Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tính đơn điệu của hàm hợp có dạng phức tạp

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương pháp xét đồng biến nghịch biến hàm hợp lớp 12a

Trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán, các bài toán về hàm hợp phức tạp thường xuất hiện ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Việc nắm vững cách xét sự đồng biến, nghịch biến sẽ giúp học sinh tăng khả năng phân tích và xử lý bài toán hiệu quả.

Tóm tắt nội dung:

Bài viết trình bày phương pháp xét tính đơn điệu của hàm hợp có dạng phức tạp thông qua đạo hàm, quy tắc hàm hợp và bảng xét dấu, giúp học sinh giải nhanh các bài toán vận dụng cao trong chuyên đề hàm số.

A. Cách xét tính đơn điệu của hàm hợp dạng phức tạp

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số chứa hàm hợp, đưa về dạng tích nếu có thể.

Bước 2: Tìm nghiệm của nếu nó có dạng tích (có thể vẽ thêm đường thẳng, đường cong bổ sung vào hình vẽ đồ thị đạo hàm cho sẵn).

Nếu không có dạng tích mà là dạng tổng hiệu $P(x) \pm Q(x)$ thì ta có thể tìm nghiệm của từng hàm.

Bước 3: Lập bảng xét dấu của đạo hàm của hàm hợp.Bước 3: Kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số.

Nhận xét: Nếu đạo hàm của hàm hợp có dạng tích (thương) đơn giản thì ta có thể giải bất phương trình $y' > 0\ \ \ (hay\ \ y' < 0)$ để tìm các khoảng đồng biến (hay nghịch biến) của hàm số mà không cần phải lập bảng biến thiên như nội dung bước 2.

B. Ví dụ minh họa xét tính đơn điệu của hàm hợp dạng khó

Ví dụ 1. Cho hàm số có đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ.

Hàm số $g(x) = f(x) - \frac{(x + 1)^{2}}{2}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $( - 3\ ;\ 1)$ . B. . C. . D. $\left( - 1\ ;\ \frac{3}{2} \right)$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: g'(x) = f'(x) - (x +
1) ; $g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = x + 1$ .

Từ giả thiết, ta xét $g^{'(x)} > 0 \Leftrightarrow f^{'(x)} - (x + 1) > 0$

$\Leftrightarrow \boxed{f'(x) > x + 1}$

Vẽ đồ thị hàm số lên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y
= f'(x) ta thấy: $f'(x) \geq x + 1 \Leftrightarrow x \in ( - 3;1) \cup (3; + \infty)$ .

Nhận xét: Giải bất phương trình f'(x)
> x + 1 nghĩa là ta đi tìm tập hợp các giá trị x để đồ thị y = f'(x) nằm phía trên đường thẳng .

Ví dụ 2. Cho hàm số có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số f'(x) như hình vẽ sau.

Hỏi hàm số $g(x) = f(x) - \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - x$ nghịch biến trên khoảng nào?

A. $( - 1\ ;\ 1)$ . B. $(0\ ;\ \ 1)$ . C. $(1\ ;\ \ 2)$ . D. $(2\ ;\ \ 3)$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: $g'(x) = f'(x) - x^{2} + 2x - 1$ .

Từ giả thiết, ta xét $g'(x) < 0 \Leftrightarrow f'(x) - x^{2} + 2x - 1 < 0 \Leftrightarrow \boxed{f'(x) < x^{2} - 2x + 1}$ .

Vẽ đường parabol $y = x^{2} - 2x + 1$ trên cùng một hệ trục với đồ thị y = f'(x) .

Ta có: $f'(x) < x^{2} - 2x + 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ 1 < x < 2 \end{matrix} \right.$ .

Nhận xét: Giải bất phương trình $f'(x) < x^{2} - 2x + 1$ nghĩa là ta đi tìm tập hợp các giá trị x để đồ thị y = f'(x) nằm phía dưới parabol $y = x^{2} - 2x + 1$ .

Ví dụ 3. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Hàm số $y = \left( f(x) \right)^{3} - 3\left( f(x) \right)^{2}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(2\ ;\ 3)$ . B. $(1\ ;\ 2)$ . C. $(3\ ;\ 4)$ . D. $( - \infty\ ;\ - 1)$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Đặt $g(x) = \left( f(x) \right)^{3} - 3\left( f(x) \right)^{2}$ ;

$g'(x) = 3\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}.f'(x) - 6f(x).f'(x) = 3f'(x).f(x)\left\lbrack f(x) - 2 \right\rbrack$ ;

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f'(x) = 0 \\ f(x) = 0 \\ f(x) = 2 \end{matrix} \right.$ .

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ x = 4 \end{matrix} \right.$ ; $f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = x_{1} < 1 \\ x = 4 \end{matrix} \right.$ ; $f(x) = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = x_{2} \in \left( x_{1};\ 1 \right) \\ x = x_{3} \in (1\ ;\ 2) \\ x = 3 \\ x = x_{4} > 4 \end{matrix} \right.$ .

Bảng xét dấu của g'(x) :

Ta thấy hàm số $y = \left( f(x) \right)^{3} - 3\left( f(x) \right)^{2}$ nghịch biến trên khoảng $(2\ ;\ 3)$ .

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có đáp án

Câu 1. Cho hàm số xác định trên tập số thực $\mathbb{R}$ và có đồ thị f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây ?

A. $(1; + \infty).$

C. $(2; + \infty).$

D. $( - \infty; - 1).$

Câu 2. Cho hàm số liên tục trên $\mathbb{R}.$ Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số $g(x) = 2f(x) - x^{2}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây ?

C. $( - \infty;0).$

D. $(2; + \infty).$

Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}.$ Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Hàm số $g(x) = 2f(x) + (x + 1)^{2}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

C. $( - \infty;3).$

D. $(3; + \infty).$

Câu 4. Cho hàm số xác định trên $\mathbb{R}.$ Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Trên đoạn $\lbrack 0;3\rbrack,$ hàm số $g(x) = 3f(x) + x^{3} - 15x$ nghịch biến trên khoảng nào?

Câu 5. Cho hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số f'(x) như hình bên dưới. Hỏi hàm số $y = f(x) - \frac{1}{3}x^{3} - \frac{3}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x + 20$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. $( - \infty; - 2).$

D. $(1; + \infty).$

Câu 6. Cho hàm số đồ thị của hàm số y = f'(x) là đường cong như hình bên dưới. Trên đoạn $\left\lbrack \frac{1}{2};2 \right\rbrack$ hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?

D. $\left( \frac{1}{2};1 \right) \cdot$

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

----------------------------------------

FAQ

❓ 1. Hàm hợp dạng phức tạp là gì?

Là hàm số có nhiều lớp hàm lồng nhau hoặc chứa biểu thức biến đổi phức tạp.

❓ 2. Làm sao xét tính đơn điệu của hàm hợp?

Tính đạo hàm bằng quy tắc đạo hàm hợp rồi xét dấu của đạo hàm.

❓ 3. Có cần xét tập xác định không?

Có, đây là bước quan trọng trước khi xét đồng biến nghịch biến.

❓ 4. Khi nào hàm hợp đồng biến?

Khi đạo hàm của hàm hợp dương trên khoảng xét.

❓ 5. Dạng toán này có thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia không?

Có, thường xuất hiện trong các câu vận dụng cao phần hàm số.

---------------------------------------

Hiểu rõ tính đơn điệu của hàm hợp dạng phức tạp giúp học sinh làm chủ các kỹ thuật đạo hàm nâng cao và nâng cao tư duy giải toán. Đây là chuyên đề quan trọng để chinh phục các câu hỏi khó trong kỳ thi THPT Quốc gia.

Tải về

Chọn file muốn tải về: