Các bài toán tối ưu kinh tế trong thực tế - Giải chuẩn từng bước

Các bài toán tối ưu kinh tế là một trong những dạng toán ứng dụng thực tiễn quan trọng của chương Hàm số trong Toán 12. Không chỉ xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT, dạng toán này còn giúp học sinh hiểu cách vận dụng kiến thức đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế như tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí sản xuất hay tối ưu doanh thu kinh doanh. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ tổng hợp phương pháp giải các bài toán tối ưu kinh tế trong thực tế theo từng bước cụ thể, kèm ví dụ minh họa và bài tập vận dụng giúp học sinh dễ dàng chinh phục dạng toán này.

A. Bài tập minh họa tối ưu kinh tế

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi x là số tivi mỗi lần đặt hàng thì x ∈ [1; 2500]

Khi đó, số lượng tivi trung bình gửi trong kho sẽ là .

Do đó, chi phí gửi hàng trong khi mỗi năm sẽ là .

Số lần đặt hàng mỗi năm sẽ là .

Do đó chi phí đặt hàng mỗi năm sẽ là .

Suy ra, chi phí hàng tồn kho là .

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của C(x) với .

Ta có:

Do nên

Khi đó số lần đặt hàng mỗi năm sẽ là 2500 : 100 = 25 lần.

Vậy để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất thì cửa hàng cần đặt hàng 25 lần mỗi năm và 100 cái mỗi lần.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi x (nghìn VNĐ) là số tiền công ty sẽ tăng thêm đối với một khách.

Khi đó số khách sẽ giảm đi là 50x khách nên còn 10 000 - 50x khách.

Khi đó, 10 000 - 50x > 0 ⇔ x < 200.

Khi đó số tiền thu được sau khi tăng giá vé là f(x) = (50 + x)(10 000 - 50x).

Ta có (nghìn VNĐ).

Vậy số tiền thu được tăng thêm lớn nhất là:

781 250 - 50 . 10 000 = 281 250 nghìn VNĐ khi 50 + x = 200 - x ⇔ x = 75 nghìn VNĐ.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ở tháng thu nhập của công ty cao nhất, gọi số căn hộ bị bỏ trống là x thì số tiền thuê mỗi phòng là 2 000 000 + 50 000x, khi đó số tiền thu được là:

f(x) = (2 000 000 + 50 000x)(50 - x)

= -50 000x² + 500 000x + 100 000 000.

Ta cần tìm x ∈ (0; 50) để f(x) lớn nhất.

Ta có f'(x) = -100 000x + 500 000, f'(x) = 0 ⇔ x = 5

Bảng biến thiên:

Vậy mỗi tháng lợi nhuận cao nhất thu được của công ty là 101 250 000.

B. Bài tập vận dụng có hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 1. Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50 000 đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5 000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30 000 đồng.

A. 44 000 đồng. B. 43 000 đồng. C. 42 000 đồng. D. 41 000 đồng.

Bài tập 2. Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lần in là 50 nghìn đồng. Chi phí cho máy chạy trong một giờ là 10(6n + 10)nghìn đồng. Hỏi nếu in 50 000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để được lãi nhiều nhất?

A. 4 máy. B. 6 máy. C. 5 máy. D. 7 máy.

Bài tập 3. Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480 - 20n (gram). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

A. 10 B. 12 C. 16 D. 24

Bài tập 4. Một chuyến xe bus có sức chứa tối đa là hành khách. Nếu một chuyến xe chở x hành khách thi giá cho mỗi hành khách là . Chọn câu đúng:

A. Xe thu được lợi nhuận cao nhất khi có 60 hành khách.

B. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng .

C. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng .

D. Không có đáp án đúng.

Bài tập 5. Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gởi trong kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất?

A. 23500 B. 1223500 C. 43500 D. 24500

Bài tập 6. Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 31 (triệu đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất (đơn vị triệu đồng)?

A. 30,5. B. 305. C. 40,5. D. 30.

Bài tập 7. Giám đốc một nhà hát A đang phân vân trong việc xác định mức giá vé xem các chương trình được trình chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng nó sẽ quyết định nhà hát thu được bao nhiêu lợi nhuận từ các buổi trình chiếu. Theo những cuốn sổ ghi chép của mình, ông ta xác định được rằng: nếu giá vé vào cửa là 20USD/người thì trung bình có 1000 người đến xem. Nhưng nếu tăng thêm 1 USD/người thì sẽ mất 100 khách hàng hoặc giảm đi 1USD/người thì sẽ có thêm 100 khách hàng trong số trung bình.Biết rằng, trung bình, mỗi khách hàng còn đem lại 2 USD lợi nhuận cho nhà hát trong các dịch vụ đi kèm. Hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá vé vào cửa là bao nhiêu để thu nhập là lớn nhất.

A. 18USD/người.                               B. 19USD/người.

C. 14USD/người.                            D.25USD/người.

Đáp án bài tập vận dụng

Bài tập 1.

Chọn C

Gọi t là số lần giảm \(\left( {0 \le t \le 4;t \in \mathbb{R}} \right)\) thì 5000t là tổng số tiền giảm.

Lúc đó giá bán sẽ là 50000 - 5000t, số quả bưởi bán ra là 40 + 50t suy ra tổng số tiền bán được cả vốn lẫn lãi là: (50 000 - 5000t).(40 + 50t); số tiền vốn nhập ban đầu là: 30 000.(40 + 50t).

Ta có lợi nhuận thu được là: f(t) = (4 + 5t) (20 - 5t).10000 

Ta tìm t để f(t) lớn nhất: 

\(\Rightarrow g\left( t \right) = \frac{{f\left( t \right)}}{{10000}} = - 25{t^2} + 80t + 80\) \(= 144 - {\left( {5t - 8} \right)^2} \le 144,\forall t \in \mathbb{R}\).

Để f(t) lớn nhất khi g(t) lớn nhất; g(t) lớn nhất bằng 144 khi \(5t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{8}{5}\).

f(t) = (50 000 - 5000t) (40 + 50t) - 30 000 (40 + 50t)

\(t = \frac{8}{5} \Rightarrow 5000t = 8000\)

Do đó giảm số tiền một quả bưởi là 8000 đồng, tức giá bán ra một quả là 50 000 - 8000 = 42 000 đồng, thì lợi nhuận thu được cao nhất.

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu

------------------------------------------------

❓ FAQ 

1. Bài toán tối ưu kinh tế trong Toán 12 là gì?

Đây là dạng toán ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng kinh tế như lợi nhuận, doanh thu, chi phí hoặc sản lượng trong những điều kiện thực tế cho trước.

2. Các bài toán tối ưu kinh tế thường xuất hiện ở đâu trong chương trình Toán 12?

Dạng toán này chủ yếu thuộc chuyên đề:

• Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số.
• Bài toán cực trị thực tế.
• Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

3. Quy trình giải bài toán tối ưu kinh tế gồm những bước nào?

Các bước cơ bản:

1. Xác định đại lượng cần tối ưu.
2. Thiết lập hàm số theo biến số thích hợp.
3. Tìm miền xác định của biến.
4. Sử dụng đạo hàm để tìm cực trị.
5. Đối chiếu với điều kiện thực tế và kết luận.

---------------------------

Thông qua việc rèn luyện các bài toán tối ưu kinh tế, người học không chỉ nắm chắc phương pháp tìm lợi nhuận lớn nhất, chi phí nhỏ nhất mà còn phát triển tư duy phân tích và ra quyết định hợp lý. Việc giải bài theo từng bước rõ ràng giúp hạn chế sai sót, đồng thời tạo nền tảng vững chắc để xử lý những dạng toán ứng dụng nâng cao.