Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bài toán cực trị thể tích hình chóp: Điều kiện về cạnh và các dạng thường gặp

Chuyên đề Toán 12 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập cực trị thể tích hình chóp có đáp án chi tiết

Trong chương trình Hình học không gian Toán 12, các bài toán cực trị thể tích hình chóp luôn là dạng toán vận dụng và vận dụng cao xuất hiện thường xuyên trong đề thi tốt nghiệp THPT. Đặc biệt, những bài toán yêu cầu tìm điều kiện về cạnh để thể tích đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất đòi hỏi học sinh phải kết hợp linh hoạt kiến thức hình học, bất đẳng thức và tư duy tối ưu hóa. Chuyên đề Bài toán cực trị thể tích hình chóp: Điều kiện về cạnh và các dạng thường gặp sẽ giúp bạn hệ thống phương pháp giải, nhận diện dạng toán nhanh và chinh phục các câu hỏi khó một cách hiệu quả.

A. Phương pháp giải

Bước 1: Chọn biến thích hợp x ( y , z , t , …) là góc, cạnh nào đó trong bài toán.

Bước 2: Lập hàm số thể tích cần tìm dựa vào biến số đã gọi.

Bước 3: Khảo sát hàm số hoặc dùng bất đẳng thức để tìm Max-Min cho hàm số tương ứng.

B. Một số bất đẳng thức thường dùng

1. Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)

▪ $\forall a,b \ge 0,$ $\forall a,b \ge 0,$ thì ${a + b \ge 2.\sqrt {ab} }$ ${a + b \ge 2.\sqrt {ab} }$. Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$

▪ $\forall a,b,c \ge 0$ $\forall a,b,c \ge 0$ thì ${a + b + c \ge 3.\sqrt[3]{{abc}}}$ ${a + b + c \ge 3.\sqrt[3]{{abc}}}$. Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c.$

▪ $\forall {a_1},\,\,{a_2},...,{a_n} \ge 0$ $\forall {a_1},\,\,{a_2},...,{a_n} \ge 0$ thì ${{a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \ge n.\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}}$ ${{a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \ge n.\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}}$ . Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi ${a_1} = {a_2} = ... = {a_n}.$ ${a_1} = {a_2} = ... = {a_n}.$

Nhận xét:

Nếu hai số dương thay đổi mà tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau .
Nếu hai số dương thay đổi mà tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau .

2. Bất đẳng thức BunhiaCopxki

Với hai cặp số thực $(a;b)$ và $(x;y)$ , ta có: ${{{(ax + by)}^2} \le ({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})}$ ${{{(ax + by)}^2} \le ({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})}$ hay ${\left| {ax + by} \right| \le \sqrt {({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})} }$ ${\left| {ax + by} \right| \le \sqrt {({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})} }$ Dấu “ =” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}.$ $\Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}.$

Với hai bộ số thực $(a;b;c),\,\,\,(x;y;z)$ $(a;b;c),\,\,\,(x;y;z)$ , ta có: ${{{(ax + by + cz)}^2} \le ({a^2} + {b^2} + {c^2})({x^2} + {y^2} + {z^2})}$ ${{{(ax + by + cz)}^2} \le ({a^2} + {b^2} + {c^2})({x^2} + {y^2} + {z^2})}$ hay ${\left| {ax + by + cz} \right| \le \sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({x^2} + {y^2} + {z^2})} }$ ${\left| {ax + by + cz} \right| \le \sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({x^2} + {y^2} + {z^2})} }$ . Dấu “ =” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ $\Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ với $x,\,\,y,\,\,z \ne 0.$ $x,\,\,y,\,\,z \ne 0.$

C. Bài tập ví dụ minh họa giải bài toán cực trị thể tích hình chóp

Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng 4a và các cạnh bên đều bằng $a\sqrt 6$ $a\sqrt 6$ . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.

A. $\frac{{8{a^3}}}{3}$ $\frac{{8{a^3}}}{3}$. B. $\frac{{2\sqrt 6 }}{3}{a^3}$ $\frac{{2\sqrt 6 }}{3}{a^3}$. C. $8{a^3}$ $8{a^3}$. D. $2\sqrt 6 {a^3}$ $2\sqrt 6 {a^3}$.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Vì $SA = SC$ nên tam giác SAC cân tại S , có O là trung điểm AC , do đó $SO \bot AC$ $SO \bot AC$ . Lý luận tương tự, ta có $SO \bot BD$ $SO \bot BD$ . Do đó $SO \bot (ABCD)$ $SO \bot (ABCD)$ .

Dễ thấy các tam giác $SAO,\,\,SBO,\,\,SCO,\,\,SDO$ $SAO,\,\,SBO,\,\,SCO,\,\,SDO$ là những tam giác vuông bằng nhau

$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \sqrt {6{a^2} - S{O^2}}$ $\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \sqrt {6{a^2} - S{O^2}}$. Suy ra tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

Giả sử $AB = 4a$ . Đặt $SO = x\,\,(0 < x < a\sqrt 6 )$ $SO = x\,\,(0 < x < a\sqrt 6 )$ , $AC = 2OC = 2\sqrt {6{a^2} - {x^2}}$ $AC = 2OC = 2\sqrt {6{a^2} - {x^2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {24{a^2} - 4{x^2} - 16{a^2}} = 2\sqrt {2{a^2} - {x^2}} \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = 8a\sqrt {2{a^2} - {x^2}} \end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {24{a^2} - 4{x^2} - 16{a^2}} = 2\sqrt {2{a^2} - {x^2}} \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = 8a\sqrt {2{a^2} - {x^2}} \end{array}$

Thể tích khối chóp: ${{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{{8a}}{3}x\sqrt {2{a^2} - {x^2}} }$ ${{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{{8a}}{3}x\sqrt {2{a^2} - {x^2}} }$

Áp dụng: $\left\{ \begin{array}{l} a,\,\,b \ge 0\\ ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} a,\,\,b \ge 0\\ ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \end{array} \right.$ , ta có: $x\sqrt {2{a^2} - {x^2}} \le \frac{{{x^2} + 2{a^2} - {x^2}}}{2} = {a^2}$ $x\sqrt {2{a^2} - {x^2}} \le \frac{{{x^2} + 2{a^2} - {x^2}}}{2} = {a^2}$ , do đó:

${V_{S.ABCD}} = \frac{{8a}}{3}x\sqrt {2{a^2} - {x^2}} \le \frac{{8a}}{3}.\frac{{{x^2} + 2{a^2} - {x^2}}}{2} = \frac{{8{a^3}}}{3}$ ${V_{S.ABCD}} = \frac{{8a}}{3}x\sqrt {2{a^2} - {x^2}} \le \frac{{8a}}{3}.\frac{{{x^2} + 2{a^2} - {x^2}}}{2} = \frac{{8{a^3}}}{3}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {x^2} = 2{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = a$ $\Leftrightarrow {x^2} = 2{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = a$ .

Vậy ${\left( {{V_{S.ABCD}}} \right)_{Max}} = \frac{{8{a^3}}}{3}$ ${\left( {{V_{S.ABCD}}} \right)_{Max}} = \frac{{8{a^3}}}{3}$ , khi đó $x = a$ . Chọn A.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có $AB = x$ thay đổi, tất cả các cạnh còn lại có độ dài $a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD trong trường hợp thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất.

A. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3} \cdot$ $\frac{{a\sqrt 6 }}{3} \cdot$ B. $\frac{{a\sqrt 6 }}{4} \cdot$ $\frac{{a\sqrt 6 }}{4} \cdot$ C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{4} \cdot$ $\frac{{a\sqrt 3 }}{4} \cdot$ D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot$ $\frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot$

Nhận xét: Sau khi lý luận để kẻ được đường cao AH trong tứ diện (xem hình). Ta thấy AH phụ thuộc $AB = x$ , còn diện tích đáy BCD thì không đổi (vì tam giác BCD đều cạnh bằng a ).

Thể tích: ${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{\Delta BCD}}$ ${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{\Delta BCD}}$ chỉ còn phụ thuộc AH , vì vậy ta chỉ cần tập trung vào tam giác ABF để xử lý.

Hướ n g dẫn giải:

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD . Dễ thấy các tam giác ACD , BCD đều cạnh a , do đó $AF = BF = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$ $AF = BF = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} CD \bot BF\\ CD \bot AF \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABF} \right) \Rightarrow CD \bot EF\,\,(1)$ $\left\{ \begin{array}{l} CD \bot BF\\ CD \bot AF \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABF} \right) \Rightarrow CD \bot EF\,\,(1)$. Tam giác ABF cân tại F có FE là trung tuyến nên $FE \bot AB\,\,(2)$ $FE \bot AB\,\,(2)$ . Từ (1) và (2) suy ra EF là đoạn vuông góc chung của AB , CD , tức là ${d\left( {AB,CD} \right) = EF}$ ${d\left( {AB,CD} \right) = EF}$

Trong mp( ABF ), dựng $AH \bot BF$ $AH \bot BF$ . Do $\left\{ \begin{array}{l} AH \bot BF\\ AH \bot CD \end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)$ $\left\{ \begin{array}{l} AH \bot BF\\ AH \bot CD \end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)$ .

Ta có ${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{\Delta BCD}}$ ${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{\Delta BCD}}$ mà ${S_{\Delta BCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ ${S_{\Delta BCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ không đổi nên ${V_{ABCD}}$ ${V_{ABCD}}$ lớn nhất khi và chỉ khi AH lớn nhất.

Do $AH \bot FH$ $AH \bot FH$ nên $AH \le A\,F$ $AH \le A\,F$ . Vậy ${V_{ABCD}}$ ${V_{ABCD}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow H \equiv F \Leftrightarrow AF \bot BF$ $\Leftrightarrow H \equiv F \Leftrightarrow AF \bot BF$ .

Khi đó khoảng cách giữa AB và CD là $EF = \frac{{AF.BF}}{{\sqrt {A{F^2} + B{F^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}$ $EF = \frac{{AF.BF}}{{\sqrt {A{F^2} + B{F^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}$ . Chọn B.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

------------------------------------------

FAQ

1. Bài toán cực trị thể tích hình chóp là gì?

2. Vì sao điều kiện về cạnh thường xuất hiện trong bài toán cực trị?

3. Những phương pháp nào thường được sử dụng để giải bài toán cực trị thể tích?

-------------------------

Nắm vững phương pháp giải các bài toán cực trị thể tích hình chóp giúp học sinh nâng cao tư duy hình học không gian và khả năng xử lý các câu hỏi phân loại trong đề thi THPT Quốc gia. Thông qua việc luyện tập các dạng toán điển hình cùng đáp án chi tiết, bạn sẽ xây dựng được kỹ năng giải nhanh, chính xác và tự tin hơn khi gặp các bài toán cực trị trong phòng thi.

Tải về

Chọn file muốn tải về: