Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Xác định m để hàm số có tiệm cận đứng – ngang – xiên (Chuyên đề đầy đủ)

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm m để hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên

A. Cách tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận
B. Bài tập minh họa tìm m để hàm số có tiệm cận
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết

A. Cách tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận

Bài toán tổng quát:

1. Đường thẳng $x = x_{0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}f(x) = + \infty;$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}f(x) = - \infty;$

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}f(x) = + \infty;$

Chú ý:

Thông thường tại giá trị $x_{0}$ hàm số không xác định.
Thông thường, nếu $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ thì $x = x_{0}$ là nghiệm của nhưng không là nghiệm của .

Sử dụng máy tính bỏ túi:

Tính $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x):$ Nhập hàm $x_{o} + 10^{- 12}$ . Nếu , thay bằng $10^{- 6}$ .
Tính $\lim_{x \rightarrow x_{0} -}f(x):$ Nhập hàm $x_{o} - 10^{- 12}$ . Nếu $\ ERROR$ , thay bằng $10^{- 6}$ .

2. Đường thẳng $y = y_{0}$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = y_{0};\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = y_{0}$

Chú ý:

Thông thường, nếu $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ , để tìm giới hạn khi $x \rightarrow \pm \infty$ , ta đưa số mũ cao nhất của tử và mẫu ra ngoài.
Lưu ý trong việc đưa ra khỏi $\sqrt{},||$ .

Sử dụng máy tính bỏ túi:

Tính $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x):$ Nhập hàm $10^{12}$ . Nếu , thay bằng $10^{6}$ .
Tính $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x):$ Nhập hàm $- 10^{12}$ . Nếu , thay bằng $- 10^{6}$ .

3. Một số đồ thị thường gặp:

Đồ thị hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ có tiệm cận đứng $x = - \frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$ .
Đồ thị hàn số $y = \alpha^{ax + b}$ có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số $y = log_{\alpha}(ax + b)$ có tiệm cận đứng $x = - \frac{b}{a}$ và không có tiệm cận ngang.

B. Bài tập minh họa tìm m để hàm số có tiệm cận

Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị của để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}$ có đúng ba đường tiệm cận.

A. và $m \neq - 12$ . B. .

C. . D. hoặc .

Hướng dẫn giải

Chọn A

Cách 1 :

+ $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}y = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{m}{x^{2}}} = 0 \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}$ có đúng ba đường tiệm cận

$\Leftrightarrow$ Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}$ có đúng hai đường tiệm cận đứng

$\Leftrightarrow x^{2} - 4x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác .

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' = 4 - m > 0 \\ ( - 2)^{2} - 4( - 2) + m \neq 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 4 \\ m \neq - 12 \end{matrix} \right.$ .

Cách 2 :

Ta thấy $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x) = 0$ nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang

Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận $\Leftrightarrow x^{2} - 4x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 - m > 0 \\ ( - 2)^{2} - 4.( - 2) + m \neq 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 4 \\ m \neq - 12 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 12 \neq m < 4$

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho đồ thị hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + mx + 1}$ có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng $x = x_{1}$ và $x = x_{2}$ sao cho $\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}} > 7$ .

A. $\left\lbrack \begin{matrix} m > 2 \\ m < - 2 \end{matrix} \right.$ . B. .

C. $\left\lbrack \begin{matrix} 2 < m < \sqrt{5} \\ - \sqrt{5} < m < - 2 \end{matrix} \right.$ . D. $\left\lbrack \begin{matrix} m > \sqrt{5} \\ m < - \sqrt{5} \end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Để đồ thị hàm số có hai tiêm cận đứng là các đường thẳng $x = x_{1}$ và $x = x_{2}$ thì phương trình $x^{2} + mx + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},\ x_{2}$ khác . Tức là

$\left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4 > 0 \\ - m + 2 \neq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ (*)

Theo định lí Viet ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - m \\ x_{1}x_{2} = 1 \end{matrix} \right.$ .

Ta có $\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}} > 7 \Leftrightarrow \frac{x_{1}^{4} + x_{2}^{4}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}} > 7 \Leftrightarrow \frac{\left( \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}^{2}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}} > 7$

$\Leftrightarrow \left( m^{2} - 2 \right)^{2} > 9 \Leftrightarrow \left( m^{2} + 1 \right)\left( m^{2} - 5 \right) > 0$

$\Leftrightarrow m \in \left( - \infty; - \sqrt{5} \right) \cup \left( \sqrt{5}; + \infty \right)$ (thoả điều kiện )

Ví dụ 3. Cho hàm số $y = \frac{(m + 1)x + 2}{x - n + 1}$ . Đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Tính giá trị biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng .

Do đó, đồ thị hàm số nhận trục tung và trục hoành làm tiệm cận khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} m + 1 = 0 \\ n - 1 = 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 1 \\ n = 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow m + n = 0$ .

Ví dụ 4. Cho hàm số $y = \frac{x + 3}{x^{2} - 6x + m}$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang?

Hướng dẫn giải

Ta có :

$\lim_{x \rightarrow + \infty}y = \lim_{x \rightarrow - \infty}y = 0 \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng $\Leftrightarrow$ Phương trình $x^{2} - 6x + m = 0$ có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một ngiệm bằng -3.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ \left\{ \begin{matrix} \Delta' = 9 - m > 0 \\ ( - 3)^{2} - 6( - 3) + m = 0 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 27 \end{matrix} \right.$ .

C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

------------------------------------------

Qua chuyên đề này, bạn đã nắm được phương pháp xác định tham số m để hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên – dạng toán trọng tâm trong ôn thi THPT Quốc gia môn Toán. Việc hiểu rõ điều kiện tồn tại từng loại tiệm cận và luyện tập theo từng dạng sẽ giúp bạn xử lý bài toán nhanh, chính xác và tránh nhầm lẫn khi làm đề thi. Hãy tiếp tục rèn luyện thêm các chuyên đề khảo sát hàm số để nâng cao hiệu quả ôn tập và tự tin chinh phục điểm cao.

Tải về

Chọn file muốn tải về: