Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bài toán tối ưu diện tích trong thực tế

Ứng dụng đạo hàm tìm GTLN – GTNN

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách giải bài toán tối ưu diện tích hình học

A. Bài tập minh họa tối ưu diện tích hình phẳng
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn giải chi tiết

Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, dạng toán tối ưu diện tích trong thực tế luôn là một trong những nội dung quan trọng và có tính ứng dụng cao. Những bài toán này không chỉ kiểm tra khả năng vận dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN mà còn yêu cầu học sinh biết mô hình hóa bài toán từ thực tế về dạng toán học.

Việc nắm vững phương pháp giải sẽ giúp bạn xử lý nhanh các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao trong đề thi. Bài viết này sẽ tổng hợp các dạng bài tiêu biểu kèm hướng dẫn giải chi tiết, dễ hiểu. Qua đó, giúp bạn nâng cao kỹ năng tư duy và tự tin đạt điểm cao trong kỳ thi quan trọng.

A. Bài tập minh họa tối ưu diện tích hình phẳng

Ví dụ 1. Người ta muốn làm một cánh diều hình quạt sao cho với chu vi cho trước là sao cho diện tích của hình quạt lớn nhất. Dạng của quạt này phải như thế nào?

A. $x = \frac{a}{4} ; y = \frac{a}{2}$ B. $x\ \ = \ \ \frac{a}{3}\ \ ;\ \ y\ \ = \ \ \frac{a}{3}$

C. $x\ \ = \ \ \frac{a}{6}\ \ ;\ \ y\ \ = \ \ \frac{2a}{3}$ D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Chọn A

Hình vẽ minh hoa:

Gọi x là bán kính hình quạt, y là độ dài cung tròn. Ta có chu vi cánh diều là a = 2x + y.

Ta cần tìm mối liên hệ giữa độ dài cung tròn y và bán kính x sao cho diện tích quạt lớn nhất.

Dựa vào công thức tính diện tích hình quạt là $S = \frac{\pi\ R^{2\ }\alpha}{360}$ và độ dài cung tròn $\mathcal{l\ \ = \ \ }\frac{2\pi R\alpha}{360}$ , ta có diện tích hình quạt là: $S\ = \ \frac{\mathcal{l\ }R}{2}$ .

Vận dụng trong bài toán nàydiện tích cánh diều là: $S\ \ = \ \frac{xy}{2}\ = \ \frac{x(a\ - \ 2x)}{2}\ = \ \frac{1}{4}2x(a\ - \ 2x)$ .

Dễ thấy S cực đại ⇔ 2x = a - 2x ⇔ x = a/4 => y = a/2.

Như vậy với chu vi cho trước, diện tích của hình quạt cực đại khi bán kính của nó bằng nửa độ dài cung tròn.

Ví dụ 2. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn.

A. 80cm². B. 100cm². C. 160cm². D. 200cm².

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Hình vẽ minh họa:

Gọi x(cm) là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn (0 < x < 10).

Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là: $2\sqrt{10^{2} - x^{2}}\ (cm)$

Diện tích hình chữ nhật: $S = 2x\sqrt{10^{2} - x^{2}}\ \left( cm^{2} \right)$

Ta có $S' = 2\sqrt{10^{2} - x^{2}} - \frac{2x^{2}}{\sqrt{10^{2} - x^{2}}} = 2.10^{2} - 4x^{2}$

$S' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{10\sqrt{2}}{2}\ (tm) \\ x = - \frac{10\sqrt{2}}{2}\ (ktm) \end{matrix} \right.$

$S'' = - 8x \Rightarrow S''\left( \frac{10\sqrt{2}}{2} \right) = - 40\sqrt{2} < 0$ . Suy ra $x = \frac{10\sqrt{2}}{2}$ là điểm cực đại của hàm S(x).

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là: $S = 10\sqrt{2}.\sqrt{10^{2} - \frac{10^{2}}{2}} = 100\left( cm^{2} \right)$

Ví dụ 3. Trong các tam giác vuông có tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền là a; (a > 0), tam giác có diện tích lớn nhất là

A. $\frac{a^{2}}{5\sqrt{6}}$ . B. $\frac{a^{2}}{3\sqrt{6}}$ . C. $\frac{a^{2}}{6\sqrt{5}}$ . D. $\frac{a^{2}}{6\sqrt{3}}$ .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Giả sử tam giác ABC vuông tại A và có AB + BC = a.

Đặt AB = x => BC = a - x. Vì BC > AB $\Rightarrow 0 < x < \frac{a}{2}$ nên ta có:

$AC = \sqrt{BC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{(a - x)^{2} - x^{2}} = \sqrt{a^{2} - 2ax}$ .

Diện tích tam giác là $S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}x.\sqrt{a^{2} - 2ax} = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}x^{2} - 2ax^{3}}$ .

Xét hàm số $y = a^{2}x^{2} - 2ax^{3},0 < x < \frac{a}{2}$ ta có: y' = 2a²x - 6ax

Xét $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{a}{3} \end{matrix} \right.$

Bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên suy ra tam giác có diện tích lớn nhất là $\frac{a^{2}}{6\sqrt{3}}$ khi $x = \frac{a}{3}$ .

C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 1. Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800(m). Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất?

Bài tập 2. Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là mét thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được rào có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

A. S_max = 3600m². B. S_max = 4000m².

C. S_max = 8100m². D. S_max = 4050m².

Bài tập 3. Tính diện tích lớn nhất S_max của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R = 6cm nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp.

A. S_max = 36π cm². B.S_max = 36 cm².

C. S_max = 96π cm². D.S_max = 18 cm².

Bài tập 4. Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200cm. Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vuông, có tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số 120cm từ tấm gỗ trên sao cho tấm gỗ hình tam giác vuông có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ này là bao nhiêu?

A. 40cm. B. $40\sqrt{3}cm$ . C. 80cm. D. $40\sqrt{2}cm$ .

Bài tập 5. Một sợi dây có chiều dài là 6m, được chia thành hai phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất?

A. $\frac{18\sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}}\ \ (m).$ B. $\frac{12}{4 + \sqrt{3}}\ \ (\ m).$

C. $\frac{18}{9 + 4\sqrt{3}}\ \ (m).$ D. $\frac{36\sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}}\ \ (\ m).$

Bài tập 6. Một sợi dây kim loại dài được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số $\frac{a}{r}$ bằng:

A. $\frac{a}{r} = 1$ . B. $\frac{a}{r} = 2$ . C. $\frac{a}{r} = 3$ . D. $\frac{a}{r} = 4$ .

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu!

-----------------------------------------------------

Có thể thấy, bài toán tối ưu diện tích trong thực tế là dạng toán vừa mang tính ứng dụng cao, vừa giúp học sinh hiểu sâu bản chất của đạo hàm trong việc tìm GTLN – GTNN. Việc thành thạo các bước lập hàm số, khảo sát và kết luận không chỉ hỗ trợ tốt cho quá trình ôn thi mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề một cách logic và hiệu quả.

Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn hệ thống kiến thức đầy đủ, dễ hiểu và có tính ứng dụng cao. Đừng quên luyện tập thêm nhiều dạng bài tương tự để tự tin chinh phục mọi dạng bài tập ôn thi THPT Quốc gia ứng dụng trong thực tiễn.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: