Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Xét tính đơn điệu của hàm số Toán lớp 12 có đáp án
Tải về
Lớp: THPT Quốc gia
Môn: Toán
Loại File: Word + PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R Toán 12

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên \mathbb{R}

- Định lí: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b):

+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a; b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f'(x) ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a; b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

- Để giải bài toán này trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số y = f(x) đồng biến trên R thì điều kiện trước tiên hàm số phải xác định trên \mathbb{R}.

+ Giả sử hàm số y = f(x) xác định và liên tục và có đạo hàm trên \mathbb{R}. Khi đó hàm số y = f(x) đơn điệu trên \mathbb{R} khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:

  • Hàm số y=f(x) xác định trên \mathbb{R}.
  • Hàm số y=f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên \mathbb{R}.

+ Đối với hàm số đa thức bậc nhất:

  • Hàm số y = ax + b; a ≠ 0 đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi a > 0.
  • Hàm số y = ax + b; a ≠ 0 nghịch biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi a < 0.

- Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:

Xét hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d => y' = 3ax2 + 2bx + c

Trường hợp 1: a = 0 (nếu có tham số)

Trường hợp: a ≠ 0

+ Hàm số đồng biến trên \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right.

+ Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right.

Chú ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.

- Các bước tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên \mathbb{R}

Bước 1. Tìm tập xác định \mathbb{R}.
Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’(x).
Bước 3. Biện luận giá trị m theo bảng quy tắc.
Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn.

II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên \mathbb{R}

Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m - 1)x3 - 3(m - 1)x2 + 3x + 2; (m là tham số) đồng biến trên tập số thực?

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = 3(m - 1)x2 - 6(m - 1)x + 3

Hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi y' ≥ 0; ∀x ∈\mathbb{R}

\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m - 1 = 0 \\ \left\{ \begin{matrix} m - 1 > 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ 9(m - 1)^{2} - 9(m - 1) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ 1 \leq m \leq 2 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 2

Vậy đáp án cần tìm là 1 ≤ m ≤ 2.

Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = 1/3x3 - 2mx2 + 4x - 5 nghịch biến trên \mathbb{R}?

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = -x2 - 4x + m

Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi y' ≤ 0; ∀x ∈ \mathbb{R}

⇔ -x2 - 4x + m ≤ 0; ∀x ∈ \mathbb{R}

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 16 + 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 4\rbrack

Vậy đáp án cần tìm là m ∈ (-∞; -4].

Ví dụ. Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 1/3x3 - 2mx2 + 4x - 5 đồng biến trên \mathbb{R} ?

Hướng dẫn giải

Theo yêu cầu bài toán \Leftrightarrow y' = x^{2} - 4mx + 4 \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 > 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 4m^{2} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 1

Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1 \right\}

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ. Cho hàm số y = -x3 - mx2 + (4m + 9)x + 5. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R}?

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = -3x2 - 2mx + 4m + 9

Hàm số đã cho nghịch biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi

\left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < 0 \\ m^{2} + 3(4m + 9) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow m^{2} + 12m + 27 \leq 0 \Leftrightarrow m \in \lbrack - 9; - 3\rbrack

Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 9; - 8;...; - 3 \right\}

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ. Cho hàm số y = -x3 - 3(m + 1)x2 + 3(2m - 1)x + 2020. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên (-∞; + ∞)?

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = -3x2 - 6(m + 1)x + 3(2m - 1)

Để hàm số đã cho nghịch biến trên (-∞; + ∞)

⇔ y' ≤ 0 ⇔ Δ' ≤ 0

⇔ 9(m2 + 2m + 1) + 18m - 9 ≤ 0

⇔ 9m2 + 36m ≤ 0 ⇔ -4 ≤ m ≤ 0

Do m\mathbb{\in Z} nên có tất cả 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình x6 + 2020x2 = (5x - 6)3 - 2020(6 - 5x)?

Hướng dẫn giải

Xét hàm số f(t) = t3 + 2020t \Rightarrow f'(t) = 3t^{2} + 2020 > 0;\forall t\mathbb{\in R}

Nên hàm số y = f(t) đồng biến trên \mathbb{R}

Phương trình x6 + 2020x2 = (5x - 6)3 - 2020(6 - 5x) có dạng

f\left( x^{2} \right) = f(5x - 6) \Leftrightarrow x^{2} = 5x - 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} \right.

Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng 5.

Ví dụ: Cho hàm số y = -1/3x3 + mx2 + (3m - 2)x + 1. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}.

A. (-2; -1). B. [-2; -1].
C. (-∞; -2) ∪ (-1; +∞). D. (-∞; -2] ∪ [-1; +∞).

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = -x3 + 2mx + 3m - 2

Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a<0 \\\Delta \le 0 \\\end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-1<0 \\4{{m}^{2}}-4\left( 3m-2 \right)\le 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2\le 0\Leftrightarrow m\in \left[ -2,-1 \right]

Đáp án B

Ví dụ: Cho hàm số y = 1/3(m - 1)x3 - (m - 1)x2 - x + 1. Tìm m để hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}.

A. -3 ≤ m ≤ 1. B. 0 ≤ m ≤ 1.
C. (0; 1]. D. [0; 1).

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = (m - 1)x2 - 2(m - 1)x - 1

Trường hợp 1: m - 1 = 0 => m = 1 => y' = -1 < 0. Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}

Trường hợp 2: m ≠ 1. Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R} khi:

\left\{ \begin{matrix}a<0 \\\Delta '\le 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m<1 \\{{\left( m-1 \right)}^{2}}+\left( m-1 \right)\le 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m<1 \\{{m}^{2}}-m\le 0 \\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in \left[ 0,1 \right)

Đáp án D

Ví dụ: Tìm m để hàm số y = x3 + 2(m + 1)x2 - 3mx + 5m - 2 đồng biến trên \mathbb{R}.

A. -4\le m\le -\frac{1}{4} B. -4< m< -\frac{1}{4}
C.\left[ \begin{matrix} m<-4 \\ m>-\frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right. D. \left[ \begin{matrix} m\le -4 \\ m\ge -\dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = 3x2 + 4(m + 1)x - 3m

Để hàm số đồng biến trên \mathbb{R} thì:

\left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta '\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1>0 \\ 4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+9m \\ \end{matrix}\Leftrightarrow m\in \left[ -4,-\frac{1}{4} \right] \right.

Đáp án A

Ví dụ: Cho hàm số y=\frac{1-m}{3}{{x}^{3}}-2\left( 2-m \right){{x}^{2}}+2\left( 2-m \right)x+5. Tìm tất cả giá trị của m sao cho hàm số luôn nghịch biến.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D=\mathbb{R}

Tính đạo hàm: y' = (1 - m)x2 - 4(2 - m)x + 4 - 2m

TH1: Với m = 1 ta có y'=-4x+2\le 0\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{2}

Vậy m = 1 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

TH2: Với m ≠ 1 ta có:

Hàm số luôn nghịch biến \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1-m<0 \\ 2{{m}^{2}}-10m+12\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m>1 \\ 2\le m\le 3 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \right.2\le m\le 3

Ví dụ: Tìm m để hàm số y = 1/3(m + 3)x3 - 2x2 + mx nghịch biến trên \mathbb{R}

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D=\mathbb{R}

Đạo hàm: y' = (m + 3)x2 - 4x + m

TH1: Với m = -3 => y' = -4x - 3 => m = -3 (thỏa mãn)

Vậy m = -3 hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}

TH2: Với m\ne -3

Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R} khi y'\le 0,\forall x

\begin{align} & \Rightarrow \left( m+3 \right){{x}^{2}}-4x+m\le 0,\forall x\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m+3<0 \\ -{{m}^{2}}-3m+4\le 0 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow m\le -4 \\ \end{align}

Ví dụ. Cho hàm số y = -1/3x3 + mx2 + (3m + 2)x + 1. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}.

A. \left\lbrack \begin{matrix} m \geq - 1 \\ m \leq - 2 \\ \end{matrix} ight..                                           B. -2 ≤ m ≤ -1.

C. -2 < m < -1.                                          D. \left\lbrack \begin{matrix} m > - 1 \\ m < - 2 \\ \end{matrix} ight..

Hướng dẫn giải

TXĐ: D = \mathbb{R} , y' = -x2 + 2mx + 3m + 2.

Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi y' \leq 0 , \forall x\mathbb{\in R}

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 < 0 \\ \Delta' = m^{2} + 3m + 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq - 1 .

Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số f(x) = 1/3x3 + mx2 + 4x + 3 đồng biến trên \mathbb{R}.

Hướng dẫn giải

Ta có f'(x) = x2 + 2mx + 4.

Hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0; \forall x\mathbb{\in R} (Dấu ‘=’ xảy ra tại hữu hạn điểm).

Ta có f'(x) \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\Delta' \leq 0

\Leftrightarrow \Delta' = m^{2} - 4 \leq 0

\Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2 .

Vì m\mathbb{\in Z} nên m ∈ {-2; -1; 0; 1; 2}.

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Ví dụ: Cho hàm số y = -x3 - mx2 + (4m + 9)x + 5, với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).

Hướng dẫn giải

Ta có:

+) TXĐ: D = \mathbb{R}

+) y' = -3x2 - 2mx + 4m + 9.

Hàm số nghịch biến trên (-∞; +∞) khi y' ≤ 0; ∀x ∈ (-∞; +∞).

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 < 0 \\ \Delta' = m^{2} + 3(4m + 9) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

\Leftrightarrow m \in \lbrack - 9; - 3brack \Rightarrow Có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Ví dụ: Tìm m để hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1) + 1 đồng biến trên \mathbb{R} .

Hướng dẫn giải

Ta có:

y' = 3x2 - 6mx + 3(2m - 1)

Ta có: \Delta' = ( - 3m)^{2} - 3.3.(2m - 1) .

Để hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R} thì \Delta' \leq 0

⇔ 9m2 - 18m + 9 < 0 ⇔ 9(m2 - 2m + 1) ≤ 0

⇔ 9(m - 1)2 ≤ 0 ⇔ m = 1.

Ví dụ. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m2 - 1)x3 + (m - 1)x2 - x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞) .

Hướng dẫn giải

Trường hợp: m = 1. Ta có: y = -x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên \mathbb{R} .

Do đó nhận m = 1 .

Trường hợp 2: m = -1. Ta có: y = -2x2 - x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên \mathbb{R} .

Do đó loại m = -1.

Trường hợp 3: m eq \pm 1 . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( - \infty; + \infty) \Leftrightarrow y' \leq 0\ \ \forall x\mathbb{\in R} , dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên \mathbb{R} .

⇔ 3(m2 - 1)x2 + 2(m - 1)x - 1 ≤ 0, \forall x\mathbb{\in R\ \ }

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 1 < 0 \\ (m - 1)^{2} + 3\left( m^{2} - 1 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 1 < 0 \\ (m - 1)(4m + 2) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < m < 1 \\ - \frac{1}{2} \leq m \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m < 1

Vì m\mathbb{\in Z} nên m = 0.

Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.

II. Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số

Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên \mathbb{R}?

A. f(x) = x4 - 4x2 + 4. B. f(x) = x3 + 3x2 + 10x + 2.
C.f\left( x \right)=-\frac{4}{5}{{x}^{5}}+\frac{4}{3}{{x}^{3}}-x D. f(x) = x3 + 10x - cos2x

Câu 2: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Hỏi hàm số đồng biến trên khi nào?

A. \left[ \begin{matrix} a=b=c=0 \\ a<0,{{b}^{2}}-3ac<0 \\ \end{matrix} \right. B. \left[ \begin{matrix} a=b=0,c>0 \\ a<0,{{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{matrix} \right.
C. \left[ \begin{matrix} a=b=0,c>0 \\ a>0,{{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{matrix} \right. D. \left[ \begin{matrix} a=b=0,c>0 \\ a>0,{{b}^{2}}-3ac\ge 0 \\ \end{matrix} \right.

Câu 3: Cho các hàm số sau:

(1): y = -x3 + 3x2 - 3x + 1

(2): y=-\sqrt{{{x}^{3}}+2}

(3): y = -2x + sinx

(4): y=\frac{2-x}{x-1}

Hàm số nào nghịch biến trên \mathbb{R}?

A. (1); (2), B. (1); (2); (3).
C. (1); (2); (4). D. (2); (3).

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y = -1/3x3 - 3x2 + (2m - 3)x + 2 - m luôn nghịch biến trên \mathbb{R}

A. -3 ≤ m ≤ 1. B. m ≤ 1.
C. -3 < m < 1

D. m ≥ -3.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y = f(x) = m.cosx + x luôn đồng biến trên \mathbb{R}

A. -1 ≤ m ≤ 1. B. m>\frac{\sqrt{3}}{2}
C.m<\frac{1}{2} D. \left[ \begin{matrix} m\ge 1 \\ m\le -1 \\ \end{matrix} \right.

Câu 6: Cho hàm số y = 1/3x3 + 3x2 - mx - m. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R}

A. m = 0. B. m = -1.
C. m = -5. D. m = -6.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

Chọn file muốn tải về:

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

382,7 KB

  • Tải xuống Word

    252,5 KB
37
417.285 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này

Thông tin thanh toán nhanh

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

25.000đ

Hỗ trợ Zalo