Chuyên đề Nguyên hàm hàm lượng giác Toán 12 Có hướng dẫn giải chi tiết

Nguyên hàm của hàm lượng giác là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 12, đồng thời thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia. Việc nắm chắc công thức, phương pháp và các dạng bài đặc trưng sẽ giúp học sinh xử lý nhanh và chính xác những câu hỏi liên quan. Bài viết này hệ thống chuyên đề nguyên hàm hàm lượng giác Toán 12 kèm hướng dẫn giải chi tiết, giúp các em từng bước hiểu bản chất và nâng cao kỹ năng làm bài.

A. Đề bài Tính Nguyên hàm hàm lượng giác 

Câu 1: Tìm \(I = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx\)?

A. \(I = \frac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C\).                  B. \(I = x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C\).C. \(I = x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C\).                             D. \(I = \frac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C\).

Câu 2: Tìm \(I = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx\)?

A. \(I = \frac{1}{2}\left( x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C\).

B. \(I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C\).

C. \(I = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C\).

D. \(I = x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C\).

Câu 3: Tìm \(H = \int_{}^{}\frac{x^{2}dx}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}\)?

A. \(H = \frac{x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C\).

B. \(H = \frac{x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} - \tan x + C\).

C. \(H = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C\).

D. \(H = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x +\cos x \right)} - \tan x + C\).

Câu 4: Tìm \(R = \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}\sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}}\ dx}\)?

A. \(R = - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C\) với \(t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)\).

B. \(R = - \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C\) với \(t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)\).

C. \(R = \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C\) với \(t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)\).

D. \(R = \frac{tan2t}{2} - \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C\) với \(t = \frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)\).

Câu 5: Nguyên hàm \(\int_{}^{}{\left( sin2x + \cos x \right)dx}\) là:

A. \(\frac{1}{2}cos2x + \sin x + C\).                  B. \(- cos2x + \sin x + C\).

C. \(- \frac{1}{2}cos2x + \sin x + C\).                D. \(- cos2x - \sin x + C\).

Câu 6: Nguyên hàm \(\int_{}^{}{\left\lbrack \sin(2x + 3) + \cos(3 - 2x) \right\rbrack dx}\) là:

A. \(- 2cos(2x + 3) - 2sin(3 - 2x) + C\).

B. \(- 2cos(2x + 3) + 2sin(3 - 2x) + C\).

C. \(2cos(2x + 3) - 2sin(3 - 2x) + C\).

D. \(2cos(2x + 3) + 2sin(3 - 2x) + C\).

Câu 7: Nguyên hàm \(\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx\) là:

A. \(\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C\).             B. \(x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C\).

C. \(\frac{1}{2}x - 3sin(3x + 1) + \sin x + C\).              D. \(\frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) - \sin x + C\).

Câu 8: Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của \(\int_{}^{}{\left( sin^{3}x + cos^{3}x \right)dx}\)?

A. \(3cosx.sin^{2}x - 3sinx.cos^{2}x + C\).             B. \(\frac{3}{2}sin2x\left( \sin x - \cos x \right) + C\).

C. \(3\sqrt{2}sin2x\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C\).                      D. \(3\sqrt{2}\sin x.cosx.sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C\).

Câu 9: Với phương pháp đổi biến số \((x \rightarrow t)\), nguyên hàm \(I = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2x + 3}}dx}\) bằng:

A. \(\sin t + C\).              B. \(- t + C\).                C. \(- \cos t + C\).                D. \(t + C\).

Câu 10: Theo phương pháp đổi biến số với \(t = \cos x,u = \sin x\), nguyên hàm của \(I = \int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx}\) là:

A. \(- \ln|t| + \ln|u| + C\).                      B. \(\ln|t| - \ln|u| + C\).

C. \(\ln|t| + \ln|u| + C\).                         D. \(- \ln|t| - \ln|u| + C\).

Câu 11: Theo phương pháp đổi biến số \((x \rightarrow t)\), nguyên hàm của \(I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx\) là:

A. \(2\sqrt[3]{t} + C\).                  B. \(6\sqrt[3]{t} + C\).           C. \(3\sqrt[3]{t} + C\).                  D. \(12\sqrt[3]{t} + C\).

Câu 12: Nguyên hàm của \(I = \int_{}^{}{xsin^{2}x}dx\) là:

A. \(\frac{1}{8}\left( 2x^{2} - xsin2x - cos2x \right) + C\).                       B. \(\frac{1}{8}cos2x + \frac{1}{4}\left( x^{2} + xsin2x \right) + C\).

C. \(\frac{1}{4}\left( x^{2} - \frac{1}{2}cos2x - xsin2x \right) + C\).

Câu 13: Nguyên hàm của \(I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx\) là:

A. \(I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x\).

B. \(I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x\).

C. \(I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x\).

D. \(I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x\).

Câu 14: Họ nguyên hàm của \(I = \int_{}^{}{\frac{\ln\left( \cos x \right)}{sin^{2}x}dx}\) là:

A. \(\cot x.ln\left( \cos x \right) + x + C\).                         B. \(- \cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C\).

C. \(\cot x.ln\left( \cos x \right) - x + C\).                         D. \(- \cot x.ln\left( \cos x \right) + x + C\).

Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)thỏa mãn điều kiện: \(f(x) = 2x - 3cosx,\ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 3\)?

A. \(F(x) = x^{2} - 3sinx + 6 + \frac{\pi^{2}}{4}\).                 B. \(F(x) = x^{2} - 3sinx - \frac{\pi^{2}}{4}\).

C. \(F(x) = x^{2} - 3sinx + \frac{\pi^{2}}{4}\).                       D. \(F(x) = x^{2} - 3sinx + 6 - \frac{\pi^{2}}{4}\).

B. Đáp án tổng quan bài tập tìm nguyên hàm lượng giác

C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập tính nguyên hàm lượng giác

Câu 1:

Đặt: \(T = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}\)

\(\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}}\)

\(= \int_{}^{}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x}dx = x + C_{1}}(1)\)

Ta lại có :

\(I - T = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\sin x+ \cos x}dx - \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}}\)\(=\int_{}^{}{\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}dx}\)

\(\Leftrightarrow I - T = -\int_{}^{}{\frac{d\left( \sin x + \cos x \right)}{\sin x + \cos x} }\)\(= {-\ln\left| \sin x + \cos x \right| + C_{2}}(2)\)

Từ \((1);(2)\) ta có hệ: \(\left\{ \begin{matrix} I + T = x + C_{1} \\ I - T = - \ln\left| \sin x + \cos x \right| + C_{2} \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I = \frac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C \\ T = \frac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) + C \end{matrix} \right.\)

Câu 2:

Đặt: \(T = \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}\)

\(\Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx + \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}\)

\(= \int_{}^{}\frac{sin^{4}x + cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx = x + C_{1}(1)\)

Mặt khác:

\(I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx - \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}\) \(= \int_{}^{}\frac{cos^{4}x - sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx\)

\(\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{2}x - sin^{2}x}{1 - 2sin^{2}x.cos^{2}x}dx}\) \(= \int_{}^{}\frac{cos2x}{1 - \frac{1}{2}sin^{2}x}dx\)

\(\Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{2cos2x}{2 - sin^{2}2x}dx}\) \(= \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2}(2)\)

Từ \((1);(2)\) ta có hệ: \(\left\{ \begin{matrix} I + T = x + C_{1} \\ I - T = \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2} \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\ T = \frac{1}{2}\left( x - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \end{matrix} \right.\)

Câu 3:

Ta có :

\(H =\int_{}^{}{\frac{x^{2}}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx }\)\(=\int_{}^{}{\frac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x\right)^{2}}.\frac{x}{\cos x}dx}\)

Đặt \(\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{x}{\cos x} \\dv = \dfrac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx =\dfrac{d\left( x\sin x + \cos x \right)}{\left( x\sin x + \cos x\right)^{2}}\end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{x\sin x + \cos x}{cos^{2}x}dx \\v = - \dfrac{1}{x\sin x + \cos x}\end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow H = - \frac{x}{\cos x}.\frac{1}{xsinx + \cos x} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}\)

\(= \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C\)

Câu 4:

Đặt \(x = 2cos2t\) với \(t \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)\)

Ta có : \(\left\{ \begin{matrix}dx = - 4sin2t.dt \\\sqrt{\dfrac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\dfrac{2 - 2sin2t}{2 + 2cos2t}} =\sqrt{\dfrac{4sin^{2}t}{4cos^{2}t}} = \dfrac{\sin t}{\cos t}\end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{4cos^{2}2t}.\frac{\sin t}{\cos t}.}4sin2t.dt\) \(= - \int_{}^{}{\frac{2sin^{2}t}{cos^{2}2t}dt = - \int_{}^{}{\frac{1 - cos2t}{cos^{2}2t}dt}}\)

\(\Leftrightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}2t}dt} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos2t}dt}\) \(= - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C\)

Câu 5:

Ta có:

\(\int_{}^{}{\left( sin2x + \cos x \right)dx} = - \frac{1}{2}cos2x + \sin x + C\).

Câu 6:

Ta có:

\(\int_{}^{}{\left\lbrack \sin(2x + 3) + \cos(3 - 2x) \right\rbrack dx}\)\(= - 2cos(2x + 3) - 2sin(3 - 2x) + C\).

Câu 7:

Ta có:

\(\int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx\)\(= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1 - \cos(6x + 2)}{2} + \cos x \right\rbrack dx\)

\(= \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(6x + 2) + \cos x \right\rbrack dx\)\(= \frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C\)

Câu 8:

Ta có:

\(\int_{}^{}{\left( sin^{3}x + cos^{3}x \right)dx}\)\(= 3cosx.sin^{2}x - 3sinx.cos^{2}x + C\)

\(= \frac{3}{2}sin2x\left( \sin x - \cos x \right) + C\)\(= \frac{3\sqrt{2}}{2}sin2x\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + C\).

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

------------------------------------------------------------

FAQ – Chuyên đề Nguyên hàm hàm lượng giác Toán 12 Có hướng dẫn giải chi tiết | Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

1. Nguyên hàm hàm lượng giác Toán 12 gồm những kiến thức trọng tâm nào?

Chuyên đề Nguyên hàm hàm lượng giác Toán 12 tập trung vào các công thức nguyên hàm cơ bản của các hàm số lượng giác như:

• Nguyên hàm của sinx và cosx;
• Nguyên hàm của tanx và cotx;
• Nguyên hàm của sec²x và csc²x;
• Nguyên hàm của các biểu thức lượng giác sau khi biến đổi hoặc đổi biến.

Đây là nền tảng quan trọng để giải bài toán tích phân và ứng dụng trong đề thi THPT Quốc gia.

2. Dạng bài nguyên hàm hàm lượng giác thường xuất hiện như thế nào trong đề thi THPT Quốc gia?

Các câu hỏi về nguyên hàm hàm lượng giác thường xuất hiện ở mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng. Đề thi có thể yêu cầu:

• Tính trực tiếp nguyên hàm của một hàm lượng giác;
• Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến;
• Kết hợp các hằng đẳng thức lượng giác để đưa về dạng cơ bản;
• Xác định nguyên hàm thỏa mãn điều kiện ban đầu.

3. Làm thế nào để học tốt chuyên đề nguyên hàm hàm lượng giác lớp 12?

Để học hiệu quả, học sinh nên:

• Ghi nhớ hệ thống công thức nguyên hàm cơ bản;
• Thành thạo các công thức biến đổi lượng giác;
• Luyện tập theo từng dạng bài từ cơ bản đến nâng cao;
• Thường xuyên giải các đề minh họa và đề thi thử có lời giải chi tiết.

Việc rèn luyện đều đặn sẽ giúp tăng tốc độ xử lý câu hỏi trong phòng thi.

4. Vì sao học sinh thường gặp khó khăn khi giải bài tập nguyên hàm hàm lượng giác?

Khó khăn chủ yếu đến từ việc:

• Nhầm lẫn giữa công thức đạo hàm và nguyên hàm;
• Chưa thành thạo các phép biến đổi lượng giác;
• Không nhận ra phương pháp đổi biến phù hợp;
• Bỏ sót hằng số C trong kết quả nguyên hàm.

Nắm vững lý thuyết và luyện tập có hệ thống là cách khắc phục hiệu quả nhất.

------------------------------------

Thành thạo nguyên hàm hàm lượng giác không chỉ giúp giải quyết tốt các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán, mà còn là nền tảng cho những chuyên đề tích phân và ứng dụng sau này. Với hệ thống bài tập được phân dạng và giải thích rõ ràng, học sinh sẽ dễ dàng ghi nhớ công thức, rèn luyện tư duy và tránh được các lỗi sai thường gặp. Hãy luyện tập đều đặn để biến kiến thức thành kỹ năng, sẵn sàng đạt điểm tối đa trong kỳ thi sắp tới.