Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Hàm số đa thức bậc ba đơn điệu trên K

Cách xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm bậc ba

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số bậc ba

Hàm số bậc ba là một trong những dạng hàm quan trọng của chương trình Toán 12. Việc xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập K giúp học sinh nắm chắc kiến thức khảo sát hàm số và tăng tốc độ làm bài thi.

Tóm tắt nội dung:

Bài viết hướng dẫn cách xét hàm số đa thức bậc ba đơn điệu trên tập K bằng phương pháp đạo hàm, bảng xét dấu và điều kiện tham số, giúp học sinh giải nhanh các dạng toán thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia.

A. Cách xét tính đơn điệu của hàm đa thức bậc ba

Bài toán 1: Hàm số bậc ba (đạo hàm có nghiệm đẹp theo m) đơn điệu trên K

Phương pháp:

Bước 1: Đạo hàm và cho đạo hàm bằng 0 và tìm x (nghiệm đẹp theo m). [Học sinh có thể thay để bấm máy].
Bước 2: Lập bảng biến thiên và so sánh nghiệm để tìm m.

Bài toán 2: Hàm số bậc ba (đạo hàm không có nghiệm đẹp theo m) đơn điệu trên K

Cách giải 1: Tìm đạo hàm và lập bảng biến thiên, so sánh nghiệm để tìm m.

Cách giải 2:

Bước 1: Tìm đạo hàm và cho đạo hàm không âm (nếu đề ra hàm số đồng biến) và ngược lại.
Bước 2: Cô lập tham số m để có một trong các dạng: $\left\lbrack \begin{matrix} m \geq g(x),\ \ \forall x \in K \\ m \leq g(x),\ \ \forall x \in K \end{matrix} \right.$ .
Bước 3:Tìm $M_{1}$ là giá trị lớn nhất của g(x) trên K (hoặc là chặn trên bé nhất của g(x) trên K). [Tương tự, có thể tìm $M_{2}$ là giá trị nhỏ nhất của g(x) trên K (hoặc chặn dưới lớn nhất của g(x) trên K).
Bước 4: Áp dụng $\boxed{m \geq g(x),\ \ \forall x \in K \Leftrightarrow m \geq M_{1}}$ hoặc $\boxed{m \leq g(x),\ \ \forall x \in K \Leftrightarrow m \leq M_{2}}$ .

☞ Lưu ý: Nếu đạo hàm của hàm bậc ba vừa không có nghiệm đẹp theo m, vừa không thể cô lập m thì ta biện luận các trường hợp của Δ để tìm m.

Bài toán 3: Hàm số bậc ba đơn điệu trên một đoạn có độ dài l

Nhận xét: Đề bài dạng này chỉ cho trong trường hợp dấu của a và ngược nhau.

Ta cần có: $\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ \left| x_{1} - x_{2} \right| = l \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \boxed{\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = l}$ .

B. Ví dụ minh họa xét tính đơn điệu của hàm số bậc ba

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng để hàm số $y = 2x^{3} - 3(2m + 1)x^{2} + 6m(m + 1)x + 1$ đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ ?

A. 1 998. B. 1 999. C. 998. D. 1001.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có $y' = 6x^{2} - 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)\forall x \in (2; + \infty)$ . [Không thể cô lập m].

Xét $y' = 6x^{2} - 6(2m + 1)x + 6m(m +1) = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - (2m + 1)x + m(m + 1) = 0$

$\Delta = 4m^{2} + 4m + 1 - 4m^{2} - 4m = 1 > 0$ ; ta tìm được hai nghiệm đẹp theo m là $x_{1} = m,\ \ x_{2} = m + 1$ .

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ khi và chỉ khi $m + 1 \leq 2 \Leftrightarrow m \leq 1$ .

Mặt khác nguyên và thuộc nên $m \in \left\{ - 999; - 998;...0;...;999 \right\} \Rightarrow$ Số các giá trị m là: $999 - ( - 999) + 1 = 1\ \ 999$ .

Mẹo nhỏ: Để tìm nghiệm đẹp trong phương trình bậc hai, bậc ba có chứa tham số, ta nhập vào máy tính chức năng giải phương trình bậc hai, bậc ba với việc thay . Nghiệm tìm được ta sẽ liên hệ với 100 để đưa về dạng x phụ thuộc m.Chẳng hạn, trong bài này, ta giải: $x^{2} - (2m + 1)x + m(m + 1) = 0$ .

Nhập vào máy chức năng giải phương trình bậc hai với $a = 1,\ \ b = - \left( 2.\underset{m}{\overset{100}{︸}} + 1 \right),\ \ c = \underset{m}{\overset{100}{︸}}\left( \underset{m}{\overset{100}{︸}} + 1 \right)$ .

Ta được: $X_{1} = 100 = m;\ \ X_{2} = 101 = 100 + 1 = m + 1$ .

Ví dụ 2. Tập hợp tất cả giá trị của để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 1)x^{2} + \left( m^{2} + 2m \right)x - 3$ nghịch biến trên khoảng là:

A. $S = \varnothing.$ B. $S = \lbrack 0;1\rbrack.$ C. $S = \lbrack - 1;0\rbrack.$ D. $S = \left\{ - 1 \right\}.$

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: $y' = x^{2} - 2(m + 1) + m^{2} + 2m$ ;

$y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} + 2m = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = m + 2 \\ x = m \end{matrix} \right.$ (xem mục Mẹo nhỏ ở phần trên).

Qua bảng biến thiên ta nhận thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi ta có:

$m \leq - 1 < 1 \leq m + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq - 1 \\ m + 2 \geq 1 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - 1$ .

Vậy: $S = \left\{ - 1 \right\}$ .

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số $y = x^{3} - 6x^{2} + mx + 3$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

A. $m \leq 12$ . B. $m \geq 0$ . C. $m \leq 0$ . D. $m \geq 12$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: $y' = 3x^{2} - 12x + m \geq 0,\ \ \forall x \in (0\ ;\ + \infty)$

$\Leftrightarrow 3x^{2} - 12x + m \geq 0,\ \ \forall x \in (0; + \infty)$

$\Leftrightarrow m \geq - 3x^{2} + 12x$ , $\forall x \in (0; + \infty)$ .

Xét $f(x) = - 3x^{2} + 12x$ với .

Ta có:

f'(x) = - 6x + 12 ; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta được giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m \geq 12$ .

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có đáp án

Câu 1. Tìm các giá trị của tham số sao cho hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} + 3mx - 2025$ nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)\ ?$

A. $m \leq - 1.$ B. C. $m \geq - 1.$ D.

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số $y = x^{3} - 6x^{2} + (3m + 6)x + 1$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)\ ?$

A. $m \geq - 2.$ B. $m \geq 2.$ C. $m\mathbb{\in R}.$ D.

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số $y = x^{3} + 3x^{2} - 3(m^{2} - 1)x$ đồng biến trên khoảng $(1;2)\ ?$

A. $- 2 < m \leq 2.$ B. hoặc $m \geq 2.$

C. $- 2 \leq m \leq 2.$ D. $m \leq - 2$ hoặc $m \geq 2.$

Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số $y = x^{3} + 3x^{2} - (m^{2} - 3m + 2)x + 5$ đồng biến trên khoảng $(0;2)\ ?$

A. B. C. D.

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số $y = 2x^{3} - 3(2m + 1)x^{2} + 6m(m + 1)x + 1$ đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)\ ?$

A. B. $m \leq 1.$ C. D.

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

---------------------------------------------

FAQ

❓ 1. Hàm số bậc ba đồng biến khi nào?

Khi đạo hàm của hàm số dương trên khoảng xét.

❓ 2. Làm sao xét nghịch biến của hàm bậc ba?

Xét dấu âm của đạo hàm trên khoảng cần xét.

❓ 3. Có cần lập bảng biến thiên không?

Có, bảng biến thiên giúp xác định rõ khoảng đồng biến và nghịch biến.

❓ 4. Hàm bậc ba luôn có cực trị không?

Không. Điều này phụ thuộc vào dấu của biệt thức đạo hàm.

❓ 5. Dạng toán này có xuất hiện trong đề THPT Quốc gia không?

Có, đây là chuyên đề trọng tâm thường gặp trong phần khảo sát hàm số.

---------------------------

Nắm vững phương pháp xét tính đơn điệu của hàm bậc ba sẽ giúp bạn xử lý hiệu quả các bài toán đạo hàm và tham số. Đây là chuyên đề quan trọng cần luyện tập thường xuyên trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia.

Tải về

Chọn file muốn tải về: