Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Trắc nghiệm Toán 12 Quỹ tích Vị trí tương đối trong không gian Oxyz – Phần 2

Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Các dạng bài quỹ tích trong không gian thường gặp trong đề thi THPT

Chuyên đề quỹ tích và vị trí tương đối trong không gian Oxyz là nội dung quan trọng trong chương trình Toán 12. Bài viết cung cấp bộ câu hỏi trắc nghiệm phần 2 giúp bạn luyện tập hiệu quả và nắm chắc phương pháp giải.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính khoảng cách giữa hai điểm

    Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A\left( {1;5;0} \right),B\left( {3;3;6} \right) và d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}. Gọi C là điểm trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Khoảng cách giữa 2 điểm A và C là

    Hướng dẫn:

    Khảo sát.

    Lấy điểm C( - 1 + 2x;1 - x;2x) \in d, ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 2;6),\overrightarrow{AC} = ( - 2 + 2x; - 4 - x;2x).

    Ta có:

    S = \frac{1}{2}\sqrt{44\left\lbrack ( - 2 + 2x)^{2} + ( - 4 - x)^{2} + 4x^{2} \right\rbrack - ( - 4 + 4x + 8 + 2x + 12x)^{2}}

    S = \sqrt{18x^{2} - 36x + 216} \geq \sqrt{198} = 3\sqrt{22}.

    Suy ra \min S = 3\sqrt{22} \Leftrightarrow x = 1, khi đó \overrightarrow{AC} = (0; - 5;2) \Rightarrow AC = \sqrt{29}.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tìm phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;\ \ 1;\ \ 1) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = - 2 - t \end{matrix} \right.. Tìm phương trình mặt phẳng (\alpha) chứa đường thẳng d và cách A một khoảng lớn nhất.

    Hướng dẫn:

    Gọi AH,AKlà khoảng cách từ A lần lượt đến (\alpha) và d.

    Ta có AH \leq AKnên yêu cầu bài toán ta phải có AH \equiv AK, suy ra (\alpha) có véc tơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AK}.

    ghi \frac{2x + y - z}{6} CALC (nhập tọa độ \overrightarrow{M_{0}A}) 1 = 1 = 3 = \ \ = Sto M.

    Ghi 1 + 2M - 2:M - 1: - 2 - M - 1 = \ = \ =

    Ta được \overrightarrow{n} = ( - 1; - 1; - 3) và (\alpha):x + y + 3z + 5 = 0.

  • Câu 3: Vận dụng
    Xác định tổng các phần tử tập hợp T

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 4 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = t \\ z = m - 1 + t \end{matrix} \right.. Gọi T là tập tất cả các giá trị của m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp diện của (S) tại A và B tạo với nhau góc lớn nhất. Tính tổng các phần tử của tập hợp T.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;0; - 2) và bán kính R = 2.

    Góc giữa hai mặt phẳng lớn nhất bằng 90^{o}, do đó IAMB tạo thành hình vuông. Suy ra IH = d(I,d) = \frac{R}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.

    IH^{2} = ( - 1)^{2} + 0^{2} + ( - 1 - m)^{2} - \frac{(1 + 0 - 1 - m)^{2}}{3} = 2

    \Leftrightarrow m^{2} + 2m + 2 - \frac{m^{2}}{3} = 2

    \Leftrightarrow 2m^{2} + 6m = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = - 3 \end{matrix} \right. .

    Vậy tổng các phần tử của tập hợp T bằng - 3.

  • Câu 4: Vận dụng
    Lập phương trình mặt phẳng (Q)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 1} và mặt phẳng(P):2x - y + 2z - 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa \Delta sao cho (Q) tạo với (P) góc nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Gọi A là giao điểm của \Delta và (P), d là giao tuyến của (Q) và (P). Lấy điểm B thuộc \Delta và kẻ BH\bot(P) và BK\bot d.

    Khi đó \widehat{BKH} = \alpha là góc giữa (Q) và (P).

    Ta có \tan\alpha = \frac{HB}{HK} \geq \frac{HB}{HA}, dấu bằng có khi K trùng A hay d vuông góc với \Delta.

    Khi đó: \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{n_{P}} \right\rbrack = ( - 1;\ \ 6;\ 4) và \overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = (10; - 7;13).

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính bán kính mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;6). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON = 12. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt phẳng (ABC):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 (1).

    Gọi N(x;y;z), thì \overrightarrow{OM} = t.\overrightarrow{ON} = (tx;ty;tz),t > 0.

    Mà OM.ON = 12 suy ra t = \frac{12}{ON^{2}}.

    Do đó tọa độ M\left( \frac{12x}{ON^{2}};\frac{12y}{ON^{2}};\frac{12z}{ON^{2}} \right) thay vào (1) ta có:

    \frac{6x + 3y + 2z}{ON^{2}} = 1\Leftrightarrow ON^{2} = 6x + 3y + 2z

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 3y - 2z = 0.

    Vậy N thuộc mặt cầu cố định tâm I\left( 3;\frac{3}{2};1 \right), bán kính R = \sqrt{3^{2} + \left( \frac{3}{2} \right)^{2} + 1^{2}} = \frac{7}{2}.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính bán kính của mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3a + at \\ y = - 2 + t \\ z = 2 + 3a + (1 + a)t \end{matrix} \right.. Biết rằng khi a thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định qua điểm M(1;1;1) và tiếp xúc với đường thẳng \Delta . Tìm bán kính mặt cầu đó.

    Hướng dẫn:

    Ta thấy đường thẳng \Delta nằm trong mặt phẳng cố định (P):x + y - z + 3 = 0 và \Delta luôn đi qua điểm cố định A(1; - 5; - 1).

    Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với (P) ta có phương trình d là x = 1 + t,y = - 5 + t,z = - 1 - t.

    Lấy điểm I(1 + t; - 5 + t; - 1 - t) \Rightarrow MI = \sqrt{t^{2} + (t - 6)^{2} + (t + 2)^{2}} và tính khoảng cách đến (P)

    \frac{|t + 1 + t - 5 + t + 1 + 3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{t^{2} + (t - 6)^{2} + (t + 2)^{2}}

    \Rightarrow 3t^{2} = 3t^{2} - 8t + 40 \Rightarrow t = 5 \Rightarrow I(6;0; - 6)

    Hay ta có R = \sqrt{3}|t| = 5\sqrt{3}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Lập phương trình đường thẳng d

    Trong không gian Oxyz, gọi d đi qua A( - 1;0; - 1), cắt \Delta_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 2}{- 1}, sao cho góc giữa d và \Delta_{2}:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{2} nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    Giả sử d cắt \Delta_{1}tại B(1 + 2t;2 + t; - 2 - t)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (2 + 2t;2 + t; - 1 - t) và ta có:

    \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} \right) \right| = \frac{| - 2 - 2t + 4 + 2t - 2 - 2t|}{3\sqrt{(2t + 2)^{2} + (t + 2)^{2} + (t + 1)^{2}}}

    = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{t^{2}}{6t^{2} + 14t + 9}} = \frac{2}{3}\sqrt{f(t)}.

    Suy ra maxf(t) = \frac{9}{5} tại t = \frac{- 9}{7}. Suy ra \overrightarrow{AB} = \frac{- 1}{7}(4; - 5; - 2).

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;4;1), B(7; - 4; - 3) và mặt phẳng (P):x + y - z + 2 = 0. Điểm M(a;b;c),(a > 2) di động trên (P) sao cho MAB vuông tại M. Khi tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất thì tổng a + 2b + 3c bằng

    Hướng dẫn:

    Kiểm tra đường thẳng AB song song với (P), M thuộc giao tuyến của mặt cầu đường kính AB với (P).

    Gọi I là trung điểm của AB và H là hình chiếu của I trên (P).

    Ta có:

    I(5;0; - 1),H\left( \frac{7}{3}; - \frac{8}{3};\frac{5}{3} \right),\overrightarrow{IA} = ( - 2;4;2) = 2( - 1;2;1)

    \Rightarrow IM^{2} = 24,IH^{2} = \frac{64}{3}.

    Ta có MH = \sqrt{IM^{2} - IH^{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}.

    Chọn \overrightarrow{HM} = t(1; - 2; - 1),t > 0 suy ra t = \frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{6}} = \frac{2}{3}.

    Vậy \overrightarrow{HM} = \left( \frac{2}{3};\frac{- 4}{3};\frac{- 2}{3} \right) suy ra tọa độ M(3; - 4;1)

    \Rightarrow a + 2b + 3c = - 2.

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kính r = 2. Xét đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - mt \\ z = (m - 1)t \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right), m là tham số thực. Giả sử (P),(Q) là mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với (S) lần lượt tại M,N. Khi đó đoạn MN ngắn nhất, hãy tính khoảng cách từ điểm B(1;0;4) đến đường thẳng d.

    Hướng dẫn:

    Ta có d nằm trong mặt phẳng (\alpha):x + y + z - 1 = 0 cố định. Gọi H là trung điểm của MN, K là hình chiếu của tâm I(1;2;3) trên d.

