Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tổng hợp bài toán thực tế về tối ưu chi phí Toán 12

Bài tập từ cơ bản đến nâng cao kèm đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài toán thực tế tối ưu chi phí từ cơ bản đến nâng cao

A. Bài tập minh họa tính tối ưu chi phí
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn giải chi tiết

Bài viết Tổng hợp bài toán thực tế về tối ưu chi phí Toán 12 mang đến hệ thống bài tập được chọn lọc kỹ lưỡng, sắp xếp từ mức độ cơ bản đến nâng cao, giúp người học từng bước nắm vững phương pháp giải và chủ động chinh phục các dạng toán thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

A. Bài tập minh họa tính tối ưu chi phí

Ví dụ 1. Anh Hùng muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được 3200cm³, tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng . Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.

A. 170cm². B. 160cm². C. 150cm². D. 140cm².

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi a; b; h lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hố ga.

Ta có hình vẽ:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}abh = 3200 \\\dfrac{h}{b} = 2\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2ab^{2} = 3200 \\h = 2b\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{1600}{b^{2}} \\h = 2b\end{matrix} \right.$

Để xây hố tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì $S_{xq} + S_{đ}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$S_{xq} + S_{đ} = 2bh + 2ah + ab$ $= 4b^{2} + \frac{6400}{b} + \frac{1600}{b} = 4b^{2} + \frac{8000}{b} = f(b)$

Xét $f(b) = 4b^{2} + \frac{8000}{b}$ trên $(0; + \infty)$

$f^{'(b)} = 8b - \frac{8000}{b^{2}} \Rightarrow f^{'(b)} = 0$ $\Leftrightarrow 8b^{3} - 8000 = 0 \Leftrightarrow b = 10$

Bảng biến thiên:

Với b = 10 => a = 16

Vậy diện tích đáy hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên liệu nhất là: $S_{đ} = 16.10 = 160\left( cm^{2} \right)$ .

Ví dụ 2. Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi dây điện dưới nước chi phí là 5000USD, chi phí cho mỗi dây điện trên bờ là 3000USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí ít nhất.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Gọi BG = x; (0 < x < 100) => AG = 100 - x

Ta có $GC = \sqrt{BC^{2} + GC^{2}} = \sqrt{x^{2} + 3600}$

Chi phí mắc dây điện: $f(x) = 3000.(100 - x) + 5000\sqrt{x^{2} + 3600}$

Khảo sát hàm ta được: x = 45.

Ví dụ 3. Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 40km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên).

Biết kinh phí đi đường thủy là 5USD/km, đi đường bộ là 3USD/km . Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (AB = 40km, BC = 10km)

A. 10km. B. $\frac{65}{2}\ km$ . C. 40km. D. $\frac{15}{2}\ km$ .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt AD = x km, x ∈ [0; 40] =>BD = 40 - x

$\Rightarrow CD = \sqrt{(40 - x)^{2} + 10^{2}}$ .

Tổng kinh phí đi từ A đến C là $f(x) = x.3 + \sqrt{(40 - x)^{2} + 10^{2}}.5$ .

$f(x) = 3x + 5\sqrt{x^{2} - 80x + 1700}$ .

$f^{'(x)} = 3 + 5\frac{2x - 80}{2\sqrt{x^{2} - 80x + 1700}}$

$\Leftrightarrow f'(x) = \frac{3\sqrt{x^{2} - 80x + 1700} + 5x - 200}{\sqrt{x^{2} - 80x + 1700}}$ .

$f^{'(x)} = 0$ $\Leftrightarrow 3\sqrt{x^{2} - 80x + 1700} = 200 - 5x \Leftrightarrow x = \frac{65}{2}$ .

Bảng biến thiên:

C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 1. Một công ty dự kiến chi 1 tỷ đồng để sản xuất các thùng sơn hình trụ có dung tích lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh thùng đó là 100 000 đồng/m², chi phí để làm mỗi mặt đáy của thùng đó là 120 000 đồng/m². Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được (Giả sử chi phí các mối nối không đáng kể).

A. 18 209 thùng. B. 57 582 thùng. C. 12 525 thùng. D. 58 135 thùng.

Bài tập 2. Nhà xe khoán cho hai tài xế ta-xi An và Bình mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng. Hỏi tổng số ngày ít nhất là bao nhiêu để hai tài xế chạy tiêu thụ hết số xăng của mình được khoán, biết rằng chỉ tiêu cho hai người một ngày tổng cộng chỉ chạy đủ hết 10 lít xăng?

A. 20 ngày. B. 15 ngày. C. 10 ngày. D. 25 ngày.

Bài tập 3. Ông An có một khu đất hình elip với độ dài trục lớn 10 m và độ dài trục bé 8m. Ông An muốn chia khu đất thành hai phần, phần thứ nhất là một hình chữ nhật nội tiếp elip dùng để xây bể cá cảnh và phần còn lại dùng để trồng hoa. Biết chi phí xây bể cá là 1 000 000 đồng trên 1m² và chi phí trồng hoa là 1 200 000 đồng trên 1m². Hỏi ông An có thể thiết kế xây dựng như trên với tổng chi phí thấp nhất gần nhất với số nào sau đây?

A. 67 398 224 đồng. B. 67 593 346 đồng.

C. 63 389 223 đồng. D. 67 398 228 đồng.

Bài tập 4. Một người nông dân có 15.000.000 đồng muốn làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau.

Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được?

A. 3125m². B. 50m². C. 1250m². D. 5250m².

Bài tập 5. Một bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật có dung tíchlà 3200cm³, tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng 2. Hãy xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

A. 1200cm². B. 120cm². C. 160cm². D. 1600cm².

Đáp án bài tập vận dụng

Bài tập 1.

Chọn D

Ta có 5 lít = 5 dm³ $= \frac{1}{{200}}$ $= \frac{1}{{200}}$ m³.

Gọi r(m) là bán kính đường tròn đáy của thùng sơn hình trụ.

Thể tích thùng sơn là: $V = \pi {r^2}h = \frac{1}{{200}} \Rightarrow h = \frac{1}{{200\pi {r^2}}}$ $V = \pi {r^2}h = \frac{1}{{200}} \Rightarrow h = \frac{1}{{200\pi {r^2}}}$.

${S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi r.\frac{1}{{200\pi {r^2}}} = \frac{1}{{100r}}$ ${S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi r.\frac{1}{{200\pi {r^2}}} = \frac{1}{{100r}}$, S_đ $= \pi {r^2}$ $= \pi {r^2}$.

Chi phí để sản xuất 1 thùng sơn là:

$T\left( r \right) = \frac{1}{{100r}} \times 100.000 + 2\pi {r^2} \times 120.000 = \frac{{1.000}}{r} + 240.000\pi {r^2} = 1.000\left( {240\pi {r^2} + \frac{1}{r}} \right)$ $T\left( r \right) = \frac{1}{{100r}} \times 100.000 + 2\pi {r^2} \times 120.000 = \frac{{1.000}}{r} + 240.000\pi {r^2} = 1.000\left( {240\pi {r^2} + \frac{1}{r}} \right)$

$\begin{gathered} T$ $\begin{gathered} T'\left( r \right) = 1.000\left( {480\pi r - \frac{1}{{{r^2}}}} \right) = 1.000\left( {\frac{{480\pi {r^3} - 1}}{{{r^2}}}} \right) \hfill \\ T'\left( r \right) = 0 \Rightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{1}{{480\pi }}}} \hfill \\ \end{gathered}$

Bảng biến thiên

Số thùng sơn tối đa là: $\frac{{{{10}^9}}}{{1500.\sqrt[3]{{480\pi }}}} \simeq 58.135$ $\frac{{{{10}^9}}}{{1500.\sqrt[3]{{480\pi }}}} \simeq 58.135$ thùng.

Bài tập 2.

Chọn A

Gọi x là số lít xăng mà An đã dùng trong một ngày.

Với 0 < x < 10.

=> 10 - c là số lít xăng mà Bình đã dùng trong một ngày.

Khi đó

+Để An tiêu thụ hết 32 lít xăng cần $\frac{{32}}{x}$ $\frac{{32}}{x}$ ngày.

+Để Bình tiêu thụ hết 72 lít xăng cần $\frac{{72}}{{10 - x}}$ $\frac{{72}}{{10 - x}}$ ngày.

Vậy tổng số ngày chạy xe của hai tài xế là

$y = \frac{{32}}{x} + \frac{{72}}{{10 - x}}$ $y = \frac{{32}}{x} + \frac{{72}}{{10 - x}}$ $\Rightarrow y$ $\Rightarrow y' = - \frac{{32}}{{{x^2}}} + \frac{{72}}{{{{\left( {10 - x} \right)}^2}}}$ $\Rightarrow y$ $\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 4$

Bảng biến thiên

Nhìn bảng biến thiên ta thấy tổng số ngày chạy xe ít nhất của hai tài xế là 20 ngày.

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu

-----------------------------------------------------------------

FAQ

1. Bài toán tối ưu chi phí trong Toán 12 là gì?

Bài toán tối ưu chi phí là dạng toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số biểu diễn chi phí, từ đó xác định phương án tiết kiệm hoặc hiệu quả nhất trong điều kiện cho trước.

2. Vì sao bài toán tối ưu chi phí thường xuất hiện trong đề thi THPT?

Đây là dạng toán ứng dụng thực tế giúp đánh giá khả năng:

Mô hình hóa bài toán.
Vận dụng đạo hàm.
Phân tích dữ kiện thực tiễn.
Giải quyết vấn đề theo hướng tối ưu.

3. Kiến thức nào cần nắm để giải bài toán tối ưu chi phí?

Học sinh cần thành thạo:

Khảo sát hàm số.
Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Hàm số một biến.
Các công thức hình học thường gặp.

4. Các dạng bài toán tối ưu chi phí thường gặp là gì?

Một số dạng phổ biến gồm:

Tối ưu chi phí sản xuất.
Tối ưu nguyên vật liệu.
Tối ưu diện tích và thể tích.
Tối ưu chi phí vận chuyển.
Tối ưu thiết kế bao bì, bể chứa, thùng chứa.

5. Các bước giải bài toán tối ưu chi phí bằng đạo hàm là gì?

Quy trình cơ bản:

Xác định đại lượng cần tối ưu.
Thiết lập hàm chi phí.
Tìm miền xác định.
Tính đạo hàm.
Tìm điểm cực trị.
Đối chiếu điều kiện thực tế và kết luận.

-----------------------------------

Việc luyện tập thường xuyên các bài toán thực tế về tối ưu chi phí không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức đạo hàm mà còn rèn luyện tư duy phân tích, mô hình hóa và giải quyết vấn đề hiệu quả. Với hệ thống bài tập từ dễ đến khó kèm lời giải chi tiết, người học có thể tự đánh giá năng lực và hoàn thiện kỹ năng làm bài một cách toàn diện.

Hy vọng tài liệu này sẽ trở thành nguồn tham khảo hữu ích trong quá trình ôn tập, góp phần giúp bạn tự tin đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng của Toán 12.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: