Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Phương pháp giải một số bài toán tối ưu thể tích

Giải bài toán tối ưu thể tích thực tế

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách giải bài toán tìm thể tích lớn nhất trong thực tế

Bài toán tối ưu thể tích là một trong những dạng toán thực tế quan trọng trong chương trình Toán 12, kết hợp giữa tư duy hình học không gian và kỹ năng mô hình hóa toán học. Không chỉ xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT, dạng toán này còn giúp học sinh vận dụng kiến thức vào các tình huống thực tiễn như thiết kế vật thể, tối ưu kích thước và tính toán dung tích. Bài viết dưới đây tổng hợp các phương pháp giải bài toán tối ưu thể tích thường gặp kèm hướng dẫn chi tiết, giúp học sinh tiếp cận bài toán một cách khoa học và hiệu quả.

Bài toán 1, Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $288\,\,\,d{m^3}$ $288\,\,\,d{m^3}$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là $500000$ đồng/m². Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu?

A. $1,08$ triệu đồng. B. $0,91$ triệu đồng.

C. $1,68$ triệu đồng. D. $0,54$ triệu đồng.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Gọi $x$ chiều rộng của đáy bể $(x> 0)$. Khi đó chiều dài của bể là $2x$

Thể tích của bể: $V = 288\,\,\,d{m^3} = 0,288\,\,\,{m^3}$ $V = 288\,\,\,d{m^3} = 0,288\,\,\,{m^3}$, mà $V = x.2x.h \Rightarrow h = \frac{V}{{2{x^2}}} = \frac{{0,288}}{{2{x^2}}} = \frac{{0,144}}{{{x^2}}}$ $V = x.2x.h \Rightarrow h = \frac{V}{{2{x^2}}} = \frac{{0,288}}{{2{x^2}}} = \frac{{0,144}}{{{x^2}}}$.

Phần xây dựng của bể (trừ mặt trên của bể) có diện tích:

$S = 2.hx + 2.h.2x + x.2x = 6hx + 2{x^2}$ $S = 2.hx + 2.h.2x + x.2x = 6hx + 2{x^2}$

$= 6.\frac{{0,144}}{{{x^2}}}.x + 2{x^2} = \frac{{0,864}}{x} + 2{x^2}$ $= 6.\frac{{0,144}}{{{x^2}}}.x + 2{x^2} = \frac{{0,864}}{x} + 2{x^2}$

Cách giải 1: Áp dụng $\left\{ \begin{array}{l} a,\,\,b,\,\,c \ge 0\\ a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} a,\,\,b,\,\,c \ge 0\\ a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \end{array} \right.$, có:

$S = \frac{{0,432}}{x} + \frac{{0,432}}{x} + 2{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{0,432}}{x}.\frac{{0,432}}{x}.2{x^2}}} = \frac{{54}}{{25}}$ $S = \frac{{0,432}}{x} + \frac{{0,432}}{x} + 2{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{0,432}}{x}.\frac{{0,432}}{x}.2{x^2}}} = \frac{{54}}{{25}}$.

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{{0,432}}{x} = \frac{{0,432}}{x} = 2{x^2}$ $\Leftrightarrow \frac{{0,432}}{x} = \frac{{0,432}}{x} = 2{x^2}$

$\Leftrightarrow 2{x^3} = 0,432 \Leftrightarrow x = 0,6m$ $\Leftrightarrow 2{x^3} = 0,432 \Leftrightarrow x = 0,6m$ (thỏa mãn).

Vậy ${S_{Min}} = \frac{{54}}{{25}}\,\,\,{m^2}$ ${S_{Min}} = \frac{{54}}{{25}}\,\,\,{m^2}$=> Chi phí thấp nhất phải trả: $\frac{{54}}{{25}}.500\,\,000 = 1\,\,080\,\,000$ $\frac{{54}}{{25}}.500\,\,000 = 1\,\,080\,\,000$ đồng. Chọn A.

Cách giải 2: Xét hàm số $S(x) = \frac{{0,864}}{x} + 2{x^2}\,\,\,,x > 0.$ $S(x) = \frac{{0,864}}{x} + 2{x^2}\,\,\,,x > 0.$

Đạo hàm: $y' = - \frac{{0,864}}{{{x^2}}} + 4x = \frac{{4{x^3} - 0,864}}{{{x^2}}}$

$\,\,y$ $\,\,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 0,864 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{5} = 0,6\,\,\,m.$

Bảng biến thiên:

Vậy ${S_{Min}} = \frac{{54}}{{25}}\,\,\,{m^2}$ ${S_{Min}} = \frac{{54}}{{25}}\,\,\,{m^2}$ => Chi phí thấp nhất phải trả: $\frac{{54}}{{25}}.500\,\,000 = 1\,\,080\,\,000$ $\frac{{54}}{{25}}.500\,\,000 = 1\,\,080\,\,000$ đồng.