    Ta có r^{2} = IK.IH = IK.\sqrt{r^{2} - MH^{2}} \Leftrightarrow MH = r\sqrt{1 - \left( \frac{r}{IK} \right)^{2}}, suy ra MN = 2r\sqrt{1 - \left( \frac{r}{IK} \right)^{2}}.

    Để MN nhỏ nhất thì \frac{r}{IK} lớn nhất \Leftrightarrow IK nhỏ nhất \Leftrightarrow IK = IE, trong đó IE là khoảng cách từ I đến (\alpha). Khi đó d đi qua E là hình chiếu của I trên (\alpha).

    Ghi - \frac{x + y + z - 1}{3} CALC (nhập tọa độ I) STO M, bấm M+1 : M +2 : M + 3 = = = ta được tọa độ E\left( \frac{- 2}{3};\frac{1}{3};\frac{4}{3} \right) thay vào d ta có m = \frac{1}{5}. Khi đó chọn \overrightarrow{u_{d}} = (5; - 1; - 4).

    Ghi \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(5x - y - 4z)^{2}}{25 + 1 + 16}} CALC (nhập tọa độ \overrightarrow{M_{0}B}) 0 = 0 = 4 = được \frac{4\sqrt{273}}{21}.

  • Câu 10: Vận dụng
    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{3}. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \Delta sao cho (P) tạo với d:\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{2} một góc lớn nhất?

    Hướng dẫn:

    Cách 1. (Khử dần ẩn )

    Giả sử d cắt (P) tại A(3t - 3;t + 1;2t - 2), M_{0}(3;0; - 1) \in \Delta suy ra \overrightarrow{M_{0}A} = (3t - 6;t + 1;2t - 1).

    Gọi VTPT của (P) là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{M_{0}A},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right\rbrack = ( - t + 5; - 7t + 17;5t - 13).

    Gọi \varphi là góc tạo bởi (P) và d ta có:

    \sin\varphi = \left| \cos\left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{u_{d}} \right) \right|=\frac{6}{\sqrt{14}.\sqrt{(t - 5)^{2} + (7t - 17)^{2} + (5t -13)^{2}}}.

    Xét f(t) = 75t^{2} - 378t + 483 đạt nhỏ nhất tại t = \frac{63}{25} nên \overrightarrow{n} = \left( \frac{62}{25};\frac{- 16}{25};\frac{- 10}{25} \right) Hay chọn \overrightarrow{n} = (31; - 8; - 5) và phương trình(P): 31x - 8y - 5z - 98 = 0.

  • Câu 11: Vận dụng
    Lập phương trìnhđường thẳng

    Trong không gian \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 - 2t \\ z = - 1 + 2t \end{matrix} \right. lập phương trình đường thẳng \Delta song song với mặt phẳng (P):x + y + z - 7 = 0 và cắt d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1} và d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2} lần lượt tại hai điểm A,B sao choAB ngắn nhất.

    Hướng dẫn:

    Gọi A(2a + 1;a; - 2 - a) và B(b + 1;3b - 2;2 - 2b) lần lượt thuộc d_{1},\ d_{2}.

    Ta có \overrightarrow{BA} = (2a - b;a - 3b + 2;2b - a - 4) vuông góc với \overrightarrow{n} = (1;1;1) suy ra

    2a - b + a - 3b + 2 + 2b - a - 4 = 0 \Leftrightarrow b = a - 1.

    Khi đó \overrightarrow{BA} = (a + 1; - 2a + 5;a - 6) và độ dài {\overrightarrow{BA}}^{2} = (a + 1)^{2} + ( - 2a + 5)^{2} + (a - 6)^{2} = 6a^{2} - 30a + 62 \Rightarrow BA_{\min} = \frac{7}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}.

    Do đó \overrightarrow{BA} = \frac{3}{2}( - 1;0;1), \Delta đi qua A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} \right).

  • Câu 12: Vận dụng
    Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 4 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - mt \\ z = (m - 1)t \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right), m là tham số thực. Các mặt phẳng (P), (P') chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S) tại T,T'. Khi mthay đổi thì độ dài TT' nhỏ nhất là

    Hướng dẫn:

    Gọi K là hình chiếu của tâm I trên d, H là trung điểm của TT’, ta có:

    R^{2} = IT^{2} = IH.IK = \sqrt{R^{2} - HT^{2}}.IK

    \Rightarrow HT = R\sqrt{1 - \frac{R^{2}}{IK^{2}}} \Rightarrow TT' = 2R\sqrt{1 - \frac{R^{2}}{IK^{2}}}.

    Ta có TT'_{\min} \Leftrightarrow \left( \frac{R}{IK} \right)_{\max} \Leftrightarrow IK_{\min} = IE, trong đó E là hình chiếu của I trên mặt phẳng cố định (\alpha):x + y + z - 1 = 0 chứa d.

    Ta có IE = d\left( I,(\alpha) \right) = \frac{5}{\sqrt{3}} > 2 = R.

    Vậy TT'_{\min} = 4\sqrt{1 - \frac{4.3}{25}} = \frac{4\sqrt{13}}{5}.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 - 2t \end{matrix} \right., d_{2}:\frac{x - 2}{4} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 2}{- 1} và điểm N(4;4;1). Gọi d là đường thẳng vuông góc chung của d_{1} và d_{2}, điểm M(a;b;c) thuộc d. Khi độ dài MN ngắn nhất thì a + b + c bằng?

    Hướng dẫn:

    Vào MENU 9 1 2 nhập: 1 = 1 = 2 = và 4 = - 3 = 1 = suy ra \overrightarrow{u_{d}} = (1;1;1).

    Gọi AB là đoạn vuông góc chung, với A(2 + a;2 + a; - 1 - 2a) \in d_{1},B(2 + 4b;2 - 3b;2 - b) \in d_{2} ta có:

    \overrightarrow{AB}//\overrightarrow{u_{d}} = (1;1;1) suy ra:

    4b - a = - 3b - a = 3 + 2a - b \Rightarrow a = - 1,b = 0.

    Vậy phương trình d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 2}{1}.

    M là hình chiếu vuông góc của N trên d. Trong MENU 1 ghi

    \frac{x + y + z}{3} CALC nhập 2 = 2 = - 1 = \ \ = Sto M, bấm 6 + 3M = kết quả bằng 9.

  • Câu 14: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 4) và hai điểm M, B thỏa mãn MA.\overrightarrow{MA} + MB.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}. Giả sử điểm M thay đổi trên đường thẳng d:\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 4}{1}. Khi đó điểm B thay đổi trên đường thẳng có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Từ hệ thức MA.\overrightarrow{MA} + MB.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \Rightarrow MA.\overrightarrow{MA} = - MB.\overrightarrow{MB} vì MA, MB là các đoạn thẳng nên hai véc tơ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} có hướng ngược nhau, hay là \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB},k < 0.

    Mà MA.\overrightarrow{MA} = - MB.\overrightarrow{MB} suy ra MA^{4} = MB^{4} \Rightarrow MA = MB từ đó ta được \overrightarrow{MA} = - \overrightarrow{MB} hay A và B đối xứng nhau qua M.

    Gọi M(2t - 3;2t + 1;t - 4) \in d

    \Rightarrow B(4t - 7;4t;2t - 12) \in \left\{ \begin{matrix} x = - 7 + 2t \\ y = 2t \\ z = - 12 + t \end{matrix} \right..

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính khoảng cách giữa hai điểm

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{2 - z}{1}. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q):2x - y - 2z - 2 = 0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A(1;2;3) cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng:

    Hướng dẫn:

    Cách 1. (Khảo sát hàm số)

    Giả sử \overrightarrow{n_{P}} = (a;b;c) \Rightarrow a - 2b - c = 0. Gọi \varphi là góc giữa (P) và (Q).

    Ta có:

    \cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{n_{Q}} \right) \right| = \frac{|2a - b - 2c|}{3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{|b|}{\sqrt{5b^{2} + 4bc + 2c^{2}}}

    Xét b \neq 0 thì \cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2t^{2} + 4t + 5}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}} nên maxcos\varphi đạt tại t = \frac{c}{b} = - 1 \Rightarrow c = - b.

    Cho b = 1 \Rightarrow c = - 1,a = 1 và (P):x + y - z + 3 = 0.

    Vậy d\left( A,(P) \right) = \sqrt{3}.

  • Câu 16: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho A(2;0;0), M(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại B, C. Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Gọi B(0;b;0),C(0;0;c) với b,c > 0.

    Phương trình (P):bcx + 2cy + 2bz - 2bc = 0.

    Vì (P) qua M nên bc = 2(b + c).

    Do vai trò ngang nhau nên b = c = 4.

    Kẻ đường cao AH trong tam giác ABC, ta có:

    Tọa độ H(0;2;2) \Rightarrow AH = \sqrt{OH^{2} + OA^{2}} = \sqrt{8 + 4} = 2\sqrt{3}.

    nên min S_{ABC} = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}.4\sqrt{2}.2\sqrt{3} = 4\sqrt{6}.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tìm một vectơ thỏa mãn điều kiện

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M( - 2; - 2;1),A(1;2; - 3) và đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z}{- 1}. Tìm một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}\ của đường thẳng \Delta đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng \Delta nằm trong mp(P) đi qua Mvà vuông góc với đường thẳng d. Phương trình (P):2x + 2y - z + 9 = 0.

    Kẻ AK\bot\Delta,AH\bot(P) \Rightarrow AK \geq AH do đó yêu cầu bài toán ta có \Delta đi M và H.

    Ghi - \frac{2x + 2y - z + 9}{9} nhập 1 = 2 = - 3 = \ = STO M

    bấm AC ghi 2M + x + 2:2M + y + 2: - M + z - 1 = = \ = ta được ( - 1;0; - 2).

  • Câu 18: Vận dụng
    Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d_{1}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}; d_{2}:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 2}; d_{3}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{1}. Đường thẳng d vuông góc với d_{3}; cắt hai đường thẳng d_{1},d_{2} theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất là?

    Hướng dẫn:

    Gọi A(1 + a; - 2a;1 + a) \in d_{1},B(2 - b;3b; - 1 - 2b) \in d_{2} là các giao điểm với dcần tìm.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1 - a - b;2a + 3b; - 2 - a - 2b)\bot\overrightarrow{u_{3}} = (2;1;1)

    nên 2 - 2a - 2b + 2a + 3b - 2 - a - 2b = 0

    \Leftrightarrow - a - b = 0 \Leftrightarrow a = - b, khi đó

    \overrightarrow{AB} = (1;b; - 2 - b) \Rightarrow AB^{2} = 2b^{2} + 4b + 5 \geq 3 \Rightarrow \min AB = \sqrt{3}.

  • Câu 19: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi đường thẳng d đi qua điểm A(1; - 1;2), song song với (P):2x - y - z + 3 = 0, đồng thời tạo với đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2} một góc nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là:

    Hướng dẫn:

    Đặt \overrightarrow{u_{d}} = (a,b,c) khi đó ta có:

    2a - b - c = 0 \Rightarrow c = 2a - b, \left| \overrightarrow{u_{d}} \right| = \sqrt{5a^{2} + 2b^{2} - 4ab}.

    Từ đó ta có

    \cos\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right) = \frac{5a - 4b}{3\sqrt{5a^{2} + 2b^{2} - 4ab}}

    \Rightarrow cos^{2}\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right) = \frac{25a^{2} - 40ab + 16b^{2}}{9\left( 5a^{2} + 2b^{2} - 4ab \right)}

    cos^{2}\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right) = \frac{25t^{2} - 40t + 16}{9\left( 5t^{2} - 4t + 2 \right)} = f(t)

    \Rightarrow \max f(t) = f\left( \frac{- 1}{5} \right) = \frac{25}{27} , khi đó 5a = -b.

    Cho a = 1, b = -5, c = 7 ta có \overrightarrow{u_{d}} = (1; - 5;7).

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;0),B(2;0; - 2) và mặt phẳng (P):x + 2y - z - 1 = 0. Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA = MB và góc \widehat{AMB} có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị a + 4b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt phẳng trung trực của BA là :

    0x + 2y + 2z = \frac{OB^{2} - OA^{2}}{2} = 0 \Leftrightarrow y + z = 0.

    Cho z = t \Rightarrow y = - t thay vào (P) suy ra M thuộc đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = - t \\ z = t \end{matrix} \right. .

    Ta luôn có x + 4y + z = 1 \Leftrightarrow a + 4b + c = 1.

    Nhận xét.

    Trong trường hợp thay đổi câu hỏi chẳng hạn như 2a + 4b + 3cthì ta cần giải chi tiết nhờ góc \widehat{AMB} có số đo lớn nhất. Ta có:

    \overrightarrow{AM} = (3t - 1; - t - 2;t),\overrightarrow{BM} = (3t - 1; - t;t + 2)

    \Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM} \right) = \frac{(3t - 1)^{2} + 2\left( t^{2} + 2t \right)}{(3t - 1)^{2} + t^{2} + (t + 2)^{2}}

    \cos\left( \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM} \right) = \frac{11t^{2} - 2t + 1}{11t^{2} - 2t + 5} = 1 - \frac{4}{11t^{2} - 2t + 5}.

    Suy ra \widehat{AMB}lớn nhất khi và chỉ khi

    t = \frac{1}{11} \Rightarrow 2a + 4b + 3c = 2 + 5t = \frac{27}{11}. (Có thể giải dựa vào \Delta AIB, I là trung điểm AB).

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (95%):
    2/3
  • Thông hiểu (5%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Tải file làm trên giấy
1
37 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này