Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tính đơn điệu của một số hàm lượng giác chứa tham số

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm lượng giác

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập hàm lượng giác chứa tham số có đáp án

Hàm lượng giác chứa tham số là dạng toán thường xuất hiện trong chuyên đề khảo sát hàm số Toán 12. Việc nắm chắc cách xét sự đồng biến, nghịch biến sẽ giúp học sinh xử lý hiệu quả các câu hỏi vận dụng và nâng cao.

Tóm tắt nội dung:

Bài viết hướng dẫn cách xét tính đơn điệu của các hàm lượng giác chứa tham số bằng phương pháp đạo hàm, điều kiện xác định và bảng xét dấu, giúp học sinh giải nhanh các dạng toán vận dụng trong đề thi THPT Quốc gia.

A. Cách tìm m để hàm lượng giác đơn điệu

Phương pháp:

Cách giải chủ yếu là cô lập tham số rồi tìm max-min hàm số ở vế còn lại.

Sử dụng một số kết quả có sẵn của lượng giác:

$- 1 \leq \sin x \leq 1,\ \ \forall x\mathbb{\in R};\ \ - 1 \leq \cos x \leq 1,\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ .

Một số tính chất thừa nhận:

$\boxed{at + b \geq 0,\ \ \forall t \in \left\lbrack t_{1}\ ;\ t_{2} \right\rbrack \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} at_{1} + b \geq 0 \\ at_{2} + b \geq 0 \end{matrix} \right.\ }$ ; $\boxed{at + b \geq 0,\ \ \forall t \in \left( t_{1}\ ;\ t_{2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} at_{1} + b > 0 \\ at_{2} + b > 0 \end{matrix} \right.\ }$ .(Hoàn toàn tương tự cho trường hợp dấu bất phương trình ngược lại).

B. Ví dụ minh họa xét tính đơn điệu của hàm lượng giác chứa tham số m

Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\ ?$

A. $m \geq 0.$ B. $m \leq - 2.$ C. $m \geq 2.$ D. $m \geq - 1.$

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: $y' = m - 2sin2x \geq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}$

$\Rightarrow m \geq 2sin2x,\ \ \forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}m \geq 2$

(vì $sin2x \leq 1,\ \ \forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}2sin2x \leq 2,\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ ).

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số $y = \sin x - \cos x + (2m - 1)x + m^{3}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}\ ?$

A. $m \leq \frac{1 - \sqrt{2}}{2}.$ B. $m \leq - \sqrt{2}.$ C. $m \geq \frac{1 + \sqrt{2}}{2}.$ D. $m \geq \sqrt{2}.$

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: $y' = \cos x + \sin x + 2m - 1 \leq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}$

$\Rightarrow \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leq - 2m + 1,\ \ \forall x\mathbb{\in R}$

$\Rightarrow - 2m + 1 \geq \sqrt{2} \Rightarrow m \leq \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ (vì $\sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leq \sqrt{2},\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ ).

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số $y = (m^{2} - 3)sinx - \tan x$ nghịch biến trên $\left( - \frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2} \right).$

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: $y' = (m^{2} - 3)cosx - \frac{1}{cos^{2}x}.$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$

$\Leftrightarrow \left( m^{2} - 3 \right)\cos x - \frac{1}{cos^{2}x} \leq 0,\ \forall x \in \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$

$\Leftrightarrow m^{2} - 3 \leq \frac{1}{cos^{3}x},\ \forall x \in \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$ .

Ta biết rằng $0 < \cos x \leq 1,\ \forall x \in \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$

$\Rightarrow \frac{1}{cos^{3}x} \geq 1,\ \forall x \in \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$ .

Do đó yêu cầu đề bài $\Leftrightarrow m^{2} - 3 \leq 1$ $\Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2.$

Vì m nguyên nên $m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 \right\}$ .

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có đáp án

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số $y = mx - \sin x$ đồng biến trên $\mathbb{R}\ ?$

A. B. $m \leq - 1.$ C. $m \geq 1.$ D. $m \geq - 1.$

Câu 2. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in ( - 10;10)$ để hàm số luôn nghịch biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)\ ?$

A. B. C. D.

Câu 3. Tìm các giá trị của tham số để hàm số $y = \sin x + \cos x + mx$ đồng biến trên $\mathbb{R}\ ?$

A. $- \sqrt{2} < m < \sqrt{2}.$ B. $m \leq - \sqrt{2}.$

C. $m \geq \sqrt{2}.$ D. $- \sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}.$

Câu 4. Tìm các giá trị của để hàm số $y = \sin x - \sqrt{3}\cos x - mx$ đồng biến trên $( - \infty; + \infty)\ ?$

A. $m \leq - 2.$ B. C. $m \geq 2.$ D. $m \geq 1.$

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

-------------------------------------

FAQ

❓ 1. Làm sao xét tính đơn điệu của hàm lượng giác?

Tính đạo hàm và xét dấu của đạo hàm trên khoảng cần xét.

❓ 2. Hàm lượng giác chứa tham số cần lưu ý gì?

Cần xét điều kiện của tham số để đạo hàm không đổi dấu.

❓ 3. Khi nào hàm lượng giác đồng biến?

Khi đạo hàm dương trên khoảng xác định.

❓ 4. Có cần dùng bảng biến thiên không?

Có, bảng biến thiên giúp xác định rõ các khoảng đồng biến và nghịch biến.

❓ 5. Dạng toán này có xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia không?

Có, thường gặp trong các câu vận dụng phần khảo sát hàm số.

-------------------------------------

Hiểu rõ phương pháp xét tính đơn điệu của hàm lượng giác chứa tham số giúp học sinh củng cố kỹ năng đạo hàm và nâng cao tư duy giải toán. Đây là chuyên đề quan trọng cần luyện tập thường xuyên khi ôn thi THPT Quốc gia.

Tải về

Chọn file muốn tải về: