Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12

Tìm m để hàm số có tiệm cận ngang

Giải toán 12 Đường tiệm cận
Lớp: Lớp 12
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại File: Word + PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm tham số m để hàm số có tiệm cận

Trong chương trình Toán 12, chuyên đề về đường tiệm cận của đồ thị hàm số là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kỳ và đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Một trong những dạng bài hay gặp chính là yêu cầu tìm tham số m để hàm số có tiệm cận ngang.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

A. Cách tìm tiệm cận ngang

  • Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
  • Bước 2. Tính các giới hạn của hàm số đó tại vô cực (nếu có). Từ đó xác định đường tιệm cận ngang.

B. Điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang

  • Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = y_{0};\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = y_{0}

  • Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{ax + b}{cx + d} thì \left\{ \begin{matrix} c \neq 0 \\ ad - bc \neq 0 \\ \end{matrix} \right.
  • Khi đó phương trình đường tiệm cận ngang là y = \frac{a}{c}.
  • Điều kiện để đồ thị hàm số y = \frac{f(x)}{g(x)} có tiệm cận ngang là bậc f(x) không lớn hơn bậc của g(x).

C. Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ

Tìm m để hàm số có tiệm cận ngang

D. Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức vô tỷ

Tìm m để hàm số có tiệm cận ngang

D. Bài tập tìm tham số m để hàm số có tiệm cận ngang

Bài tập 1: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số y = \frac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}} có đúng hai tiệm cận ngang.

A. m \in \left[ {1;4} \right] B. m > 1
C. m < 1 D. m \in \left( {1;4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)

Hướng dẫn giải

Để hàm số xác định trên \left( { - \infty ; + \infty } \right) thì m - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant 1

Ta có:

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}}= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{x}}}{{\dfrac{{x - 1}}{x}}} = 2 - \sqrt {m - 1}

\Rightarrow y = 2 - \sqrt {m - 1} là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}}= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{x}}}{{\dfrac{{x - 1}}{x}}} = 2 + \sqrt {m - 1}

\Rightarrow y = 2 + \sqrt {m - 1} là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Để đồ thị có hai tiệm cận ngang \Leftrightarrow \sqrt {m - 1} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1

Vậy m > 1.

Đáp án D

Bài tập 2: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số y = \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}} có đúng một tiệm cận ngang.

A. m > 1 B. m < 1
C. m = \pm 1 D. \forall m \in \mathbb{R}

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1

Ta có:

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}}= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{x}}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = \sqrt {{m^2} - 1}

\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}}= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{x}}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = - \sqrt {{m^2} - 1}

Để đồ thị có duy nhất một tiệm cận ngang

\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 1} = - \sqrt {{m^2} - 1} \hfill \\ \Leftrightarrow m = \pm 1 \hfill \\ \end{matrix}

Đáp án C

Bài tập 3: Cho đồ thị hàm số y = \sqrt {m{x^2} + 2x} - x. Tìm tất cả giá trị tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

A. m > 0 B. m = - 2
C. m = \pm 1 D. m = \left\{ {1; - 2} \right\}

Hướng dẫn giải

Ta có:

y = \sqrt {m{x^2} + 2x} - x = \frac{{m{x^2} + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {m{x^2} + 2x} + x}}= \frac{{\left( {m - 1} \right){x^2} + 2x}}{{\sqrt {m{x^2} + 2x} + x}}

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử bé hơn bậc của mẫu và tồn tại

\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {m - 1 = 0} \end{array} \Leftrightarrow m = 1} \right.

Đáp án A

Bài tập 4: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{(2m - 1)x + 1}{x - m} có đường tiệm cận ngang là y = 3 ?

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là:

- m(2m - 1) - 1 \neq 0 \Rightarrow 2m^{2} - m + 1 \neq 0 luôn đúng với \forall x\mathbb{\in R}

Phương trình đường tiệm cận ngang là y = 2m - 1 nên ta có 2x - 1 = 3 \Rightarrow m = 2

Bài tập 5: Cho hàm số y = 2x + \sqrt{mx^{2} - x + 1} + 1 . Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} y = (2x + 1) + \sqrt {m{x^2} - x + 1} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{4{x^2} + 4x + 1 - \left( {m{x^2} - x + 1} \right)}}{{2x + 1 - \sqrt {m{x^2} - x + 1} }} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{(4 - m){x^2} + 5x}}{{2x + 1 - \sqrt {m{x^2} - x + 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử số bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu số

Đồng thời \lim_{x \rightarrow \infty}y = y_{0} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ 4 - m = 0 \\ \end{matrix} \Rightarrow m = 4 \right.

