có: \(IA = \sqrt {{{( - 2 - 1)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}\;} = 5\).
=> Phương trình đường tròn là: (x – 1)2 + (y – (– 2))2 = 52
Hay (x – 1)2 + (y + 2)2 = 25.
c) Đường tròn có đường kính AB thì tâm của đường tròn này là trung điểm của AB.
Tọa độ trung điểm I của AB là \(I\left( {\frac{{ - 1 - 3}}{2};\frac{{ - 3 + 5}}{2}} \right) \Rightarrow I\left( { - 2;1} \right)\)
Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( { - 3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {5 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = 2\sqrt {17}\)
Bán kính của đường tròn đường kính AB là \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt {17} }}{2} = \sqrt {17}\).
Khi đó phương trình đường tròn đường kính AB là:
(x−(−2))2+(y−1)2=(√17)2 hay (x + 2)2 + (y – 1)2 = 17.
d) Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + 2y + 3 = 0
=> Khoảng cách từ tâm I đến ∆ chính bằng bán kính của (C).
Ta có: \(R = d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 + 2.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5\)
Vậy phương trình đường tròn (C) là:
(x−1)2+(y−3)2=(2√5)2 hay (x – 1)2 + (y – 3)2 = 20.
Giải bài 7.16 trang 47 Toán 10 KNTT Tập 2
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC, với A(6; – 2), B(4; 2), C(5; –5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Hướng dẫn giải:
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.
Các đoạn thẳng AB, BC tương ứng có trung điểm là M(5; 0), N(9/2;−3/2).
Đường thẳng trung trực d1 của đoạn thẳng AB đi qua điểm M(5; 0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;4} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;4} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\) nên d1 cũng nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
=> Phương trình của d1 là: 1(x – 5) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 5 = 0.
Đường thẳng trung trực d2 của đoạn thẳng BC đi qua N(9/2;−3/2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {BC} = \left( {1; - 7} \right)\)
=> Phương trình d2 là:1(x−9/2)−7(y+3/2)=0 hay x – 7y – 15 = 0.
Tâm I của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của d1 và d2.
Vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y - 5 = 0\\
x - 7y - 15 = 0
\end{array} \right.\).
=> I(1; – 2).
Đường tròn (C) có bán kính là. \(IA = \sqrt {{{(6 - 1)}^2} + {{\left( { - 2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} = 5\)
Vậy phương trình của (C) là: (x – 1)2 + (y + 2)2 = 25.
Giải bài 7.17 trang 47 Toán 10 KNTT Tập 2
Cho đường tròn (C): x2 + y2+ 2x – 4y + 4 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2).
Hướng dẫn giải:
Ta có: x2 + y2 + 2x – 4y + 4 = 0 ⇔ x2 + y2 – 2 . (a– 1) . x – 2 . 2 . y + 4 = 0.
Các hệ số: a = – 1, b = 2, c = 4.
Khi đó đường tròn (C) có tâm I(– 1; 2).
Lại có: 02 + 22 + 2 . 0 – 4 . 2 + 4 = 0 nên điểm M(0; 2) thuộc (C).
Tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IM} = \left( {1;0} \right)\) nên có phương trình d: 1(x – 0) + 0(y – 2) = 0 hay d: x = 0.
Giải bài 7.18 trang 47 Toán 10 KNTT Tập 2
Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 180) vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + sint°; 4 + cost°).
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.
Hướng dẫn giải:
a) Vị trí ban đầu của vật thể là tại thời điểm t = 0, nên tọa độ của điểm ở vị trí này là:
(2 + sin0°; 4 + cos0°) = (2; 5).
Vị trí kết thúc của vật thể là tại thời điểm t = 180, nên tọa độ của điểm ở vị trí này là:
(2 + sin 180°; 4 + cos 180°) = (2; 3).
b) Gọi điểm M(x; y) thuộc vào quỹ đạo chuyển động của vật thể.
Ta có: x = 2 + sin t°và y = 4 + cost°.
Suy ra: x – 2 = sin t° và y – 4 = cost°.
Mà sin2 t° + cos2 t° = 1 (0 ≤ t ≤ 180)
=> (x – 2)2 + (y – 4)2 = 1.
Vậy vật thể chuyển động trên đường tròn có tâm I(2; 4) và bán kính R = 1.
Vị trí ban đầu của vật thể là A(2; 5), vị trí kết thúc của vật thể là B(2; 3).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 + 2}}{2} = 2\\
\frac{{5 + 3}}{2} = 4
\end{array} \right.\) nên I là trung điểm của AB
Và \(\frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 5} \right)}^2}} }}{2} = 1 = R\)
=> Vật thể chuyển động trên đường tròn có tâm I(2; 4), bán kính R = 1 và nhận AB làm đường kính.
Khi t thay đổi trên đoạn [0; 180] thì sin t° thay đổi trên đoạn [0; 1] và cos t° thay đổi trên đoạn [– 1; 1].
=> 2 + sin t° ∈ [2; 3] và 4 + cos t° ∈ [3; 5].
Vậy quỹ đạo của vật thể (hay là tập hợp điểm M) là nửa đường tròn đường kính AB vẽ trên nửa mặt phẳng chứa điểm C(3; 0), bờ AB.
------------------------------
Hy vọng phần Giải Toán 10 KNTT Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và vận dụng thành thạo công thức phương trình đường tròn. Hãy chủ động luyện tập, kiểm tra kết quả và ôn lại kiến thức về tọa độ trong mặt phẳng để nâng cao kỹ năng giải bài tập Toán 10.