Bài toán 2. Từ một tấm bạt hình chữ nhật có kích thước $12m x 6m$ như hình vẽ. Một nhóm học sinh trong quá trình đi dã ngoại đã gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm 2 cạnh là chi rộng của tấm bạt sao cho 2 mép chiều dài của tấm bạt sát đất và cách nhau $x(m)$ (như hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian trong lều là lớn nhất.

A. $x = 4.$ B. $x = 3\sqrt 3 .$ $x = 3\sqrt 3 .$

C. $x=3.$ D. $x = 3\sqrt 2 .$ $x = 3\sqrt 2 .$

Hướng dẫn giải:

Phần không gian trong lều được tính bởi công thức thể tích hình lăng trụ đứng.

Ta có: $V = h.{S_d} = 12.{S_d}$ $V = h.{S_d} = 12.{S_d}$. Như vậy để thể tích lớn nhất khi diện tích tam giác đáy $ABC$ là lớn nhất.

Trong tam giác đáy $ABC$, vẽ đường cao $AH$.

Ta có $AH = \sqrt {9 - \frac{{{x^2}}}{4}} .$ $AH = \sqrt {9 - \frac{{{x^2}}}{4}} .$

Do đó diện tích: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}x.\sqrt {9 - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{1}{4}x\sqrt {36 - {x^2}} .$ ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}x.\sqrt {9 - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{1}{4}x\sqrt {36 - {x^2}} .$

Cách giải 1 (Dùng hàm số):

Xét hàm số $S(x) = \frac{1}{4}x\sqrt {36 - {x^2}}$ $S(x) = \frac{1}{4}x\sqrt {36 - {x^2}}$ với $x \in (0;6)$ $x \in (0;6)$

$S'(x) = \frac{1}{4}\left( {\sqrt {36 - {x^2}} + x\frac{{ - 2x}}{{\sqrt {36 - {x^2}} }}} \right) = \frac{1}{4}.\frac{{36 - {x^2} - {x^2}}}{{\sqrt {36 - {x^2}} }}$

$S'(x) = 0 \Leftrightarrow 36 - 2{x^2} = 0 \Rightarrow x = 3\sqrt 2 .$

Bảng biến thiên:

Vậy với $x = 3\sqrt 2$ $x = 3\sqrt 2$ (m) thì thể tích lều là lớn nhất.

Cách giải 2 (Dùng bất đẳng thức):

Theo bất đẳng thức quen thuộc là $\left\{ \begin{array}{l} a,\,\,b \ge 0\\ ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} a,\,\,b \ge 0\\ ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \end{array} \right.$, ta có:

$x\sqrt {36 - {x^2}} \le \frac{{{x^2} + 36 - {x^2}}}{2} = 18$ $x\sqrt {36 - {x^2}} \le \frac{{{x^2} + 36 - {x^2}}}{2} = 18$

$\Rightarrow S(x) = \frac{1}{4}x\sqrt {36 - {x^2}} \le \frac{1}{4}.18 = \frac{9}{2}.$ $\Rightarrow S(x) = \frac{1}{4}x\sqrt {36 - {x^2}} \le \frac{1}{4}.18 = \frac{9}{2}.$

Vậy diện tích tam giác đáy $ABC$ lớn nhất bằng $\dfrac{9}{2}$ $\dfrac{9}{2}$, khi đó dấu xảy ra $\Leftrightarrow x = \sqrt {36 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ 36 - {x^2} = {x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\sqrt 2 .$ $\Leftrightarrow x = \sqrt {36 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ 36 - {x^2} = {x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\sqrt 2 .$ Chọn B.

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

-----------------------------------------------------

FAQ

1. Bài toán tối ưu thể tích là gì?

Bài toán tối ưu thể tích là dạng toán yêu cầu tìm kích thước hoặc điều kiện để thể tích của một vật thể đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất theo yêu cầu đề bài.

2. Những dạng bài tối ưu thể tích thường gặp trong Toán 12?

3. Muốn giải bài toán tối ưu thể tích cần thực hiện những bước nào?

---------------

Để giải tốt các bài toán tối ưu thể tích, học sinh cần biết cách xây dựng biểu thức thể tích, xác định điều kiện của biến số và lựa chọn phương pháp tối ưu phù hợp. Việc luyện tập nhiều dạng bài thực tế sẽ giúp nâng cao tư duy toán học, khả năng phân tích dữ kiện và tự tin xử lý các câu hỏi vận dụng trong kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: