Trắc nghiệm Toán 12 Quỹ tích Vị trí tương đối trong không gian Oxyz – Phần 2

Ta có d nằm trong mặt phẳng cố định. Gọi H là trung điểm của MN, K là hình chiếu của tâm trên d.

Ta có , suy ra .

Để nhỏ nhất thì lớn nhất nhỏ nhất , trong đó là khoảng cách từ I đến . Khi đó đi qua E là hình chiếu của I trên .

Ghi CALC (nhập tọa độ I) STO M, bấm M+1 : M +2 : M + 3 = = = ta được tọa độ thay vào ta có . Khi đó chọn .

Ghi CALC (nhập tọa độ ) 0 = 0 = 4 = được .

Cách 1. (Khảo sát hàm số)

Giả sử . Gọi là góc giữa (P) và (Q).

Ta có:

Xét thì nên đạt tại .

Cho và .

Vậy .

Kiểm tra đường thẳng AB song song với (P), M thuộc giao tuyến của mặt cầu đường kính AB với (P).

Gọi I là trung điểm của AB và H là hình chiếu của I trên (P).

Ta có:

.

Ta có .

Chọn suy ra .

Vậy suy ra tọa độ

.

Mặt cầu có tâm và bán kính .

Góc giữa hai mặt phẳng lớn nhất bằng , do đó IAMB tạo thành hình vuông. Suy ra .

.

Vậy tổng các phần tử của tập hợp bằng .

Khảo sát.

Lấy điểm , ta có .

Ta có:

.

Suy ra , khi đó .

Phương trình mặt phẳng trung trực của BA là :

.

Cho thay vào suy ra M thuộc đường thẳng .

Ta luôn có .

Nhận xét.

Trong trường hợp thay đổi câu hỏi chẳng hạn như thì ta cần giải chi tiết nhờ góc có số đo lớn nhất. Ta có:

.

Suy ra lớn nhất khi và chỉ khi

. (Có thể giải dựa vào , I là trung điểm AB).

Cách 1. (Khử dần ẩn )

Giả sử d cắt tại , suy ra .

Gọi VTPT của là .

Gọi là góc tạo bởi và d ta có:

.

Xét đạt nhỏ nhất tại nên Hay chọn và phương trình(P): .

Gọi với .

Phương trình .

Vì qua M nên .

Do vai trò ngang nhau nên .

Kẻ đường cao AH trong tam giác ABC, ta có:

Tọa độ .

nên min .

Gọi A là giao điểm của và , d là giao tuyến của và . Lấy điểm B thuộc và kẻ và .

Khi đó là góc giữa và .

Ta có , dấu bằng có khi K trùng A hay d vuông góc với .

Khi đó: và .

Ta thấy đường thẳng nằm trong mặt phẳng cố định và luôn đi qua điểm cố định .

Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với (P) ta có phương trình d là .

Lấy điểm và tính khoảng cách đến (P)

Hay ta có .

Từ hệ thức vì MA, MB là các đoạn thẳng nên hai véc tơ có hướng ngược nhau, hay là .

Mà suy ra từ đó ta được hay A và B đối xứng nhau qua M.

Gọi

.

Đặt khi đó ta có:

, .

Từ đó ta có

, khi đó 5a = -b.

Cho a = 1, b = -5, c = 7 ta có .

Gọi và lần lượt thuộc .

Ta có vuông góc với suy ra

.

Khi đó và độ dài .

Do đó , đi qua .

Gọi là các giao điểm với cần tìm.

Ta có

nên

, khi đó

.

Giả sử cắt tại

và ta có:

.

Suy ra tại . Suy ra .

Gọi là khoảng cách từ A lần lượt đến và d.

Ta có nên yêu cầu bài toán ta phải có , suy ra có véc tơ pháp tuyến .

ghi CALC (nhập tọa độ ) Sto M.

Ghi

Ta được và .

Đường thẳng nằm trong mp(P) đi qua và vuông góc với đường thẳng . Phương trình .

Kẻ do đó yêu cầu bài toán ta có đi và .

Ghi nhập STO M

bấm AC ghi ta được .

Vào MENU 9 1 2 nhập: và suy ra .

Gọi AB là đoạn vuông góc chung, với ta có:

suy ra:

.

Vậy phương trình .

M là hình chiếu vuông góc của N trên d. Trong MENU 1 ghi

CALC nhập Sto M, bấm kết quả bằng 9.