Tìm tâm đối xứng, trục đối xứng và mặt phẳng đối xứng của khối đa diện

Chuyên đề đối xứng trong khối đa diện toán 12

Trong chuyên đề Khối đa diện Toán 12, các bài toán xác định tâm đối xứng, trục đối xứng và mặt phẳng đối xứng là dạng kiến thức quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về tính chất hình học không gian. Đây không chỉ là nội dung thường gặp trong các câu hỏi lý thuyết mà còn là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán vận dụng liên quan đến khối đa diện đều, hình chóp, hình lăng trụ và các khối đối xứng trong đề thi THPT Quốc gia.

A. Cách tìm tâm đối xứng, trục đối xứng và mặt phẳng đối xứng

Xét điểm I là tâm đối xứng của hình ( H )

Khi ta vẽ đường thẳng bất kỳ qua I và đường thẳng này cắt hình ( H ) tại hai điểm A , B thì IA = IB . Nếu có một đường thẳng ngoại lệ như trên thì ta nói điểm đang xét không phải tâm đối xứng của hình ( H ).

Điểm I trong hình bên có được tính chất trên, ta có thể tìm nhiều cặp điểm thỏa mãn: \(IA = IB,\,\,IM = IN...\). Không tìm được trường hợp ngoại lệ. Vậy hình hộp sẽ có tâm đối xứng là điểm I như hình vẽ.

Mặt phẳng đối xứng của một hình

Mặt phẳng đối xứng của một hình luôn chia hình đó thành hai hình giống nhau. Nếu ta vẽ một đường thẳng bất kỳ vuông góc với mặt phẳng này tại I và cắt hình ( H ) tại hai điểm A , B thì ta luôn có IA = IB . Nếu có một đường thẳng ngoại lệ như thế thì mặt phẳng t ương ứng không phải là mặt phẳng đối xứng của hình ( H ).

Xét hình lăng trụ tam giác đều ( H ) như hình vẽ. Ta thấy mặt phẳng ( P ) là mặt phẳng đối xứng của hình ( H ) . Nếu ta vẽ bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với ( P ) và cắt hình ( H ) tại hai điểm thì hai điểm này sẽ đối xứng qua ( P ), theo hình vẽ ta thấy \(IA = IB,\,\,JM = JN...\)

Ngoài hai nội dung là tâm đối xứng và mặt phẳng đối xứng, học sinh cần xem thêm trục đối xứng cũng như các phép dời hình còn lại.

B. Ví dụ minh họa có đáp án chi tiết

Hướng dẫn giải:

Có hai kiểu mặt phẳng đối xứng của hình chóp tứ giác đều:

Kiểu 1: Mặt phẳng được xác định bởi đỉnh S và hai đỉnh đối diện của đáy: có 2 mặt gồm: (SAC), (SBD).

Kiểu 2: Mặt phẳng được xác định bởi đỉnh S và hai trung điểm của hai cạnh đáy đối diện: có 2 mặt gồm: (SMN) và (SIJ). Xem hình.

Vậy có 4 mặt phẳng đối xứng cần tìm. Chọn C.

Hướng dẫn giải:

Ta hình dung bát diện đều chính là hai hình chóp tứ giác đều úp đáy vào nhau (đáy là hình vuông), tâm của hình vuông này chính là tâm đối xứng của hình bát diện đều (có thể kiểm tra tính chất).

Xét hình lập phương, một mặt chéo bất kỳ của nó sẽ là hình chữ nhật, tâm của hình chữ nhật ấy chính là tâm đối xứng của hình lập phương (có thể kiểm tra lại tính chất).

Xét hình lăng trụ lục giác đều: Chọn mặt phẳng chứa hai cạnh bên đối diện nhau, thiết diện tạo bởi mặt phẳng ấy với hình lăng trụ sẽ là hình chữ nhật, tâm của hình chữ nhật này là tâm đối xứng của hình lăng trụ lục giác đều (có thể kiểm lại tính chất).

Vậy chỉ có hình tứ diện đều là không có tâm đối xứng. Dựa vào định nghĩa đã học về tâm đối xứng, ta có thể kiểm chứng điều này.

Chọn A.

Hướng dẫn giải:

Gọi tên các đỉnh và các trung điểm như hình vẽ.

Ta nhận thấy tứ diện ban đầu được chia làm: Một hình bát diện là SMNPQR và bốn tứ diện gồm AMRQ, BMNS, CNPR, DPQS. Chọn C.

-----------------------------

FAQ

Hình hộp chữ nhật có tâm đối xứng không?

Có. Tâm đối xứng chính là giao điểm của bốn đường chéo không gian của hình hộp chữ nhật.

Tâm đối xứng và tâm của khối đa diện có giống nhau không?

Trong nhiều trường hợp chúng trùng nhau, nhưng về mặt hình học cần xét theo định nghĩa đối xứng tâm để kết luận chính xác.

Khối tứ diện đều có tâm đối xứng không?

Không. Tứ diện đều có nhiều tính chất đối xứng nhưng không có tâm đối xứng theo định nghĩa hình học.

-------------------

Việc thành thạo cách tìm tâm đối xứng, trục đối xứng và mặt phẳng đối xứng của khối đa diện sẽ giúp học sinh nâng cao khả năng quan sát hình học không gian và giải quyết hiệu quả các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Thường xuyên luyện tập với các khối đa diện quen thuộc là cách tốt nhất để ghi nhớ tính chất đối xứng và đạt điểm cao trong các kỳ kiểm tra, thi tốt nghiệp THPT.