Công thức tỉ số khoảng cách

Công thức tỉ số khoảng cách trong không gian Toán 12

Trong chuyên đề Hình học không gian Toán 12, các bài toán liên quan đến khoảng cách luôn được xem là nhóm câu hỏi có tính phân loại cao trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Đặc biệt, công thức tỉ số khoảng cách là công cụ quan trọng giúp học sinh xử lý nhanh các bài toán khoảng cách giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng mà không cần thực hiện nhiều phép biến đổi phức tạp. Bài viết này sẽ tổng hợp đầy đủ công thức tỉ số khoảng cách, phương pháp áp dụng hiệu quả cùng các dạng toán nâng cao thường gặp giúp bạn tăng tốc độ giải bài và chinh phục các câu hỏi vận dụng, vận dụng cao.

Tỉ số khoảng cách

Chứng minh:

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên mp(P). Ta nhận thấy rằng hai tam giác AHM, BKM đồng dạng, do đó: \(\frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{AM}}{{BM}} = k \Rightarrow AH = k.BK\) tức là \({d\left( {A,\left( P \right)} \right) = k.d\left( {B,\left( P \right)} \right)}\).

Ví dụ minh họa cách tính tỉ số khoảng cách trong không gian

Lời giải:

Hình vẽ minh họa:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l} OA \cap \left( {SCD} \right) = C\\ AC = 2OC \end{array} \right. \Rightarrow\)\({d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}\).

Trong (ABCD), kẻ tại K (K cũng là trung điểm CD); trong (SOK), kẻ \(OH \bot SK\) tại H (1).

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l} CD \bot SO\\ CD \bot OK \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOK} \right) \Rightarrow OH \bot CD\,\,\,(2)\).

Từ (1) và (2) suy ra \(OH \bot \left( {SCD} \right)\)\(\Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

Do vậy \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2OH\)\(= 2.\frac{{SO.OK}}{{\sqrt {S{O^2} + O{K^2}} }} = 2.\frac{{a\sqrt 3 .a}}{{\sqrt {3{a^2} + {a^2}} }} = a\sqrt 3\).

Nhớ rằng: \(OK = \frac{{BC}}{2} = a\) (vì OK là đường trung bình tam giác BCD). Chọn C.

Lời giải:

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm AB suy ra \(SH \bot AB\) (do tam giác ABC đều), ngoài ra (SAB) vuông góc mặt đáy nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3\).

Trong (ABCD), kẻ HK vuông góc BD tại K; trong (SHK) kẻ HI vuông góc SK tại I.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BD \bot SH\\ BD \bot HK \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHK} \right)\) mà \(HI \subset \left( {SHK} \right)\) nên \(HI \bot BD\); hơn nữa \(HI \bot SK\), do đó \(HI \bot \left( {SBD} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AH \cap \left( {SBD} \right) = B\\ AB = 2HB \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = 2HI\)\(= 2\frac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }}\)

Xét hai tam giác đồng dạng là BKH và BAD (hai tam giác vuông có chung góc B), ta có:

\(\frac{{BH}}{{BD}} = \frac{{HK}}{{AD}}\)\(\Rightarrow HK = \frac{{BH.AD}}{{BD}} = \frac{{BH.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }}\)\(= \frac{{a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\)

Do đó: \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\)\(= 2\frac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }}\)\(= 2\frac{{a\sqrt 3 .\frac{a}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {3{a^2} + \frac{{{a^2}}}{5}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Chọn B.

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

------------------------------------------------

FAQ 

1. Công thức tỉ số khoảng cách là gì?

2. Công thức tỉ số khoảng cách thường áp dụng trong những dạng toán nào?

Công thức này thường xuất hiện trong:

• Bài toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
• Bài toán khoảng cách trong hình chóp.
• Bài toán khoảng cách trong lăng trụ.
• Các câu vận dụng cao về hình học không gian.
• Dạng toán tọa độ Oxyz liên quan đến mặt phẳng và đường thẳng.