Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp f(u(x))

Xét sự đơn điệu của hàm số nâng cao

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách xét tính đơn điệu của hàm hợp nhanh nhất

Trong các bài toán hàm số nâng cao Toán 12, dạng xét tính đơn điệu của hàm hợp f(u(x)) thường gây khó khăn do phải kết hợp nhiều kiến thức đạo hàm. Nắm vững phương pháp giải sẽ giúp học sinh tăng khả năng tư duy và giải bài hiệu quả hơn.

Tóm tắt nội dung:

Bài viết hướng dẫn cách xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp f(u(x)) bằng phương pháp đạo hàm hợp, bảng xét dấu và điều kiện xác định, giúp học sinh xử lý nhanh các bài toán hàm số nâng cao trong đề thi THPT Quốc gia.

A. Cách xét tính đơn điệu của hàm hợp

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đạo hàm dạng $\left( f(u) \right)' = u'.f'(u)$ và cho đạo hàm đó bằng 0 để tìm nghiệm.
Bước 2: Lập bảng xét dấu của đạo hàm của hàm hợp.
Bước 3: Kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số.

🖎 Nhận xét: Nếu đạo hàm của hàm hợp có dạng tích (thương) đơn giản thì ta có thể giải bất phương trình $y' > 0\ \ \ (hay\ \ y' < 0)$ để tìm các khoảng đồng biến (hay nghịch biến) của hàm số mà không cần phải lập bảng biến thiên như nội dung bước 2.

B. Ví dụ minh họa xét tính đơn điệu của hàm hợp

Ví dụ 1. Cho hàm số có bảng xét dấu:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. $\left( - \frac{5}{2}; - 1 \right) \cdot$ B. $\left( \frac{1}{2};2 \right) \cdot$ C. $\left( - \frac{3}{2};0 \right) \cdot$ D. $\left( 2;\frac{7}{2} \right) \cdot$

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có:

$y' = - 2f'(3 - 2x) = 0 \Rightarrow f'(3 - 2x) = 0$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 - 2x = - 1 \\ 3 - 2x = 1 \\ 3 - 2x = 3 \\ 3 - 2x = 5 \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 1 \\ x = 0 \\ x = - 1 \end{matrix} \right.$

Bảng biến thiên:

Nhận xét: Để xét dấu trên khoảng $(2\ ;\ + \infty)$ , ta chọn thế vào , ta có: y'(3) = - 2f'(3 - 2.3) = - 2f'( - 3)
> 0 (vì theo giả thiết f'( -
3) < 0 ).

Tiếp theo để hoàn tất bảng xét dấu đạo hàm, ta có nguyên tắc quan trọng là: đổi dấu khi đi qua nghiệm đơn của nó (là $2;\ \ 1;\ \ - 1$ ) và không đổi dấu khi đi qua nghiệm kép (là 0).

Ví dụ 2. Cho hàm số . Hàm số y = f'(x) có bảng xét dấu như sau:

Hàm số $y = f\left( x^{2} + 2x \right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Đặt $g(x) = f\left( x^{2} + 2x \right)$ $\Rightarrow g^{'(x)} = \left( x^{2} + 2x \right)'.f^{'\left( x^{2} + 2x \right)}$ $= (2x + 2).f'\left( x^{2} + 2x \right)$ ;

$g^{'(x)} = 0 \Rightarrow (2x + 2).f^{'\left( x^{2} + 2x \right)} = 0$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x + 2 = 0 \\ x^{2} + 2x = - 2 \\ x^{2} + 2x = 1 \\ x^{2} + 2x = 3 \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x \in \varnothing \\ x = - 1 \pm \sqrt{2} \\ x = 1 \vee x = - 3 \end{matrix} \right.$

Bảng biến thiên:

Nhận xét: Để xét dấu g'(x) trên khoảng $(1\ ;\ + \infty)$ , ta chọn thế vào g'(x) , ta có: $g'(2) = (2.2 + 2)f'\left( 2^{2} + 2.2 \right) = 6f'(8) < 0$ (vì theo giả thiết ).

Tiếp theo để hoàn tất bảng xét dấu đạo hàm, ta có nguyên tắc quan trọng là: g'(x) đổi dấu khi đi qua nghiệm đơn của nó (là $1;\ \ - 1;\ \ - 3$ ) và không đổi dấu khi đi qua nghiệm kép (là $- 1 \pm \sqrt{2}$ ).

Ví dụ 3. Cho hàm số xác định và có đạo hàm $f'(x) = x^{2} + 2x,\ \forall x\mathbb{\in R}.$ Khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x^{2} - 1) - 3x^{2}$ là

A. $(0;\sqrt{2}).$ B. $(1; + \infty).$ C. $( - \sqrt{2};0).$ D. $( - \infty; - \sqrt{2}).$

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: $y' = 2xf'(x^{2} - 1) - 6x = 2x\left\lbrack f'(x^{2} - 1) - 3 \right\rbrack$ ;

$y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left\lbrack \left( x^{2} - 1 \right)^{2} + 2\left( x^{2} - 1 \right) - 3 \right\rbrack = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 1 = 1 \\ x^{2} - 1 = - 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên:

Lưu ý: Khi xét dấu với $x \in \left( \sqrt{2}\ ;\ + \infty \right)$ , ta chọn thế vào , ta có: $y'(2) = 4\left\lbrack f'(3) - 3 \right\rbrack = 4\left( 3^{2} + 6 - 3 \right) > 0$ .

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có đáp án

Câu 1. Cho hàm số có bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. B. C. D.

Câu 2. Cho hàm số , có bảng xét dấu f'(x) như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $( - \infty\ ;\ - 3)$ . B. $(4\ ;5)$ . C. $(3\ ;\ 4)$ . D. .

Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R},$ dấu của đạo hàm được cho bởi bảng dưới đây:

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

A. B. $(2; + \infty).$ C. D. $( - \infty; - 1).$

📖 Toàn bộ nội dung, bài tập và lời giải đã được tổng hợp trong tài liệu tải về.

------------------------------

FAQ

❓ 1. Hàm hợp f(u(x)) là gì?

Là hàm số được tạo bởi việc thay biến của hàm f bằng biểu thức u(x).

❓ 2. Làm sao xét tính đơn điệu của hàm hợp?

Tính đạo hàm hợp rồi xét dấu của đạo hàm trên khoảng xác định.

❓ 3. Khi nào hàm hợp đồng biến?

Khi đạo hàm của hàm hợp dương trên khoảng cần xét.

❓ 4. Có cần xét điều kiện xác định không?

Có, đây là bước quan trọng trước khi xét tính đơn điệu.

❓ 5. Dạng toán này có thường gặp trong đề THPT Quốc gia không?

Có, thường xuất hiện trong các câu vận dụng và vận dụng cao.

---------------------------------

Hiểu rõ cách xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp giúp học sinh làm chủ các bài toán vận dụng và vận dụng cao phần hàm số. Đây là chuyên đề quan trọng cần luyện tập thường xuyên trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia.

Tải về

Chọn file muốn tải về: