Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm m để hàm bậc 4 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác

Chuyên đề Cực trị của hàm số chứa tham số có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tìm m để hàm bậc 4 có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác

Bài toán tìm tham số để hàm bậc 4 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác là dạng toán vận dụng quen thuộc trong chuyên đề cực trị hàm số Toán 12. Để giải tốt dạng toán này, học sinh cần kết hợp kiến thức đạo hàm, bảng biến thiên và hình học giải tích.

Tóm tắt nội dung:

Chuyên đề “Tìm m để hàm bậc 4 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác” giúp học sinh Toán 12 rèn luyện kỹ năng xét điều kiện cực trị, xác định tọa độ điểm cực trị và vận dụng hình học tọa độ để giải bài toán tham số. Nội dung bám sát cấu trúc đề thi THPT Quốc gia và các dạng vận dụng cao.

A. Cách tìm m để hàm trùng phương có 3 cực trị tạo thành tam giác

1. Tìm điều kiện để hàm số $y = ax^{4} + bx^{2} + c$ thỏa mãn điều kiện K

Bước 1: Tập xác định : $D\mathbb{= R}$ . Đạo hàm : $y' = 4ax^{3} + 2bx = 2x(2ax^{2} + b)$ ; $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ 2ax^{2} + b = 0 \end{matrix} \right.$ .
Bước 2: Điều kiện hàm số có một cực trị (hoặc có ba cực trị)
Bước 3: Dựa vào điều kiện đề tìm tham số rồi so sánh điều kiện có cực trị (bước 2) trước khi kết luận.

2. Xử lý điều kiện K (Công thức trắc nghiệm)

Ba cực trị tạo thành tam giác vuông, ta dùng công thức nhanh $\boxed{\cos\widehat{BAC} = \frac{b^{3} + 8a}{b^{3} - 8a}}$ .
Ba cực trị tạo thành tam giác vuông $\Leftrightarrow \cos\widehat{BAC} = \boxed{\frac{b^{3} + 8a}{b^{3} - 8a} = 0} = cos90^{0}$ .
Ba cực trị tạo thành tam giác đều $\Leftrightarrow \cos\widehat{BAC} = \boxed{\frac{b^{3} + 8a}{b^{3} - 8a} = \frac{1}{2}} = cos60^{0}$ .

Ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích
- Ta dùng công thức nhanh bình phương diện tích: $\boxed{S^{2} = - \frac{b^{5}}{32a^{3}}}$ .
- Tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị là $A(0;c),\ \ \ B\left( \sqrt{- \frac{b}{2a}};\frac{- \Delta}{4a} \right),\ \ \ C\left( - \sqrt{- \frac{b}{2a}};\frac{- \Delta}{4a} \right)$ với $\Delta = b^{2} - 4ac$ .
- Tam giác có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (b_{1};b_{2}) \\ \overrightarrow{AC} = (c_{1};c_{2}) \end{matrix} \right.\ \overset{dien\ tích}{\rightarrow}S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1} \right|$ .
- Công thức diện tích khác: $S = \frac{abc}{4R}\ \ ;\ \ S = pr$ với $R,\ \ \ r$ theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ; $a,\ \ \ b,\ \ \ c$ là độ dài ba cạnh ; $p = \frac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi tam giác.

B. Ví dụ minh họa tìm m để hàm trùng phương có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác

Ví dụ 1. Cho hàm số $y = x^{4} - 2(m - 1)x^{2} + 1$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông.

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Cách 1: Tự luận

Tập xác định: $D\mathbb{= R}$ .

$y' = 4x^{3} - 4(m - 1)x = 4x\left( x^{2} - m + 1 \right);$

$\ y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m - 1 \end{matrix} \right.$ .

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1.\ \ \ \ (*)$

Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là: , $B(\sqrt{m - 1};2m - m^{2})$ , $C( - \sqrt{m - 1};2m - m^{2})$ ;

$\overrightarrow{AB} = (\sqrt{m - 1};2m - m^{2} - 1)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - \sqrt{m - 1};2m - m^{2} - 1)$ .

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhậnlàm trục đối xứng $\Rightarrow \Delta ABC$ cân tạiTheo đề : $\Delta ABC$ vuông, do đó nó phải vuông tại A, ta có : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0$ .

$\Leftrightarrow - (m - 1) + (2m - m^{2} -1)^{2} = 0$

$\Leftrightarrow (m - 1)^{4} - (m - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (m- 1)\left\lbrack (m - 1)^{3} - 1 \right\rbrack = 0$

$\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}m = 1 \\m = 2\end{matrix} \right.$ .

Kết hợp với điều kiện (*) ta có: .

Cách 2: Trắc nghiệm

Hàm số có ba cực trị $\Leftrightarrow ab < 0 \Leftrightarrow 1.\left\lbrack - 2(m - 1) \right\rbrack < 0 \Leftrightarrow m > 1$ .

Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số với A là đỉnh của tam giác cân ABC, ta có:

$\cos\widehat{BAC} = \frac{b^{3} + 8a}{b^{3} - 8a} \Leftrightarrow \frac{b^{3} + 8a}{b^{3} - 8a} = cos90^{0} = 0$

$\Leftrightarrow b^{3} + 8a = 0 \Leftrightarrow ( - 2m + 2)^{3} + 8.1 = 0$

$\Leftrightarrow ( - 2m + 2)^{3} = - 8$

$\Leftrightarrow - 2m + 2 = - 2 \Leftrightarrow m = 2$ (thỏa điều kiện).

Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị thực của tham số để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2mx^{2} + 2m - 3$ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác cân.

A. $m \geq 0$ . B. . C. $m \neq 0$ . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Tập xác định: $D\mathbb{= R}$ .

Ta có $y' = 4x^{3} - 4mx = 4x\left( x^{2} - m \right)$ ; $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m \end{matrix} \right.$ .

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có ba nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow x^{2} = m$ có hai nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow m > 0$ .

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của chúng đối xứng nhau qua Oy, do đó tam giác tạo bởi ba điểm cực trị của đồ thị luôn luôn là tam giác cân (tại đỉnh thuộc trục tung).

Vậy thỏa mãn đề bài.

Ví dụ 3. Tìm m để $\left( C_{m} \right)$ : $y = \frac{1}{4}x^{4} - (3m + 1)x^{2} + 2(m + 1)$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ .

A. $m = - \frac{2}{3}.$ B. $m = \frac{1}{3}.$ C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Tập xác định: $D\mathbb{= R}.$

Đạo hàm: $y' = x^{3} - 2(3m + 1)x = x\left\lbrack x^{2} - 2(3m + 1) \right\rbrack$ ; $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = 2(3m + 1) \end{matrix} \right.$ .

Hàm số có ba cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow 2(3m + 1) > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{3}.$

Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị, ta có:

$A(0;2m + 2) \in Oy,$ $B\left( - \sqrt{2(3m + 1)}; - 9m^{2} - 4m + 1\right),$ $C\left( \sqrt{2(3m + 1)}; - 9m^{2} - 4m + 1\right)$ .

Vì là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $\left\{ \begin{matrix} \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{0}{3} = 0 \\ \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{- 18m^{2} - 6m + 4}{3} = 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = \frac{1}{3}(tm) \\ m = - \frac{2}{3}(ktm) \end{matrix} \right.$

Vậy $m = \frac{1}{3}$ thỏa mãn đề bài.

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có đáp án

Câu 1. Tìm giá trị của tham số để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2mx^{2} + 2$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng

A. B. $m = \sqrt{3}.$ C. $m = 3\sqrt{3}.$ D. $m = \sqrt[3]{3}.$

Câu 2. Cho hàm số $y = x^{4} + 2(m - 4)x^{2} + m + 5$ có đồ thị $(C_{m}).$ Giá trị của tham số để $(C_{m})$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm bằng

A. $\sqrt{5}.$ B. C. D.

Câu 3. Cho hàm số $y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + m$ có đồ thị Tìm tham số sao cho có ba điểm cực trị $A,\ B,\ C$ thỏa trong đó là gốc tọa độ, là điểm cực trị thuộc ?

A. hoặc B. $m = 2 \pm 2\sqrt{2}.$

C. $m = 3 \pm 3\sqrt{3}.$ D. $m = 5 \pm 5\sqrt{5}.$

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

---------------------------------------------------------

FAQ

1. Khi nào hàm bậc 4 có ba điểm cực trị?

Hàm số bậc bốn có ba điểm cực trị khi phương trình đạo hàm có ba nghiệm phân biệt phù hợp điều kiện xác định.

2. Làm sao để tìm m để hàm số có ba điểm cực trị?

Tính đạo hàm, xét điều kiện nghiệm của phương trình đạo hàm và giải theo tham số mm m .

3. Ba điểm cực trị tạo thành tam giác khi nào?

Ba điểm cực trị phải phân biệt và không thẳng hàng.

4. Dạng toán này có xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia không?

Đây là dạng vận dụng cao thường gặp trong đề thi thử và đề ôn thi THPT Quốc gia.

5. Cần sử dụng kiến thức nào để giải bài toán này?

Học sinh cần kết hợp đạo hàm, bảng biến thiên và hình học tọa độ trong mặt phẳng.

6. Hàm trùng phương có luôn có ba điểm cực trị không?

Không. Điều này còn phụ thuộc vào tham số và điều kiện nghiệm của đạo hàm.

-----------------------------------------------------------------

Việc thành thạo dạng toán tìm m để ba điểm cực trị tạo thành tam giác sẽ giúp học sinh nâng cao tư duy xử lý bài toán tham số và tự tin hơn khi gặp các câu vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: