Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Hàm số bậc cao, hàm chứa căn, chứa mẫu đơn điệu trên K

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán chuyên đề Hàm số

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách xét tính đơn điệu của hàm chứa căn nhanh nhất

Trong chuyên đề hàm số Toán 12, các bài toán xét tính đơn điệu của hàm bậc cao, hàm chứa căn và chứa mẫu thường xuất hiện ở mức độ vận dụng. Việc nắm chắc phương pháp giải sẽ giúp học sinh tăng khả năng tư duy và xử lý bài nhanh hơn.

Tóm tắt nội dung:

Bài viết hướng dẫn cách xét tính đơn điệu của hàm số bậc cao, hàm chứa căn và chứa mẫu trên tập K bằng phương pháp đạo hàm, điều kiện xác định và bảng xét dấu, giúp học sinh giải nhanh các dạng toán vận dụng trong đề thi THPT Quốc gia.

A. Cách tìm m để hàm bậc cao, hàm chứa căn, chứa mẫu đơn điệu

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đạo hàm và cho đạo hàm không âm (nếu đề ra hàm số đồng biến) và ngược lại.
Bước 2: Cô lập tham số m để có một trong các dạng: $\left\lbrack \begin{matrix} m \geq g(x),\ \ \forall x \in K \\ m \leq g(x),\ \ \forall x \in K \end{matrix} \right.$ .
Bước 3: Tìm $M_{1}$ là giá trị lớn nhất của g(x) trên K (hoặc là chặn trên bé nhất của g(x) trên K). [Tương tự, có thể tìm $M_{2}$ là giá trị nhỏ nhất của g(x) trên K (hoặc chặn dưới lớn nhất của g(x) trên K).
Bước 4: Áp dụng

$\boxed{m \geq g(x),\ \ \forall x \in K \Leftrightarrow m \geq M_{1}}$ hoặc $\boxed{m \leq g(x),\ \ \forall x \in K \Leftrightarrow m \leq M_{2}}$ .

B. Ví dụ minh họa tìm m để các dạng hàm số nâng cao đơn điệu

Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số $y = x^{4} - 2(m - 1)x^{2} + m - 2$ đồng biến trên khoảng là:

A. . B. . C. $m \leq 2$ . D. $1 \leq m \leq 2$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có:

$y' = 4x^{3} - 4(m - 1)x = 4x\left( x^{2} - m + 1 \right)$ .

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi $y' \geq 0$ , $\forall x \in (1;5)$

$\Leftrightarrow\underset{+}{\overset{4x}{︸}}\left( x^{2} - m + 1 \right) \geq 0,\ \forall x \in (1; 5)$

$\Leftrightarrow x^{2} - m + 1 \geq 0,\ \forall x\in (1;5)$ $\Leftrightarrow m \leq x^{2} + 1,\ \forall x \in(1;5)$ .

Xét $f(x) = x^{2} + 1$ với . Ta có: $f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0$ (loại).

Bảng biến thiên:

Do đó giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán là $m \leq 2$ .

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để hàm số $y = \frac{1}{4}x^{4} + mx - \frac{3}{2x}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: $y' = x^{3} + m + \frac{3}{2x^{2}}$

Hàm số đã cho đồng biến trên $(0; + \infty) \Leftrightarrow y' \geq 0,\ \forall x \in (0; + \infty)$

$\Leftrightarrow x^{3} + m +\frac{3}{2x^{2}} \geq 0,\ \forall x \in (0; + \infty)$ $\Leftrightarrow x^{3} + \frac{3}{2x^{2}} \geq - m,\ \forall x \in (0; +\infty)$ . (*)

Xét hàm số $f(x) = x^{3} + \frac{3}{2x^{2}}$ trên $(0; + \infty)$ .

Ta có: $f'(x) = 3x^{2} - \frac{3}{x^{3}} = \frac{3\left( x^{5} - 1 \right)}{x^{3}}$ ; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (nhận).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $(*) \Leftrightarrow - m \leq \frac{5}{2} \Leftrightarrow m \geq \frac{- 5}{2}$ ; ta lại có là số nguyên âm $\Rightarrow m \in \left\{ - 2; - 1 \right\}$ . Vậy có 2 giá trị của thỏa mãn.

Ví dụ 3. Tìm các giá trị của tham số để hàm số $y = x^{2} + (5 - 2m)x - \frac{1}{x + 1} - 3$ đồng biến trên $( - 1\ ;\ + \infty)$ .

A. $\forall m\mathbb{\in R}$ . B. $m \leq 6$ . C. $m \geq - 3$ . D. $m \leq 3$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Tập xác định: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 \right\}$ .

Ta có: $y' = 2x + 5 - 2m + \frac{1}{(x + 1)^{2}}$ .

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $( -1 ; + \infty)$ khi và chỉ khi $y' \geq 0$ , $\forall x \in ( - 1; + \infty) \Leftrightarrow 2x + 5 - 2m + \frac{1}{(x + 1)^{2}} \geq 0$ ,

$\forall x \in ( - 1\ ;\ + \infty) \Leftrightarrow 2x + 5 + \frac{1}{(x + 1)^{2}} \geq 2m$ , $\forall x \in ( - 1\ ;\ + \infty)$ .

Ta xét hàm số $g(x) = 2x + 5 + \frac{1}{(x+ 1)^2}$ trên khoảng $( - 1\ ;\ + \infty)$ .

Đạo hàm:

$g'(x) = 2 - \frac{2}{(x + 1)^{3}} = \frac{2x^{3} + 6x^{2} + 6x}{(x + 1)^{3}}$ ;

$g'(x) = 0 \Rightarrow 2x^{3} + 6x^{2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Bảng biến thiên:

Ta có:

$2m \leq g(x),\ \ \forall x \in ( - 1\ ;\ + \infty) \Leftrightarrow 2m \leq 6 \Leftrightarrow m \leq 3$ .

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có đáp án

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số $y = x^{4} - 2(m - 1)x^{2} + m - 2$ đồng biến trên khoảng ?

A. $m \in (2, + \infty).$ B. $m \in ( - \infty;- 5).$ C. $m \in \lbrack - 5;2).$ D. $m \in ( - \infty;2\rbrack.$

Câu 2. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để hàm số $y = x^{3} + mx - \frac{1}{5x^{5}}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)\ ?$

A. B. C. D.

Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số $y = \frac{3}{4}x^{4} - (m - 1)x^{2} - \frac{1}{4x^{4}}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)\ ?$

A. B. C. D.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-----------------------------------

FAQ

❓ 1. Muốn xét tính đơn điệu cần làm gì trước?

Cần tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số.

❓ 2. Hàm chứa căn cần lưu ý điều gì?

Phải xét điều kiện để biểu thức trong căn không âm.

❓ 3. Hàm chứa mẫu xét đơn điệu như thế nào?

Cần loại các điểm làm mẫu bằng 0 trước khi xét dấu đạo hàm.

❓ 4. Hàm bậc cao có khó xét đồng biến nghịch biến không?

Không quá khó nếu biết cách phân tích dấu của đạo hàm.

❓ 5. Dạng toán này có xuất hiện trong đề THPT Quốc gia không?

Có, thường nằm trong các câu vận dụng và vận dụng cao phần hàm số.

---------------------------------

Thành thạo cách xét tính đơn điệu của các dạng hàm số đặc biệt giúp học sinh củng cố kỹ năng đạo hàm và tự tin chinh phục các câu hỏi khó trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: