Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị
Dấu hiệu nhận biết điểm cực trị trên đồ thị
Trong chương trình Toán 12 và các đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, chuyên đề cực trị của đồ thị hàm số luôn là nội dung trọng tâm thuộc phần ứng dụng đạo hàm. Để giải chính xác các bài toán về cực đại, cực tiểu hay biện luận số điểm cực trị, học sinh cần nắm vững điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị. Đây cũng là nền tảng quan trọng cho các dạng toán vận dụng cao như tìm tham số, khảo sát hàm số và giải quyết các bài toán thực tế. Bài viết dưới đây sẽ hệ thống đầy đủ lý thuyết, dấu hiệu nhận biết cực trị, các điều kiện thường gặp cùng bài tập có đáp án chi tiết giúp học sinh ôn thi hiệu quả.
A. Cực trị của hàm số là gì?
Giả sử hàm số 
\(y = f(x)\) xác định trên tập \(K\) và \(x_{0} \in K\). Ta nói:
- \(x_{0}\) là điểm cực tiểu của hàm số \(f\) nếu tồn tại một khoảng \((a;b)\) sao cho \(x_{0} \in (a;b)\) sao cho \(f(x) > f\left( x_{0} \right)\forall x \in
(a;b)\left\{ x_{0} \right\}\) và \(f(x) > f\left( x_{0} \right)\forall x \in
(a;b)\left\{ x_{0} \right\}\). Khi đó \(f\left( x_{0} \right)\) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số \(f(x)\).
- \(x_{0}\) là điểm cực đại của hàm số \(f\) nếu tồn tại một khoảng \((a;b)\) sao cho \(x_{0} \in (a;b)\) sao cho \(f(x) < f\left( x_{0} \right)\forall x \in
(a;b)\left\{ x_{0} \right\}\) và \((a;b) \subset K\). Khi đó \(f\left( x_{0} \right)\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số \(f(x)\).
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu chung là điểm cực trị.
+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp \(K\).
+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
+ Nếu \(x_{0}\) là điểm cực trị của hàm số thì điểm \(\left( x_{0};f\left( x_{0}
\right) \right)\) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\).
B. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Định lí 1: Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có cực trị tại \({x_0}\). Khi đó, nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\).
Chú ý:
- Đạo hàm \(f'\left( {{x_0}} \right)\) có thể bằng 0 tại điểm \({x_0}\) nhưng hàm số \(f\) không đạt cực trị tại điểm \({x_0}\).
- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số không bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 2:
Giả sử hàm số \(f\) có cực trị tại \({x_0}\). Khi đó, nếu hàm số \(f\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\).
- Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) trên khoảng \(\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)\) và \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) trên khoảng \(\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đạt của hàm số \(f\left( x \right)\).
- Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) trên khoảng \(\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)\) và \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) trên khoảng \(\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right)\).
-----------------------------------------
❓ FAQ
1. Điều kiện cần để đồ thị hàm số có cực trị là gì?
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị là gì?
3. Có phải mọi nghiệm của phương trình f'(x)=0 đều là điểm cực trị không?
---------------------------------
Chuyên đề tìm tham số (m) để hàm số có cực trị là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán nâng cao về hàm số và tham số trong chương trình Toán 12. Khi thành thạo các kỹ thuật xét đạo hàm, phân tích số nghiệm và biện luận điều kiện cực trị, học sinh sẽ tự tin chinh phục các câu hỏi từ mức độ thông hiểu đến vận dụng cao, qua đó nâng cao hiệu quả ôn thi THPT Quốc gia và các kỳ thi đánh giá năng lực.
