Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm tham số m để đạo hàm của hàm số không đổi dấu

Xét tính đơn điệu của hàm số chứa tham số có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương pháp xét dấu đạo hàm chứa tham số nhanh nhất

Trong chuyên đề khảo sát hàm số Toán 12, dạng toán tìm tham số m để đạo hàm không đổi dấu xuất hiện rất phổ biến trong đề thi THPT Quốc gia. Nắm chắc phương pháp giải sẽ giúp bạn xử lý nhanh các câu vận dụng và vận dụng cao.

Tóm tắt nội dung:

Bài viết hướng dẫn cách tìm tham số m để đạo hàm của hàm số không đổi dấu thông qua bảng xét dấu, điều kiện đạo hàm và các dạng bài thường gặp, giúp học sinh Toán 12 nâng cao kỹ năng xét tính đơn điệu.

A. Các dạng toán và cách tìm m để đạo hàm không đổi dấu

Bài toán 1: Tìm m để hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ đơn điệu trên tập số thực.

Phương pháp:

Bước 1: Đạo hàm $y' = 3ax^{2} + 2bx + c$ .

Bước 2: Điều kiện đơn điệu (khi $a \neq 0$ ):

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R \Leftrightarrow}y' \geq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a_{y'} > 0 \\ \Delta_{y'} \leq 0 \end{matrix} \right.$ .
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R \Leftrightarrow}y' \leq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a_{y'} < 0 \\ \Delta_{y'} \leq 0 \end{matrix} \right.$ .

Lưu ý: Nếu hàm bậc ba $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ có chứa tham số thì ta cần xét để kiểm tra xem hàm số có đơn điệu trên $\mathbb{R}$ hay không.

Bài toán 2: Tìm m để hàm nhất biến $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ đơn điệu trên từng khoảng xác định

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác định: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - \frac{d}{c} \right\}$ . Đạo hàm: $y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^{2}}$ .

Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định $\Leftrightarrow y' > 0,\forall x \in D \Leftrightarrow ad - bc > 0$ .
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $\Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in D \Leftrightarrow ad - bc < 0$ .

Lưu ý: Nếu hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ có chứa tham số thì ta nên xét để kiểm tra xem hàm số có đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó hay không.

B. Ví dụ minh họa cụ thể phương pháp giải

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của tham số để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (8 - 2m)x + m + 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có $y' = x^{2} - 2mx + (8 - 2m)$ . Nhận thấy $a = 1 \neq 0$ .

Hàm số đồng biến trên

$\mathbb{R\Leftrightarrow}y' \geq 0,\forall x\mathbb{\in R\Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix}a > 0 \\\Delta' \leq 0\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 \geq 0 \\m^{2} - 8 + 2m \leq 0\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 2.$

Ta thấy thỏa mãn đề bài.

Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị của tham số để hàm số $y = (m - 1)x^{3} + (m - 1)x^{2} - (2m + 1)x + 5$ nghịch biến trên tập xác định.

A. $- \frac{5}{4} \leq m \leq 1$ . B. $- \frac{2}{7} \leq m < 1$ . C. $- \frac{7}{2} \leq m < 1$ . D. $- \frac{2}{7} \leq m \leq 1$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: $y' = 3(m - 1)x^{2} + 2(m - 1)x - (2m + 1)$ .

Xét $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ , ta có: $y' = - 3 < 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ nên hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}$ . Do đó thỏa mãn. (*)

Xét $m - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1$ .

Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{matrix}m - 1 < 0 \\\Delta' = (m - 1)^{2} + 3(m - 1)(2m + 1) \leq 0\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m < 1 \\7m^{2} - 5m - 2 \leq 0\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - \frac{2}{7} \leq m <1$ . (**)

Hợp các kết quả của (*) và (**), ta có $- \frac{2}{7} \leq m \leq 1$ thỏa mãn đề bài.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số $y = \frac{x + m^{2}}{x + 4}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. 5. B. 2. C. 3. D. 1.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Tập xác định: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 4 \right\}$ . Đạo hàm: $y' = \frac{4 - m^{2}}{(x + 4)^{2}}.$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó $\Leftrightarrow y' > 0,\ \ \forall x \neq - 4$

$\Leftrightarrow 4 - m^{2} > 0 \Leftrightarrow m^{2} < 4 \Leftrightarrow m \in ( - 2;2)$ .

Vì $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1 \right\}.$

Vậy có 3 giá trị của thỏa mãn.

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Bài tập 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số sao cho hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} + 4x + 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}\ ?$

A. B. C. D.

Bài tập 2. Cho hàm số $y = - x^{3} - mx^{2} + (4m + 9)x + 5$ với là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)\ ?$

A. B. C. D.

Bài tập 3. Tìm các giá trị của để hàm số $f(x) = (m^{2} - 4)x^{3} + 3(m - 2)x^{2} + 3x - 4$ đồng biến trên $\mathbb{R}\ ?$

A. $m \geq 2.$ B. $m \leq 2.$ C. D.

Bài tập 4. Hỏi có bao nhiêu số nguyên của tham số để hàm số $y = (m^{2} - 1)x^{3} + (m - 1)x^{2} - x + 4$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)\ ?$

A. B. C. D.

📘 Nội dung tài liệu còn tiếp tục, mời bạn tải bản đầy đủ để tham khảo chi tiết hơn.

------------------------------------------------------------

FAQ

❓ 1. Đạo hàm không đổi dấu nghĩa là gì?

Là đạo hàm luôn dương, luôn âm hoặc bằng 0 trên khoảng xét.

❓ 2. Làm sao tìm tham số m để đạo hàm không đổi dấu?

Xét điều kiện của biểu thức đạo hàm và sử dụng bảng xét dấu.

❓ 3. Khi nào hàm số đồng biến?

Khi đạo hàm của hàm số không âm và dương trên khoảng cần xét.

❓ 4. Dạng toán này có thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia không?

Có, đặc biệt ở các câu vận dụng về tính đơn điệu và tham số.

❓ 5. Có thể dùng delta để xét dấu đạo hàm không?

Có. Với đạo hàm bậc hai, điều kiện Δ ≤ 0 thường được sử dụng để xét không đổi dấu.

---------------------------------------------

Hiểu rõ điều kiện để đạo hàm không đổi dấu giúp bạn giải hiệu quả các bài toán tham số liên quan đến tính đơn điệu. Đây là chuyên đề quan trọng cần luyện tập thường xuyên để đạt điểm cao.

Tải về

Chọn file muốn tải về: