Casio giải nhanh bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số
Xác định số giao điểm hai đồ thị bằng máy tính cầm tay
Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, các bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số xuất hiện khá thường xuyên dưới nhiều hình thức khác nhau. Việc sử dụng máy tính Casio đúng cách giúp học sinh xác định nhanh số giao điểm, tìm nghiệm chính xác và tiết kiệm đáng kể thời gian làm bài trắc nghiệm.
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương pháp đồ thị tìm số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1)
Cho phương trình hoành độ giao điểm (1), số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và hàm số y = g(x)
Chú ý: Số nghiệm của phương trình f(x = 0) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành.
2. Bài toán tìm nghiệm của phương trình chứa tham số
Ta tiến hành cô lập m và đưa phương trình ban đầu về dạng f(x) = m (2) khi đó số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m.
Chú ý: Đường thẳng y = m có tính chất song song với trục hoành và đi qua điểm có tọa độ (0; m).
3. Lệnh SOLVE
Để tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ta dùng lệnh SHIFT SOLVE
B. Ví dụ minh họa giải bài toán tương giao đồ thị hàm số
Ví dụ 1. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình 
\({\log _2}x - {\log _2}\left( {x - 2} \right) = m\) có nghiệm?
A. \(1 \le m < + \infty\) B.\(1 < m < + \infty\)
C. \(0 \le m < + \infty\) D. \(0 < m < + \infty\)
Hướng dẫn giải
Cách 1: CASIO
Đặt \({\log _2}x - {\log _2}\left( {x - 2} \right) = f\left( x \right)\) khi đó \(m = f\left( x \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Để phương trình (1) có nghiệm thì m thuộc miền giá trị của f(x) hay f(min) ≤ m ≤ f(max)
Tới đây bài toán tìm tham số m được quy về bài toán tìm min, max của một hàm số
Ta sử dụng chức năng MODE với miền giá trị của x là Starr 2 End 10 Step 0.5
Quan sát bảng giá trị F(X) ta thấy F(10) ≈ 0.3219 vậy đáp án A và B sai. Đồng thời khi \(1 + \frac{2}{{x - 2}} > 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 + \frac{2}{{x - 2}}} \right) > {\log _2}1 = 0\)x càng tăng thì F(X) càng giảm. Câu hỏi đặt ra là F(x) có giảm được về 0 hay không?
Ta tư duy nếu F(X) giảm được về 0 nghĩa là phương trình f(x) = 0 có nghiệm. Để kiểm tra dự đoán này ta sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE
Máy tính báo phương trình không có nghiệm. Vậy dấu “=” không xảy ra
Tòm lại f(x) > 0 => m > 0 và D là đáp án chính xác.
CÁCH 2. TỰ LUẬN
Điều kiện x > 2
Phương trình \(\Leftrightarrow m = {\log _2}\left( {\frac{x}{{x - 2}}} \right) \Leftrightarrow m = {\log _2}\left( {1 + \frac{2}{{x - 2}}} \right)\)
Vì x > 2 nên x – 2 > 0 =>
Vậy \(m = {\log _2}\left( {1 + \frac{2}{{x - 2}}} \right) > 0\)
Nhận xét: Một bài toán mẫu mực tìm tham số m ta giải bằng cách kết hợp chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE một cách khéo léo
Chú ý: m = f(x) mà f(x) > 0 vậy m > 0 một tính chất bắc cầu hay và thường xuyên gặp.
Ví dụ 2. Tìm tập hợp tất cả các giá trị tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt?
A. -4 < m < 0 B. -4 ≤ m ≤ 0
C. 0 ≤ m ≤ 4 D. 0 < m <1
Hướng dẫn giải
Cách 1: CASIO
Cô lập m, đưa phương trình ban đầu về dạng m= -x³+3x².
Đặt x³-3x² = f(x) khi đó m=f(x) (1), số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị y = f(x) và y=m
Để khảo sát hàm số y =f(x) ta sử dụng chức năng MODE 7 Start -2 End 5 Step 0.5
Quan sát bảng giá trị F(X) ta thấy giá trị cực tiêu là 0 và giá trị cực đại là 4
Vậy ta có đồ thị của f(x) như sau:
Rõ ràng hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nếu 0 < m < 4.
Ví dụ 3. Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C). Đường thẳng (d): y=x+1 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt M, N thì tung độ điểm I của đoạn thẳng MN bằng:
A. -3 B. -2 C. 1 D. 2
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{2x + 2}}{{x - 1}} = x + 1\)
Nhập phương trình này vào máy tính Casio và dò nghiệm:
Ta có ngay hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 3 \Rightarrow {y_1} = {x_1} + 1 = 4\\
{x_2} = - 1 \Rightarrow {y_2} = {x_2} + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow {y_t} = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = 2\)
Đáp án cần tìm là đáp án D.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x³ + mx +16 cắt trục hooành tại 3 điểm phân biệt?
A. m >12 C. m<0
B. m<-12 D. Không có m thỏa mãn
Hướng dẫn giải
Để đồ thị hàm số y = x³ + mx +16 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình x³ + mx +16 = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Với m = 14 sử dụng lệnh giải phương trình bậc 3 MODE 5
Ta thấy nghiệm x1; x2 là nghiệm ảo => không đủ 3 nghiệm thực => m = 14 không thỏa mãn => A sai
Thực hiện tương tự với các đáp án còn lại ta thấy đáp án B thỏa mãn yêu cầu.
Vậy đáp án cần tìm là B.
📘 Nội dung tài liệu còn tiếp tục, mời bạn tải bản đầy đủ để tham khảo chi tiết hơn.
--------------------------------
Nắm vững kỹ thuật Casio giải nhanh bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số sẽ giúp học sinh xử lý hiệu quả các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao trong đề thi Toán 12. Kết hợp thành thạo giữa tư duy hàm số và kỹ năng bấm máy là chìa khóa để nâng cao điểm số trong kỳ thi THPT Quốc gia.
