Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp f(u(x))

Xét sự đơn điệu của hàm số nâng cao

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 12

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách xét tính đơn điệu của hàm hợp nhanh nhất

Trong các bài toán hàm số nâng cao Toán 12, dạng xét tính đơn điệu của hàm hợp f(u(x)) thường gây khó khăn do phải kết hợp nhiều kiến thức đạo hàm. Nắm vững phương pháp giải sẽ giúp học sinh tăng khả năng tư duy và giải bài hiệu quả hơn.

Tóm tắt nội dung:

Bài viết hướng dẫn cách xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp f(u(x)) bằng phương pháp đạo hàm hợp, bảng xét dấu và điều kiện xác định, giúp học sinh xử lý nhanh các bài toán hàm số nâng cao trong đề thi THPT Quốc gia.

A. Cách xét tính đơn điệu của hàm hợp

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đạo hàm dạng $\left( f(u) \right)' = u'.f'(u)$ và cho đạo hàm đó bằng 0 để tìm nghiệm.
Bước 2: Lập bảng xét dấu của đạo hàm của hàm hợp.
Bước 3: Kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số.

🖎 Nhận xét: Nếu đạo hàm của hàm hợp có dạng tích (thương) đơn giản thì ta có thể giải bất phương trình $y' > 0\ \ \ (hay\ \ y' < 0)$ để tìm các khoảng đồng biến (hay nghịch biến) của hàm số mà không cần phải lập bảng biến thiên như nội dung bước 2.

B. Ví dụ minh họa xét tính đơn điệu của hàm hợp

Ví dụ 1. Cho hàm số có bảng xét dấu:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. $\left( - \frac{5}{2}; - 1 \right) \cdot$ B. $\left( \frac{1}{2};2 \right) \cdot$ C. $\left( - \frac{3}{2};0 \right) \cdot$ D. $\left( 2;\frac{7}{2} \right) \cdot$

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có:

$y' = - 2f'(3 - 2x) = 0 \Rightarrow f'(3 - 2x) = 0$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 - 2x = - 1 \\ 3 - 2x = 1 \\ 3 - 2x = 3 \\ 3 - 2x = 5 \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 1 \\ x = 0 \\ x = - 1 \end{matrix} \right.$

Bảng biến thiên:

Nhận xét: Để xét dấu trên khoảng $(2\ ;\ + \infty)$ , ta chọn thế vào , ta có: y'(3) = - 2f'(3 - 2.3) = - 2f'( - 3)
> 0 (vì theo giả thiết f'( -
3) < 0 ).

Tiếp theo để hoàn tất bảng xét dấu đạo hàm, ta có nguyên tắc quan trọng là: đổi dấu khi đi qua nghiệm đơn của nó (là $2;\ \ 1;\ \ - 1$ ) và không đổi dấu khi đi qua nghiệm kép (là 0).

Ví dụ 2. Cho hàm số . Hàm số y = f'(x) có bảng xét dấu như sau:

Hàm số $y = f\left( x^{2} + 2x \right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Đặt $g(x) = f\left( x^{2} + 2x \right)$ $\Rightarrow g^{'(x)} = \left( x^{2} + 2x \right)'.f^{'\left( x^{2} + 2x \right)}$ $= (2x + 2).f'\left( x^{2} + 2x \right)$ ;

$g^{'(x)} = 0 \Rightarrow (2x + 2).f^{'\left( x^{2} + 2x \right)} = 0$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x + 2 = 0 \\ x^{2} + 2x = - 2 \\ x^{2} + 2x = 1 \\ x^{2} + 2x = 3 \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x \in \varnothing \\ x = - 1 \pm \sqrt{2} \\ x = 1 \vee x = - 3 \end{matrix} \right.$

Bảng biến thiên:

Nhận xét: Để xét dấu g'(x) trên khoảng $(1\ ;\ + \infty)$ , ta chọn thế vào g'(x) , ta có: $g'(2) = (2.2 + 2)f'\left( 2^{2} + 2.2 \right) = 6f'(8) < 0$ (vì theo giả thiết ).

Tiếp theo để hoàn tất bảng xét dấu đạo hàm, ta có nguyên tắc quan trọng là: g'(x) đổi dấu khi đi qua nghiệm đơn của nó (là $1;\ \ - 1;\ \ - 3$ ) và không đổi dấu khi đi qua nghiệm kép (là $- 1 \pm \sqrt{2}$ ).

Ví dụ 3. Cho hàm số xác định và có đạo hàm $f'(x) = x^{2} + 2x,\ \forall x\mathbb{\in R}.$ Khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x^{2} - 1) - 3x^{2}$ là

A. $(0;\sqrt{2}).$ B. $(1; + \infty).$ C. $( - \sqrt{2};0).$ D. $( - \infty; - \sqrt{2}).$

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: $y' = 2xf'(x^{2} - 1) - 6x = 2x\left\lbrack f'(x^{2} - 1) - 3 \right\rbrack$ ;

$y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left\lbrack \left( x^{2} - 1 \right)^{2} + 2\left( x^{2} - 1 \right) - 3 \right\rbrack = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 1 = 1 \\ x^{2} - 1 = - 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên:

Lưu ý: Khi xét dấu với $x \in \left( \sqrt{2}\ ;\ + \infty \right)$ , ta chọn thế vào , ta có: $y'(2) = 4\left\lbrack f'(3) - 3 \right\rbrack = 4\left( 3^{2} + 6 - 3 \right) > 0$ .

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có đáp án

Câu 1. Cho hàm số có bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. B. C. D.

Câu 2. Cho hàm số , có bảng xét dấu f'(x) như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $( - \infty\ ;\ - 3)$ . B. $(4\ ;5)$ . C. $(3\ ;\ 4)$ . D. .

Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R},$ dấu của đạo hàm được cho bởi bảng dưới đây:

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

A. B. $(2; + \infty).$ C. D. $( - \infty; - 1).$

📖 Toàn bộ nội dung, bài tập và lời giải đã được tổng hợp trong tài liệu tải về.

------------------------------

FAQ

1. Hàm hợp f(u(x)) là gì?
Hàm hợp f(u(x)) là hàm số được tạo thành khi đưa biểu thức u(x) vào hàm f. Khi xét tính đơn điệu, cần quan tâm đồng thời đến đặc điểm của hàm ngoài f và hàm trong u(x).

2. Muốn xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp cần bắt đầu từ đâu?
Trước hết, cần xác định miền xác định của hàm số. Sau đó phân tích cấu trúc hàm hợp, tính đạo hàm nếu hàm khả vi và xét dấu đạo hàm trên từng khoảng xác định.

3. Đạo hàm của hàm hợp f(u(x)) được tính như thế nào?
Nếu các hàm liên quan khả vi thì đạo hàm hàm hợp được xác định theo quy tắc dây chuyền: lấy đạo hàm của hàm ngoài tại u(x), sau đó nhân với u'(x).

4. Vì sao phải xét miền xác định trước khi kết luận tính đơn điệu?
Miền xác định quyết định những giá trị x mà hàm số tồn tại. Nếu bỏ qua điều kiện này, việc lập bảng xét dấu hoặc kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến có thể không chính xác.

---------------------------------

Qua chuyên đề Cách xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp f(u(x)), học sinh có thể hệ thống lại cách phân tích sự đơn điệu của hàm số thông qua hàm ngoài, hàm trong và mối quan hệ giữa chúng. Đây là dạng toán nâng cao thường đòi hỏi khả năng kết hợp bảng biến thiên, đạo hàm và điều kiện xác định của hàm số.

Khi làm bài, cần xác định chính xác cấu trúc hàm hợp, xét miền xác định, phân tích dấu của đạo hàm hoặc tính đơn điệu của từng thành phần trước khi kết luận. Với các bài tập thực tế Toán 12 có đáp án, việc trình bày từng bước và kiểm tra điều kiện sẽ giúp hạn chế sai sót, đồng thời củng cố kỹ năng vận dụng kiến thức vào những câu hỏi phân loại.

Nắm vững phương pháp xét đồng biến, nghịch biến của hàm hợp f(u(x)) không chỉ hỗ trợ học tốt chuyên đề hàm số Toán 12 mà còn tạo nền tảng để luyện các dạng bài nâng cao trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia. Học sinh nên kết hợp học lý thuyết, phân tích ví dụ và luyện bài tập có đáp án để nhận diện nhanh dạng toán và lựa chọn phương pháp giải phù hợp.

Tải về

Chọn file muốn tải về: