Lăng trụ ẩn
Bài tập lăng trụ ẩn toán 12 nâng cao có đáp án
Trong các bài toán hình học không gian nâng cao, dạng lăng trụ ẩn được xem là một trong những chuyên đề đòi hỏi khả năng quan sát hình học, tư duy suy luận và kỹ năng khai thác giả thiết hiệu quả. Nhiều bài toán không cho trực tiếp hình lăng trụ mà yêu cầu học sinh nhận diện các yếu tố song song, đồng phẳng hoặc các mặt tương ứng để thiết lập mô hình giải toán. Bộ tài liệu Lăng trụ ẩn – Toán 12 nâng cao có đáp án sẽ giúp học sinh từng bước làm chủ dạng toán quan trọng này trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia.
Lăng trụ ẩn là gì?
Lăng trụ ẩn là một khái niệm hoàn toàn mới, dùng để xếp loại những bài toán tứ diện (hình chóp) mà muốn giải quyết chúng, ta phải vẽ thêm hình để đưa về lăng trụ và sử dụng các công thức, tính chất của lăng trụ để giải.
Ý tưởng “lăng trụ ẩn” thường xuất hiện trong những câu hỏi vận dụng cao, những bài toán khó trong các đề thi học sinh giỏi trên cả nước.
Bài tập ví dụ minh họa về lăng trụ ẩn
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD biết rằng 
\(AB = 2,\,\,CD = 2\sqrt 3 ,\,\widehat {ABC} = \widehat {BAD} = \widehat {BCD} = {90^0}\) và góc giữa hai đường thẳng \(AD, BC\) bằng \({30^0}\) . Tìm thể tích khối tứ diện trên.
A. \(\frac{{8\sqrt 3 }}{3}\) B. \(2\sqrt 3 .\) C. \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\) D. \(3\sqrt 3 .\)
Nhận xét:
Đề bài đã cho những dữ kiện tương đối rời rạc mà nếu không vẽ thêm hình, ta khó lòng liên kết chúng lại.
Trong bài có \(\widehat {ABC} = \widehat {BAD} = {90^0}\) tức AB là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau AD và BC. Vì vậy ta có ý tưởng xây dựng lăng trụ đứng với AB là đường cao (cạnh bên) của nó. Hơn nữa, việc dựng lăng trụ sẽ giúp ta xác định góc giữa hai đường chéo nhau khá dễ dàng (trong bài là góc giữa AD và BC).
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Xét lăng trụ đứng AED.BCF như hình.
Ta có: \(AE\parallel BC \Rightarrow \left( {\widehat {AD,BC}} \right) = \left( {\widehat {AD,AE}} \right) = \widehat {DAE} = {30^0} = \widehat {CBF}\)
Do tam giác CDF vuông tại F nên ta có: \(CF = \sqrt {C{D^2} - D{F^2}} = \sqrt {12 - 4} = 2\sqrt 2 .\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot CD\\
BC \bot EC
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot CF\) . Do đó: \(BC = \frac{{CF}}{{\tan {{30}^0}}} = 2\sqrt 6 .\)
\({S_{\Delta BCF}} = \frac{1}{2}BC.CF = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .2\sqrt 6 = 4\sqrt 3\). Do đó: \({V_{AED.BCF}} = AB.{S_{\Delta BCF}} = 2.4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 .\)
Ta dễ dàng có được \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{V_{AED.BCF}} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\) . Chọn A.
Ví dụ 2. Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB\) là đoạn vuông góc chung của \(BC\) và \(AD\) , \(AB = 2a,\,\,AD = BC = a\) và \((\widehat {AB,CD}) = \alpha\) . Tìm thể tích của khối tứ diện trên theo \(a,\,\,\alpha\) .
A. \({a^3}.\tan \alpha .\sqrt {1 - {{\tan }^2}\alpha } .\) B. \(2{a^3}.{\tan ^3}\alpha .\)
C. \(2{a^3}.\tan \alpha .\sqrt {1 - {{\tan }^2}\alpha } .\) D. \({a^3}.{\tan ^3}\alpha .\)
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Xét lăng trụ đứng AED.BCF như hình.
Vì \(DF\parallel AB \Rightarrow \left( {\widehat {AB,CD}} \right) = \left( {\widehat {DF,CD}} \right) = \widehat {CDF} = \alpha\) .
Xét tam giác CDF vuông tại F có \(CF = DF.\tan \alpha = 2a.\tan \alpha\) .
Trong tam giác BCF cân tại B, kẻ đường cao BH (H cũng là trung điểm CF).
Ta có: \(BH = \sqrt {B{C^2} - C{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {a^2}.{{\tan }^2}\alpha }\) .
Do đó:
\({S_{\Delta BCF}} = \frac{1}{2}BH.CF = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} - {a^2}.{{\tan }^2}\alpha } .2a.\tan \alpha\)
\(= {a^2}.\tan \alpha .\sqrt {1 - {{\tan }^2}\alpha }\).
Thể tích lăng trụ: \({V_{AED.BCF}} = AB.{S_{\Delta BCF}} = 2{a^3}.\tan \alpha .\sqrt {1 - {{\tan }^2}\alpha }\) . Chọn C.
📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.
---------------------------------------
FAQ
1. Lăng trụ ẩn là gì?
2. Vì sao dạng toán lăng trụ ẩn thường khó?
3. Dạng toán lăng trụ ẩn có xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia không?
----------------------------------
Nắm vững phương pháp nhận diện và xử lý các bài toán lăng trụ ẩn sẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả nhiều câu hỏi vận dụng và vận dụng cao trong hình học không gian. Thông qua hệ thống bài tập chọn lọc cùng lời giải chi tiết, người học có thể rèn luyện tư duy hình học, nâng cao kỹ năng phân tích và tự tin chinh phục các dạng toán khó trong đề thi Toán 12.
