Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bài toán Thực tế tối ưu diện tích và thể tích (Có lời giải chi tiết)

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Dạng bài tối ưu diện tích thể tích thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia

A. Cách giải bài toán tối ưu thể tích
B. Bài tập minh họa tính tối ưu diện tích thể tích hình khối
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết

Trong quá trình ôn luyện Toán THPT Quốc gia, các dạng bài toán thực tế về tối ưu diện tích và thể tích luôn xuất hiện với tần suất cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức đạo hàm mà còn biết cách vận dụng linh hoạt vào các tình huống hình học quen thuộc. Những bài toán này thường gắn liền với việc thiết kế, xây dựng, đóng gói hay sản xuất, giúp Toán học trở nên gần gũi và thiết thực hơn.

A. Cách giải bài toán tối ưu thể tích

Xác định mối quan hệ các đại lượng (đại lượng đề bài cho và đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất).

Quy bài toán thực tế vê bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
Lập bảng biến thiên tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của đại lượng cần xét.

B. Bài tập minh họa tính tối ưu diện tích thể tích hình khối

Ví dụ 1. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1(m) như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (m), sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp.

Tìm giá trị của để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. $x = \frac{\sqrt{2}}{4}$ . B. $x = \frac{\sqrt{2}}{3}$ . C. $x = \frac{2\sqrt{2}}{5}$ . D. $x = \frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Từ hình vuông ban đầu ta tính được $OM = \frac{x}{2},\ S_{1}M = S_{1}O - OM = \frac{\sqrt{2} - x}{2}$ . ( $0 < x < \sqrt{2}$ )

Khi gấp thành hình chóp thì $S_{1} \equiv S$ nên ta có $SM = S_{1}M$ .

Từ đó $SO = \sqrt{SM^{2} - OM^{2}} = \frac{\sqrt{2 - 2\sqrt{2}x}}{2}$ (Điều kiện $0 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ )

Thể tích khối chóp S.ABCD:

$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SO = \frac{1}{6}x^{2}\sqrt{2 - 2\sqrt{2}x} = \frac{1}{6}\sqrt{2x^{4} - 2\sqrt{2}x^{5}}$ .

Ta thấy $V_{SABCD}$ lớn nhất khi $f(x) = 2x^{4} - 2\sqrt{2}x^{5},0 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ đạt giá trị lớn nhất

Ta có:

$f'(x) = 8x^{3} - 10\sqrt{2}x^{4} = 2x^{3}\left( 4 - 5\sqrt{2}x \right)$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{2\sqrt{2}}{5} \end{matrix} \right.$

Bảng biến thiên:

Vậy: $V_{S.ABCD}$ lớn nhất khi và chỉ khi $x = \frac{2\sqrt{2}}{5}$

Ví dụ 2. Cắt ba góc của một tam giác đều cạnh bằng các đoạn bằng $x,\ \left( 0 < x < \frac{a}{2} \right)$ phần còn lại là một tam giác đều bên ngoài là các hình chữ nhật, rồi gấp các hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ tam giác đều như hình vẽ.

Tìm độ dài x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.

A. $\frac{a}{3}$ . B. $\frac{a}{4}$ . C. $\frac{a}{5}$ . D. $\frac{a}{6}$ .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác AMI như hình vẽ, đặt $AM = x > 0,\widehat{MAI} = 30{^\circ}$ $\Rightarrow MI = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy a - 2x, $\left( 0 < x < \frac{a}{2} \right)$ , chiều cao $\frac{x}{\sqrt{3}}$ nên thể tích khối lăng trụ là:

$V = \frac{(a - 2x)^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{a^{2}x - 4ax^{2} + 4x^{3}}{4}$

Ta cần tìm $x \in \left( 0;\ \frac{a}{2} \right)$ để thể tích đạt giá trị lớn nhất.

Xét $f(x) = a^{2}x - 4ax^{2} + 4x^{3}$ , có

$f'(x) = 12x^{2} - 8ax + a^{2} = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{a}{6} \\ x = \frac{a}{2}(l) \end{matrix} \right.$

Từ bảng biến thiên suy ra thể tích đạt giá trị lớn nhất khi $x = \frac{a}{6}$ .