Bài tập 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng.

A. m < 4. B. m > 4.

C. m = 4,m = - 12. D. m \neq 4.

Hướng dẫn giải

Ta có \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} = 0 \rightarrow y = 0 là tiệm cận ngang với mọi m.

Để đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng \LeftrightarrowPhương trình x^{2} - 4x + m = 0 có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng - 2

\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \Delta' = 4 - m = 0 \\ \left\{ \begin{matrix} \Delta' = 4 - m > 0 \\ ( - 2)^{2} - 4( - 2) + m = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 12 \\ \end{matrix} \right.

Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng.

A. m = - 12. B. m > 4. C. m = - 12,m > 4. D. m \neq 4.

Hướng dẫn giải

Ta có \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} = 0y = 0 là tiệm cận ngang với mọi m.

Do đó để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng thì phương trình x^{2} - 4x + m = 0 vô nghiệm \Leftrightarrow \ \ \Delta' < 0\ \ \Leftrightarrow \ \ m > 4.

Nhận xét. Bạn đọc dễ nhầm lẫn mà xét thêm trường hợp mẫu thức x^{2} - 4x + m = 0 có nghiệm x = - 2 \rightarrow m = - 12. Điều này là sai, vì với m = - 12 thì hàm số trở thành y = \frac{1}{x - 6}. Đồ thị này vẫn còn tiệm cận đứng là x = 6.

Bài tập 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{mx^{2} + 1}} có hai tiệm cận ngang.

A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

B. m < 0. C. m = 0. D. m > 0.

Hướng dẫn giải

Khi m > 0, ta có:

\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x + 1}{\sqrt{mx^{2} + 1}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{m + \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{m}} \rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{m}} là TCN ;

\lim_{x \rightarrow - \infty}y = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x\left( 1 + \frac{1}{x} \right)}{|x|\sqrt{m + \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{- 1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{m + \frac{1}{x^{2}}}} = - \frac{1}{\sqrt{m}} \rightarrow y = - \frac{1}{\sqrt{m}} là TCN.

Với m = 0 suy y = \frac{x + 1}{1} suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Với m < 0 thì hàm số có TXĐ là một đoạn nên đồ thị hàm số không có TCN.

Vậy với m > 0 thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.

Bài tập 9: Biết đồ thị hàm số y = \frac{(2m - n)x^{2} + mx + 1}{x^{2} + mx + n - 6} nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Tính giá trị m + n?

Gợi ý:

Điều kiện để đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{f(x)}{g(x)} là x0 là nghiệm của g(x) nhưng không là nghiệm của f(x) hoặc x0 là nghiệm bội n của g(x) đồng thời là nghiệm bội m của f(x) và m < n.

Hướng dẫn giải

Điều kiện x^{2} + mx + n - 6 \neq 0

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2m - n

=> 2m - n = 0(*)

Đặt \left\{ \begin{matrix} f(x) = (2m - n)x^{2} + mx + 1 \\ g(x) = x^{2} + mx + n - 6 \\ \end{matrix} \right.

Nhận thấy f(x) \neq 0 với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 làm tiệm cận đứng thì g(0) = 0

=> n – 6 = 0 => n = 6

Kết hợp với (*) => m = 3

Vậy m + n = 9.

Bài tập 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{x - 3}{x + \sqrt{mx^{2} + 4}} có đúng một tiệm cận ngang.

A. m = 0,m = 1. B. m \geq 0. C. m = 1. D. m =0.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\lim_{x \rightarrow + \infty}y = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x - 3}{x + \sqrt{mx^{2} + 4}} = \frac{1}{1 + \sqrt{m}} với m \geq 0;

\lim_{x \rightarrow - \infty}y = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x - 3}{x + \sqrt{mx^{2} + 4}} = \frac{1}{1 - \sqrt{m}} với m \geq 0,m \neq 1.

Nếu m = 1 thì \lim_{x \rightarrow - \infty}y = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{(x - 3)\left( \sqrt{x^{2} + 4} - x \right)}{4}

= \lim_{x \rightarrow - \infty}x^{2}.\frac{\left( 1 - \frac{3}{x} \right)\left( - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} - 1 \right)}{4} = - \infty suy ra hàm số chỉ có đúng một tiệm cận ngang là y = \frac{1}{2} (Do\lim_{x \rightarrow + \infty}y = \frac{1}{2} khi m = 1)

Do đó giá trị m = 1 thỏa yêu cầu bài toán.

Nếu \left\{ \begin{matrix} m \geq 0 \\ m \neq 1 \end{matrix} \right., để đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang \Leftrightarrow \frac{1}{1 + \sqrt{m}} = \frac{1}{1 - \sqrt{m}} \Leftrightarrow m = 0.

Vậy m = 0,m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} + 2}{\sqrt{mx^{4} + 3}} có đường tiệm cận ngang.

A. m = 0 B. m < 0 C. m > 0 D. m \geq 0

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} + 2}{\sqrt{mx^{4} + 3}} có đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi các giới hạn \lim_{x \rightarrow + \infty}y và \lim_{x \rightarrow - \infty}y tồn tại hữu hạn.

Ta có:

Với m = 0\overset{}{\rightarrow}y = \frac{x^{2} + 2}{\sqrt{3}}.

Khi đó \left\{ \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow + \infty}y = + \infty \\ \lim_{x \rightarrow - \infty}y = + \infty \end{matrix} \right. suy ra đồ thị không có tiệm cận ngang.

Với m < 0, khi đó hàm số có tập xác định: D = \left( - \sqrt[4]{- \frac{3}{m}};\sqrt[4]{- \frac{3}{m}} \right) nên ta không xét trường hợp x \rightarrow + \infty hay x \rightarrow - \infty được.

Do đó hàm số không có tiệm cận ngang.

Với m > 0, khi đó hàm số có tập xác định D\mathbb{= R} và \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x^{2}\left( 1 + \frac{2}{x^{2}} \right)}{x^{2}\sqrt{m + \frac{3}{x^{4}}}} = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{1 + \frac{2}{x^{2}}}{\sqrt{m + \frac{3}{x^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt{m}}

\rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{m}} là tiệm cận ngang.

Bài tập 12. Tìm trên đồ thị hàm số y = \frac{2x + 1}{x - 1} những điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị.

A. M\left( - 4;\frac{7}{5} \right) hoặc M(2;5). B. M(4;3) hoặc M( - 2;1).

C. M(4;3) hoặc M(2;5). D. M\left( - 4;\frac{7}{5} \right) hoặc M( - 2;1).

Hướng dẫn giải

Gọi M\left( a\ ;\ \frac{2a + 1}{a - 1} \right) với a \neq 1 là điểm thuộc đồ thị.

Đường tiệm cận đứng d:x = 1\ ; đường tiệm cận ngang d':y = 2.

Theo yêu cầu bài toán \Leftrightarrow \ \ d\lbrack M,d\rbrack = 3d\left\lbrack M,d' \right\rbrack\

\Leftrightarrow \ \ |a - 1| = 3\left| \frac{2a + 1}{a - 1} - 2 \right|\

\Leftrightarrow \ \ (a - 1)^{2} = 9\ \ \Leftrightarrow \ \ \left\lbrack \begin{matrix} a = 4 \\ a = - 2 \end{matrix} \right.\ \ \ \Rightarrow \ \ \left\lbrack \begin{matrix} M(4\ ;\ 3) \\ M( - 2\ ;\ 1) \end{matrix} \right. .

Áp dụng công thức giải nhanh. \left| \frac{cx_{0} + d}{c} \right| = k\left| \frac{ad - bc}{c\left( cx_{0} + d \right)} \right| \rightarrow x_{0} = - \frac{d}{c} \pm \sqrt{kp}

với c = 1,\ \ d = - 1,\ \ k = 3,\ \ p = \left| \frac{ad - bc}{c^{2}} \right| = 3.

Suy ra x_{0} = 1 \pm 3.

Luyện tập mở rộng
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
3
35.059 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này