Nguyên lý bất biến trong giải toán
Cách áp dụng nguyên lý bất biến trong giải toán nhanh
Trong các bài toán tư duy và đánh giá năng lực, nguyên lý bất biến là “chìa khóa” giúp giải quyết nhiều bài toán tưởng chừng phức tạp. Nắm vững phương pháp này sẽ giúp bạn nâng cao khả năng suy luận và tối ưu thời gian làm bài.
Tóm tắt nội dung:
Bài viết trình bày nguyên lý bất biến trong giải toán – một phương pháp tư duy quan trọng giúp giải nhanh các bài toán khó. Nội dung gồm lý thuyết cốt lõi, cách nhận diện và hướng dẫn áp dụng hiệu quả cho học sinh Toán 12.
Phát biểu nguyên lý bất biến
Cho a, b, c là những số thực ta xét tổng S = a + b + c. Nếu ta đổi chỗ a cho b, b cho c, c cho a, thì tổng S luôn luôn chỉ là một (không đổi). Tổng này không thay đổi đối với thứ tự phép cộng. Dù a, b, c có thay đổi thứ tự như thế nào chăng nữa S vẫn không thay đổi, nghĩa là S bất biến đối với việc thay đổi các biến khác.
Thông thường ta sẽ dựa vào kinh nghiệm dự đoán số bất biến trong dãy.
Các bước áp dụng nguyên lý bất biến khi giải toán
Để giải toán được bằng đại lượng bất biến ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Ta phải phát hiện ra những đại lượng bất biến trong bài toán. Bước này tương đối khó nếu ta không luyện tập thường xuyên.
+ Bước 2: Xử lý tiếp đại lượng bất biến để tìm ra các điểm mâu thuẫn.
Ví dụ minh họa áp dụng nguyên lí bất biến trong giải toán
Ví dụ. Trên bảng viết các số 
. Mỗi lần biến đổi, xóa đi hai số a; b bất kì và thay bằng số . Sau 2014 lần thực hiện phép biến đổi trên bảng còn lại một phân số. (tối giản). Tổng m + n = …?
Phương pháp giải
Nhận xét: c = a + b − 5ab là một tổng mà vai trò của a và b như nhau. Cứ xóa 2 số a, b bất kì và xóa 2014 theo bất kì cách nào thì luôn ra một số duy nhất, nên ta có thể dự đoán: khi xóa đến một số nào đó thì số c là không đổi. Giả sử xóa đến số a0 thì được số co = ao + b1 − 5a0b1
Xóa tiếp số co và b2 thì vẫn được co, tức là: co = co + b2 − 5cob2 ⇔ co =
Thử lại ta thấy:
Trong dãy số trên có số
Nếu xóa hai số a và b bất kì và thay bằng số mới là c = a + b − 5ab, như vậy sau mỗi lần xóa dãy trên giảm đi một số. Như vậy sau 2014 lần xóa trên bảng còn lại đúng 1 số.
Ta cứ xóa đến một lúc nào đó ta sẽ xóa và được thay bằng
Như vậy cứ xóa số và một số b bất kì thì lại viết được c =
Vậy số cuối cùng còn lại là .
Ví dụ. Trên bảng ghi một số nguyên dương có hai chữ số trở lên. Người ta thiết lập số mới bằng cách xóa đi chữ số hàng đơn vị của số đã cho, sau đó cộng vào số còn lại 7 lần số vừa bị xóa. Ban đầu trên bảng ghi số 6100. Hỏi sau một số bước thực hiện như trên ta có thể thu được 1006 hay không? Tại sao?
Hướng dẫn giải
Chẳng hạn như số ban đầu trên bảng là số x = 10a + b, a ∈ {1; 2; 3;...; 9}; b ∈ {0; 1; 2; 3;...; 9}
Số mới thu được sau các thao tác như đề bài là y = a + 7b
+ Ta thấy y = x - 9a + 6b
+ Số ban đầu ghi trên bảng là 1006 chia hết cho 3.
Theo như trên thì sau một số bước thực hiện thao tác như đề bài, số mới thu được cũng là một số cũng chia hết cho 3.
Vậy nên sau một số bước thực hiện thao tác như đề bài, thì không thể nào thu được 6100, là một số không chia hết cho 3.
Ví dụ. Trên bảng đen viết ba số . Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng, giả sử là và rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai số mới và đồng thời giữ nguyên số còn lại. Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số. Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số .
Hướng dẫn giải
Giả sử ba số trên bảng là , khi thay bằng và
Khi đó ta có:
.
Như vậy sau khi xoá 2 số thay bởi hai số mới và thì tổng bình phương hai số mới không đổi.
Do đó tổng bình phương của ba số trên bảng không đổi và bằng .
Mặt khác tổng bình phương ba số là .
Vậy không thể đồng thời trên bảng ba số .
-------------------------------------------------
FAQ
❓ 1. Nguyên lý bất biến là gì?
Là phương pháp dựa trên việc tìm đại lượng không thay đổi trong quá trình biến đổi.
❓ 2. Khi nào nên dùng nguyên lý bất biến?
Khi bài toán có sự thay đổi liên tục nhưng tồn tại yếu tố giữ nguyên.
❓ 3. Làm sao nhận biết bài toán bất biến?
Quan sát các đại lượng có khả năng không đổi qua mỗi bước biến đổi.
❓ 4. Nguyên lý bất biến có khó không?
Không khó nếu hiểu bản chất, nhưng cần luyện tập để nhận dạng nhanh.
❓ 5. Dạng toán này có xuất hiện trong đề thi không?
Có, thường gặp trong các câu vận dụng và đánh giá năng lực.
--------------------------------------------------
Nguyên lý bất biến không chỉ là công cụ giải toán mà còn rèn luyện tư duy logic sâu sắc. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo và đạt kết quả cao trong các kỳ thi quan trọng.
