Tỉ số thể tích khối lăng trụ
Công thức tỉ số thể tích hình lăng trụ đầy đủ
Tỉ số thể tích khối lăng trụ là một dạng toán quan trọng trong chương Hình học không gian lớp 12, thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT dưới nhiều mức độ khác nhau. Để giải nhanh và chính xác dạng bài này, học sinh cần nắm vững công thức thể tích lăng trụ, các tính chất đồng dạng và phương pháp thiết lập tỉ số giữa các đại lượng hình học. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hệ thống đầy đủ lý thuyết, công thức và phương pháp giải các bài toán tỉ số thể tích khối lăng trụ thường gặp.
Tỉ số thể tích hình lăng trụ có đáy tam giác
\(x = \frac{{AM}}{{AA'}},\,\,y = \frac{{BN}}{{BB'}},\,\,z = \frac{{CP}}{{CC'}}\)
Ta có: \({\frac{{{V_{ABC.MNP}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{{x + y + z}}{3}}\)
Ví dụ: Khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích \(V\) khi đó thể tích khối chóp tứ giác \(A.BCC'B'\) bằng:
A. \(\frac{2}{3}V\) . B. \(\frac{1}{2}V\) . C. \(\frac{1}{3}V\) . D. \(\frac{3}{4}V\) .
Hướng dẫn giải
Cách giải 1: Tự luận.
Thể tích lăng trụ:\(V = h.{S_{\Delta A'B'C'}}\) với \(h = d\left( {A,\left( {A'B'C'} \right)} \right)\) .
Thể tích khối chóp: .\({V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}h.{S_{\Delta A'B'C'}} = \frac{1}{3}V\)
Do đó: \({V_{A.BCB'C'}} = V - {V_{A.A'B'C'}} = V - \frac{1}{3}V = \frac{2}{3}V\) . Chọn A.
Cách giải 2: Trắc nghiệm.
Xét hai khối đa diện \(\underbrace {ABC.AB'C'}_{ABCB'C'}\) với \(ABC.A'B'C'\) , ta đặt \(x = \frac{{AA}}{{AA'}} = 0,\,\,y = \frac{{BB'}}{{BB'}} = 1,\,\,z = \frac{{CC'}}{{CC'}} = 1\) .
Khi đó: \(\frac{{{V_{ABC.AB'C'}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{{x + y + z}}{3} = \frac{{0 + 1 + 1}}{3} = \frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow {V_{ABC.AB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}V\) .
Tức là: \({V_{ABCB'C'}} = \frac{2}{3}V.\)
Tỉ số thể tích hình Lăng trụ đáy là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông
Lăng trụ này chính là hình hộp thường hoặc hình hộp chữ nhật, hình lập phương
\(x = \frac{{AM}}{{AA'}},\,\,y = \frac{{BN}}{{BB'}},\,\,z = \frac{{CP}}{{CC'}},\,\,t = \frac{{DQ}}{{DD'}}\)
Ta có: \({\frac{{{V_{ABCD.MNPQ}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \frac{{x + y + z + t}}{4}}\) và \({x + z = y + t}\) .
Ví dụ: Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích bằng \(2110\) . Biết \(A'M = MA\) ; \(DN = 3ND'\) ; \(CP = 2PC'\) . Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng
A. \(\frac{{7385}}{{18}}\) . B. \(\frac{{5275}}{{12}}\) . C. \(\frac{{8440}}{9}\) . D. \(\frac{{5275}}{6}\) .
Hướng dẫn giải
Giả sử \(\left( {MNP} \right)\) cắt \(BB'\) tại Q . Đặt \(x = \frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{1}{2},\,\,y = \frac{{DN}}{{DD'}} = \frac{3}{4},\,\)\(\,z = \frac{{CP}}{{CC'}} = \frac{2}{3},\,\,t = \frac{{BQ}}{{BB'}} = x + z - y = \frac{5}{{12}}\)
Ta có: \(\frac{{{V_{ABCD.MQPN}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{2}{3} + \frac{5}{{12}}}}{4} = \frac{7}{{12}}\)
\(\Rightarrow {V_{ABCD.MQPN}} = \frac{7}{{12}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)
Do đó: \({V_{A'B'C'D'.MQPN}} = \frac{5}{{12}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{5}{{12}}.2110 = \frac{{5\,275}}{6}\)
Chọn D.
----------------------------------------
FAQ Chuẩn SEO
1. Tỉ số thể tích khối lăng trụ được tính như thế nào?
2. Khi nào cần sử dụng tỉ số thể tích trong hình lăng trụ?
3. Dạng toán tỉ số thể tích khối lăng trụ có xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia không?
4. Muốn giải nhanh bài toán tỉ số thể tích lăng trụ cần lưu ý gì?
-------------------------
Nắm vững cách tính tỉ số thể tích khối lăng trụ không chỉ giúp học sinh xử lý hiệu quả các câu hỏi hình học không gian trong đề thi THPT Quốc gia mà còn tạo nền tảng để giải quyết các bài toán thể tích nâng cao. Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài liên quan đến tỉ lệ kích thước, mặt cắt và khối đồng dạng sẽ giúp nâng cao tư duy hình học và tăng tốc độ làm bài trong các kỳ thi quan trọng.
