Tìm cực trị của hàm số khi biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số
Cực trị của hàm số Toán 12
Trong chương trình Toán 12, chuyên đề cực trị của hàm số là một trong những nội dung trọng tâm xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra, đề thi thử và đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Đặc biệt, dạng toán tìm cực trị của hàm số khi biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số được đánh giá là dạng bài có tính ứng dụng cao, giúp học sinh khai thác trực tiếp các thông tin về sự biến thiên của hàm số mà không cần thực hiện nhiều phép tính phức tạp. Đây cũng là dạng câu hỏi quen thuộc trong các bài thi trắc nghiệm, đòi hỏi khả năng đọc hiểu bảng biến thiên và phân tích đồ thị một cách chính xác.
Để giải tốt dạng toán này, học sinh cần nắm vững mối liên hệ giữa đạo hàm, bảng biến thiên và đồ thị hàm số; đồng thời biết cách nhận diện điểm cực đại, cực tiểu thông qua sự thay đổi dấu của đạo hàm hoặc sự đổi chiều của đồ thị. Trong bài viết dưới đây, chúng tôi tổng hợp đầy đủ lý thuyết trọng tâm, phương pháp giải nhanh, các dạng bài tập thường gặp và hệ thống bài tập tìm cực trị của hàm số có đáp án, giúp học sinh lớp 12 củng cố kiến thức và tự tin chinh phục các câu hỏi về cực trị trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.
A. Cực trị hàm số là gì?
Giả sử hàm số 
\(y = f(x)\) xác định trên tập \(K\) và \(x_{0} \in K\). Ta nói:
- \(x_{0}\) là điểm cực tiểu của hàm số \(f\) nếu tồn tại một khoảng \((a;b)\) sao cho \(x_{0} \in (a;b)\) sao cho \((a;b) \subset K\) và \(f(x) > f\left( x_{0} \right)\forall x \in
(a;b)\left\{ x_{0} \right\}\). Khi đó \(f\left( x_{0} \right)\) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số \(f(x)\).
- \(x_{0}\) là điểm cực đại của hàm số \(f\) nếu tồn tại một khoảng \((a;b)\) sao cho \(x_{0} \in (a;b)\) sao cho \((a;b) \subset K\) và \(f(x) < f\left( x_{0} \right)\forall x \in
(a;b)\left\{ x_{0} \right\}\). Khi đó \(f\left( x_{0} \right)\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số \(f(x)\).
- Điểm cực đại và điểm cực tiểu chung là điểm cực trị.
- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp \(K\).
- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
- Nếu \(x_{0}\) là điểm cực trị của hàm số thì điểm \(\left( x_{0};f\left( x_{0}
\right) \right)\) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\).
B. Định lí cực trị của hàm số
Điều kiện cần (định lí 1):
Nếu hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\) và đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại \(x_{\circ}\) thì \(f'(x_{\circ}) = 0.\)
Điều kiện đủ (định lí 2):
- Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương khi \(x\) đi qua điểm \(x_{\circ}\) (theo chiều tăng) thì hàm số \(y = f(x)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x_{\circ}.\)
- Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm khi \(x\) đi qua điểm \(x_{\circ}\) (theo chiều tăng) thì hàm số \(y = f(x)\) đạt cực đại tại điểm \(x_{\circ}.\)
Định lí 3:
Giả sử \(y = f(x)\) có đạo hàm cấp \(2\) trong khoảng \((x_{\circ} - h;x_{\circ} + h),\) với \(h > 0.\)
Khi đó:
- Nếu \(y'(x_{\circ}) =
0,y''(x_{\circ}) > 0\) thì \(x_{\circ}\) là điểm cực tiểu.
- Nếu \(y'(x_{o}) = 0,y''(x_{o})
< 0\) thì \(x_{\circ}\) là điểm cực đại.
Ví dụ: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash\left\{ 0
\right\}\) và có bảng xét dấu đạo hàm \(f'(x)\) như sau:
Hàm số \(y = f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Hướng dẫn giải
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số \(y = f(x)\) có 1 điểm cực trị.
Ví dụ. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), biết \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ:
Xác định điểm cực đại của hàm số \(y =
f(x)\) đã cho?
Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị hàm số \(y =
f'(x)\) ta có: \(f'(x) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = - 3 \\
x = - 2 \\
x = 1 \\
x = 3 \\
\end{matrix} \right.\)
Khi đó ta có bảng xét dấu \(f'(x)\) như sau:
Dựa vào bảng xét dấu suy ra điểm cực đại của hàm số \(y = f(x)\) là \(x
= - 2\).
Ví dụ. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ:
Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y =
f(x)\)?
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) ta có đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Do đó phương trình \(f'(x) = 0\) có bốn nghiệm phân biệt. Qua các nghiệm này \(f'(x)\) đều đổi dấu nên số cực trị của hàm số \(y = f(x)\) là bốn cực trị.
Ví dụ. Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \(f'(x)\) như sau:
Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực đại. B. Hàm số có bốn điểm cực trị.
C. Hàm số có hai điểm cực trị. D. Hàm số có hai điểm cực tiểu.
Hướng dẫn giải
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy: hàm số đạt cực trị tại \(x = 1;x = 3;x = 4\).
Tại \(x = 1;x = 4\) ta thấy \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1;x =
4\).
Tại \(x = 3\) ta thấy \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 3\).
Ví dụ. Cho hàm số bậc năm \(y =
f(x)\) và đồ thị hàm số \(y =
f'(x)\) trên \(\mathbb{R}\) biểu diễn bởi hình vẽ:
Em có nhận xét gì về số điểm cực tiểu, số điểm cực đại của hàm số?
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) ta có bảng biến thiên của hàm số \(y =
f(x)\)
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(y =
f(x)\) có 1 cực đại và 1 cực tiểu.
Ví dụ. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Tìm số điểm cực trị của hàm số \(g(x) =
\left| f(x) - 2 \right|\)?
Hướng dẫn giải
Số điểm cực trị của hàm số \(g(x) = \left|
f(x) - 2 \right| = m + n\)
Với m là số điểm cực trị của hàm số \(y =
f(x) - 2 \Rightarrow m = 2\)
n là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f(x) = 2 \Rightarrow n = 3\)
Suy ra số điểm cực trị của hàm số \(g(x) =
\left| f(x) - 2 \right| = 2 + 3 = 5\)
Ví dụ. Cho hàm số \(y = f(x) = ax^{3} +
bx^{2} + cx + d;(a \neq 0)\) có đồ thị như sau:
Hàm số \(y = \left| f(x) \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị hàm số \(y = f(x) = ax^{3} +
bx^{2} + cx + d;(a \neq 0)\) suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| f(x) \right|\) như hình vẽ:
Do đó hàm số \(y = \left| f(x)
\right|\) có 5 điểm cực trị.
Ví dụ. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \(f'(x)\) như sau:
Hỏi hàm số \(y = f\left( x^{2} - 2x
\right)\) có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Hướng dẫn giải
Đặt \(g(x) = f\left( x^{2} - 2x \right)
\Rightarrow g'(x) = (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x
\right)\)
Từ bảng xét dấu của hàm số \(f'(x)\) có
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) =
f\left( x^{2} - 2x \right) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
2x - 2 = 0 \\
f'\left( x^{2} - 2x \right) = 0 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x^{2} - 2x = - 2\ \\
x^{2} - 2x = 1\ \\
x^{2} - 2x = 3\ \ \\
2x - 2 = 0\ \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = - 1 \\
x = 1 \pm \sqrt{2} \\
x = 3 \\
x = 1 \\
\end{matrix} \right.\)
\(g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow (2x -
2)f'\left( x^{2} - 2x \right) \geq 0\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
2x - 2 \geq 0 \\
f'\left( x^{2} - 2x \right) \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
2x - 2 \leq 0 \\
f'\left( x^{2} - 2x \right) \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x \geq 1 \\
- 2 \leq x^{2} - 2x \leq 3 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
x \leq 1 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
x^{2} - 2x \geq 3 \\
x^{2} - 2x \leq - 2 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x \geq 1 \\
x^{2} - 2x + 2 \geq 0 \\
x^{2} - 2x - 3 \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
x \leq 1 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
x^{2} - 2x - 3 \geq 0 \\
x^{2} - 2x + 2 \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x \geq 1 \\
- 1 \leq x \leq 3 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
x \leq 1 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
x \geq 3 \\
x \leq - 1 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
1 \leq x \leq 3 \\
x \leq - 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số \(y =
f\left( x^{2} - 2x \right)\) có 1 điểm cực tiểu.
Ví dụ. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như sau:
Đặt \(g(x) = f(x) - x\). Hỏi hàm số \(g(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Hướng dẫn giải
Hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) nên \(g(x) = f(x) - x\) cũng có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)
Ta có: \(g'(x) = f'(x) -
1\)
\(\Rightarrow g'(x) = 0
\Leftrightarrow f'(x) = 1\)
Dựa vào đồ thị \(f'(x)\) ta có: \(f'(x) = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = x_{1} \in ( - 1;0) \\
x = x_{2} \in (1;3) \\
x = x_{3} \in (2;3) \\
\end{matrix} \right.\) suy ra \(x_{1};x_{2};x_{3}\) là ba nghiệm phân biệt và \(x_{1} < x_{2} < x_{3}\)
Bảng biến thiên của hàm \(g(x)\)
Vậy hàm số \(g(x) = f(x) - x\) có 3 điểm cực trị.
Ví dụ. Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên của đạo hàm như sau:
Hàm số \(g(x) = f\left( \left|
\frac{\ln\left( x^{2} + 1 \right) - 2}{2} \right| \right)\)có bao nhiêu điểm cực trị?
Hướng dẫn giải
Xét hàm số \(t(x) = \frac{\ln\left( x^{2} +
1 \right) - 2}{2}\), ta có bảng giá trị |t(x)|
Ta có: \(g(x) = f\left( \left|
\frac{\ln\left( x^{2} + 1 \right) - 2}{2} \right| \right) = f\left(
\left| t(x) \right| \right)\)
Hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = \pm
\sqrt{e^{2} - 1}\)
Tại mọi điểm \(x = \pm \sqrt{e^{2} -
1}\) ta có:
\(g'(x) = f'\left( \left| t(x)
\right| \right).\left( \left| t(x) \right| \right)'\)
\(= \left\{ \begin{matrix}
\dfrac{f'\left( \left| t(x) \right| \right).x}{x^{2} + 1}\ \ \ \ khi\
x \in \left( - \infty; - \sqrt{e^{2} - 1} \right) \cup \left(
\sqrt{e^{2} - 1}; + \infty \right) \\
- \dfrac{f'\left( \left| t(x) \right| \right).x}{x^{2} + 1}\ \ \ \
khi\ x \in \left( - \sqrt{e^{2} - 1};\sqrt{e^{2} - 1} \right) \\
\end{matrix} \right.\ (*)\)
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
\left| t(x) \right| = t_{1};\left( t_{1} < 1 \right)\ \ \ (1) \\
\left| t(x) \right| = t_{2};\left( - 1 < t_{2} < 0 \right)\ \ \
(2) \\
\left| t(x) \right| = t_{3};\left( 0 < t_{3} < 1 \right)\ \ \ (3)
\\
\left| t(x) \right| = t_{4};\left( t_{4} > 1 \right)\ \ \ (4) \\
\end{matrix} \right.\)
Dựa vào bảng giá trị hàm |t| suy ra:
+ Phương trình (1), (2) vô nghiệm
+ Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác 0
+ Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (3)
=> g’(x) = 0 có 7 nghiệm và qua các nghiệm này g’(x) đều đổi dấu
Từ (*) ta thấy g’(x) cũng đổi dấu khi x đi qua 2 điểm \(x = \pm \sqrt{e^{2} - 1}\)
Vậy hàm số g(x) có 9 điểm cực trị.
📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.
---------------------------------
Dạng toán tìm cực trị của hàm số khi biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số không chỉ là kiến thức nền tảng của chuyên đề khảo sát hàm số mà còn là một trong những nội dung xuất hiện với tần suất cao trong các đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán. Việc thành thạo kỹ năng đọc bảng biến thiên, phân tích đồ thị và nhận biết nhanh các điểm cực đại, cực tiểu sẽ giúp học sinh tiết kiệm thời gian làm bài, đồng thời nâng cao độ chính xác khi xử lý các câu hỏi trắc nghiệm.
Hy vọng rằng hệ thống lý thuyết, phương pháp giải và bài tập cực trị của hàm số có đáp án trong bài viết sẽ giúp các em ôn tập hiệu quả, củng cố kiến thức về bảng biến thiên và đồ thị hàm số. Hãy thường xuyên luyện tập các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao để nâng cao tư duy phân tích, rèn luyện kỹ năng làm bài thi và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia cũng như các kỳ kiểm tra quan trọng của môn Toán 12.
Bài tập Toán 12: Tìm cực trị của hàm số khi biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số