Ví dụ 3. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 40 cm và 60 cm người ta cắt bỏ bốn hình vuông ở bốn góc để gập lại được một cái hộp không nắp.

Để thể tích của hộp đó lớn nhất thì cạnh hình vuông cắt bỏ có giá trị gần với giá trị nào sau đây?

A. 7,85cm. B. 15 cm. C. 3,92 cm. D. 18cm.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Hình vẽ minh họa:

Đặt cạnh hình vuông cắt bỏ là x; (0 < x< 20).

Khi đó thể tích hình hộp thu được là V = x(60 - 2x)(40 - 2x)

$\Rightarrow V' = 4\left( 3x^{2} - 100x + 600 \right)$

$\Rightarrow V' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{50 \pm 10\sqrt{7}}{3}$ .

Do nên $x = \frac{50 - 10\sqrt{7}}{3} = x_{0}$ .

Bảng biến thiên:

Vậy thể tích của khối hộp thu được lớn nhất khi $x = \frac{50 - 10\sqrt{7}}{3} \approx 7,85$ cm.

C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết

Bài tập 1. Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây:

Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là bao nhiêu?

Bài tập 2. Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón (như hình vẽ).

Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng bao nhiêu?

Bài tập 3. Cho hình chữ nhật có diện tích bằng 100(cm²). Hỏi mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất?

A. 10cm x 10cm B. 20cm x 5cm C. 25cm x 4cm D. Đáp án khác

Bài tập 4. Từ một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng người ta gấp theo các đoạn MN, PQ sao cho AD, BC trùng nhau để tạo thánh một hình lăng trụ bị khuyết 2 đáy như hình minh họa dưới đây

Đề thể tích của khối lăng trụ tương ứng với hình lăng trụ tạo thành là lớn nhất thì giá trị của x bằng

A. 8cm. B. 9cm. C. 10cm. D. 5cm.

Bài tập 5. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12(cm). Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x(cm), rồi gập tấm nhôm lại để được cái hộp không nắp (tham khảo hình vẽ bên). Tìm để hộp nhận được có thể tích lớn nhất (giải thiết bề dày tấm tôn không đáng kể).

A. x = 2. B. x = 3. C. x = 4. D. x = 6.

Bài tập 6. Nhân ngày phụ nữ Việt Nam 20 -10 năm 2020, ông A quyết định mua tặng vợ một món quà và đặt nó vào trong một chiếc hộp có thể tích là 32 ( đvtt ) có đáy hình vuông và không có nắp. Để món quà trở nên thật đặc biệt và xứng đáng với giá trị của nó ông quyết định mạ vàng cho chiếc hộp, biết rằng độ dạy lớp mạ tại mọi điểm trên hộp là như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là h, x. Để lượng vàng trên hộp là nhỏ nhất thì giá trị của , x phải là ?

A. B. C. $x = 4;h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ D.

Bài tập 7. Người ta muốn thiết kế một bể cá theo dạng khối lăng trụ tứ giác đều, không có nắp trên, làm bằng kính, thể tích $8\ m^{3}$ . Giá mỗi $m^{2}$ kính là đồng/ $m^{2}$ . Gọi là số tiền tối thiểu phải trả. Giá trị xấp xỉ với giá trị nào sau đây?

A. 11.400.400 đồng. B. 6.790.000 đồng. C. 4.800.000 đồng. D. 14.400.000 đồng.

Bài tập 8. Có một tấm nhôm hình vuông cạnh x. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm) rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hình hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. x = 6 B. x = 3 C. x = 2 D. x = 4

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu

-------------------------------------------------

Việc thành thạo bài toán tối ưu diện tích và thể tích trong thực tế không chỉ giúp học sinh ghi điểm ở các câu vận dụng mà còn tạo nền tảng vững chắc để xử lý những bài toán nâng cao trong đề thi THPT Quốc gia. Thông qua hệ thống bài tập có lời giải chi tiết, người học sẽ rèn luyện được kỹ năng lập mô hình toán học, xét cực trị và đưa ra kết luận chính xác.

Hy vọng nội dung bài viết sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, đồng hành cùng bạn trong quá trình ôn luyện và chinh phục môn Toán THPT Quốc gia với kết quả cao nhất.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: