Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Thi Tốt Nghiệp THPT

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Xét tính đơn điệu của hàm số Toán 12 có đáp án
Tải về
Lớp: THPT Quốc gia
Môn: Toán
Loại File: Word + PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

- Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b):

+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f'\left( x \right)\ge 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a; b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f'\left( x \right)\le 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a; b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

1. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên từng khoảng xác định

Chương trình phổ thông ta thường gặp dạng bài này đối với hàm số đa thức bậc 1 trên bậc 1, ta sẽ áp dụng chú ý sau:

- Hàm số f\left( x \right)=\frac{ax+b}{cx+d},\left( ad-bc\ne 0,c\ne 0 \right) đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi ad - bc > 0.

- Hàm số f\left( x \right)=\frac{ax+b}{cx+d},\left( ad-bc\ne 0,c\ne 0 \right) nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi ad - bc < 0.
2. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước.

Cách 1:

- Hàm số g\left( x \right)=\frac{ax+b}{cx+d},\left( ad-bc\ne 0,c\ne 0 \right) đồng biến trên khoảng (p; q) khi và chỉ khi

\left\{ \begin{matrix} - cx+d\ne 0,\forall x\in \left( p,q \right) \\ - ad-bc>0 \\ \end{matrix} \right.

- Hàm số g\left( x \right)=\frac{ax+b}{cx+d},\left( ad-bc\ne 0,c\ne 0 \right) nghịch biến trên khoảng (p; q) khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} - cx+d\ne 0,\forall x\in \left( p,q \right) \\ - ad-bc<0 \\ \end{matrix} \right.

Cách 2: Cô lập tham số m

Bước 1: Tìm y’

Bước 2: Cô lập m ta sẽ thu được phương trình ví dụ m\ge f\left( x \right)

Bước 3: Xét dấu với hàm f\left( x \right) theo bảng quy tắc sau:

m\ge f\left( x \right),\forall x\in \left( p,q \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( p,q \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)

m>f\left( x \right),\forall x\in \left( p,q \right)\Leftrightarrow m>\underset{\left( p,q \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)

m\le f\left( x \right),\forall x\in \left( p,q \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( p,q \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)

m < f\left( x \right),\forall x\in \left( p,q \right)\Leftrightarrow m < \underset{\left( p,q \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)

II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước.

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + 3mx - 1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞)?

A. m ≥ 1. B. m ≤ -1.
C. m ≥ -1. D. m ≤ 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = -3x2 + 6x + 3m

Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) ⇔ y ≤ 0 với mọi x ∈ (0; +∞)

⇔ -3x2 + 6x + 3m ≤ 0; ∀x ∈ (0; +∞)

⇔ m ≤ x2 - 2x, với x ∈ (0; +∞)

Xét f(x) = x2 - 2x với x ∈ (0; +∞)

f'(x) = 2x - 2; f'(x) = 0 ⇔ x = 1

Học sinh tự vẽ bảng biến thiên và áp dụng quy tắc ta nhận được kết quả m ≤ -1.

Đáp án B

Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-1 đồng biến trên khoảng (0; 3).

A. m ≤ -3. B. m\ge \frac{1}{5}
C.m\ge \frac{11}{3} D. m\ge \frac{12}{7}

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = -x2 + 2(m - 1)x + 3 + m

Hàm số đồng biến trên (0; 3) => y' ≥ 0; ∀x ∈ (0; 3)

\Rightarrow -{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+3+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1}

Xét hàm số: f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1} với ∀x ∈ (0; 3)

\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1},\forall x\in \left( 0,3 \right)

Lập bảng biến thiên kết luận m\ge \frac{12}{7}.

Đáp án D

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m} đồng biến trên \left( 0,\frac{\pi }{4} \right)

A. m ≥ 2 B. m ≤ 0
C. 1 ≤ m < 2 D. \left[ \begin{matrix} m\le 0 \\ 1\le m<2 \\ \end{matrix} \right.

Hướng dẫn giải

Ta có:

y'=\frac{-m+2}{{{\left( \tan x-m \right)}^{2}}}\left( \tan x \right)'=\frac{-m+2}{{{\left( \tan x-m \right)}^{2}}}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}

Để hàm số đồng biến trên \left( 0,\frac{\pi }{4} \right) thì:

y'>0,\forall x\in \left( 0,\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-m+2>0 \\m\ne \tan x,x\in \left( 0,\dfrac{\pi }{4} \right) \\\end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m<2 \\m\notin \left( 0,1 \right) \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}m\le 0 \\1\le m<2 \\\end{matrix} \right.

Đáp án D

Ví dụ 4. Hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{m}{2}x^{2} + x + 6 đồng biến trên nửa khoảng [1; +∞) khi nào?

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = x2 + mx + 1

Để hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng [1; +∞) khi đó:

⇔ y' ≥ 0; ∀x ∈ [1; +∞)

⇔ x2 + mx + 1 ≥ 0; ∀x ∈ [1; +∞)

\Leftrightarrow m \geq - x -\frac{1}{x}; ∀x ∈ [1; +∞)

Xét hàm số g(x) = - x - \frac{1}{x} trên nửa khoảng [1; +∞) ta có:

g'(x) = - 1 + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{x^{2}}

g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} \right.

Bảng biến thiên của hàm số g(x) = - x - \frac{1}{x} trên nửa khoảng [1; +∞) là:

Từ bảng biến thiên suy ra \max_{\lbrack 1; + \infty)}g(x) = g(1) = - 2

Vậy m ≥ g(x); ∀x ∈ [1; +∞) khi và chỉ khi m ≥ -2.

Ví dụ 5 . Xác định điều kiện của tham số m để hàm số y = f(x) = -x3 + 3x2 + (2m - 1)x - 1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞)?

Hướng dẫn giải

Tập xác định D\mathbb{= R}

Ta có: y' = -3x2 + 6x + 2m - 1

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; +∞)

y' ≤ 0; ∀x∈(0; +∞) khi và chỉ khi

⇔ 2m ≤ 3x2 - 6x + 1; ∀x∈(0; +∞)

Xét hàm số g(x) = 3x2 - 6x + 1 trên (0; +∞) ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

\min_{(0; + \infty)}g(x) = - 2

Do đó \Leftrightarrow 2m \leq \min_{(0; + \infty)}g(x) \Leftrightarrow 2m \leq - 2 \Leftrightarrow m \leq - 1

Vậy m ≤ -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 6. Cho hàm số y = \frac{m^{2}x + 5}{2mx + 1} với m là tham số. Gọi S là tập hợp các số nguyên m ∈ [-2020; 2020] để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; +∞). Xác định số phần tử của tập hợp S?

Hướng dẫn giải

Xét m = 0 => y = 5 là hàm hằng nên hàm số không nghịch biến. Vậy m = 0 không thỏa mãn.

Xét m ≠ 0

Tập xác định D = \left( - \infty; - \frac{1}{2m} \right) \cup \left( - \frac{1}{2m}; + \infty \right)

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞) khi và chỉ khi

\left\{ \begin{matrix} y' = \frac{m^{2} - 10m}{(2mx + 1)^{2}} < 0 \\ - \frac{1}{2m} \leq 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 10m < 0 \\ \frac{6m + 1}{2m} \geq 0 \\ \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 0 < m < 10 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \frac{1}{6} \\ m > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 0 < m < 10

Mà \left\{ \begin{matrix} m\mathbb{\in Z} \\ m \in \lbrack - 2020;2020\rbrack \\ \end{matrix} \right. nên m \in \left\{ 1;2;3;...;9 \right\}

Vậy tập hợp S có tất cả 9 giá trị.

Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = 1/3(m + 2)x3 - (m + 2)x2 + (m - 8)x + m2 - 1 luôn nghịch biến trên \mathbb{R}?

Hướng dẫn giải

Với m = -2 ta có y = -10x + 3 (hàm số này luôn nghịch biến trên tập số thực)

Với m ≠ - 2 ta có y' = (m + 2)x2 - 2(m + 2)x + m - 8

Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R \Leftrightarrow}y' \leq 0\left( \forall x\mathbb{\in R} \right)

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{y'} = m + 2 < 0 \\ \Delta'_{y'} = \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq - 2

Kết hợp với m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 \right\}

Vậy số phần tử của tập hợp S là 5.

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: y=\frac{m-\sin x}{{{\cos }^{2}}x} nghịch biến trên khoảng \left( 0,\frac{\pi }{6} \right)

A. m\ge \frac{5}{4}. B. m\le \frac{5}{4}.
C. m\ge \frac{5}{2}. D. m\le \frac{5}{2}.

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=\frac{\left( m+1 \right)x+2m+2}{x+m} nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)?

A. -1 < m <2. B. m ≥ 1.
C. 1 ≤ m < 2. D. \left[ \begin{matrix} m>2 \\ m<1 \\ \end{matrix} \right..

Câu 3: Với giá trị nào của m thì hàm số y=\frac{mx+4}{x+m} nghịch biến trên (-∞; 1)?

A. -2 ≤ m ≤ 1. B. -2 ≤ m ≤ -1.
C. m ∈ ∅. D. -2 < m < 2.

Câu 4: Tìm m để hàm số y=\frac{2{{x}^{2}}-3x+m}{x-1} đồng biến trên (2; +∞)?

A. m ≥ -1. B. m ≥ 2.
C. m ≤ 3. D. m ≤ 7.

Câu 5: Tìm m để hàm số y = sinx + mx đồng biến trên \mathbb{R}?

A. m ≥ -1. B. m ≥ 2.
C. m ≥ 1. D. m ≤ 7.

Câu 6: Tìm m để hàm số y=\frac{\sin x-1}{\sin x+m} nghịch biến trên \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)?

A. m ≥ 0. B. m ≤ 0.
C. m ≥ -1. D. m ≤ 1.

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=\frac{{{e}^{x}}-m-2}{{{e}^{x}}-{{m}^{2}}} nghịch biến trên khoảng \left( \ln \frac{1}{4},0 \right)?

A. 1 < m < 2. B. -1 ≤ m ≤ 2.
C. -\frac{1}{2}\le m\le \frac{1}{2} D. \left[ \begin{matrix} -\dfrac{1}{2}\le m\le \dfrac{1}{2} \\ 1\le m<2 \\ \end{matrix} \right.

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

Chọn file muốn tải về:

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

420,6 KB

  • Tải xuống Word

    202,4 KB
75
488.380 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này

Thông tin thanh toán nhanh

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

25.000đ

Hỗ trợ Zalo