Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tính đơn điệu hàm số có đạo hàm cho trước

Cách xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách xét tính đơn điệu khi biết đạo hàm nhanh nhất

Trong chuyên đề khảo sát hàm số Toán 12, dạng toán xét tính đơn điệu khi biết đạo hàm xuất hiện rất phổ biến. Việc hiểu rõ mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và sự biến thiên của hàm số sẽ giúp học sinh làm bài chính xác và hiệu quả hơn.

Tóm tắt nội dung:

Bài viết hướng dẫn cách xét tính đơn điệu của hàm số khi biết trước đạo hàm thông qua bảng xét dấu, khoảng xác định và điều kiện đồng biến – nghịch biến, giúp học sinh giải nhanh các dạng toán thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia.

A. Cách xét tính đơn điệu của hàm số có đạo hàm cho trước

Phương pháp:

Bước 1: Cho đạo hàm bằng 0 để tìm nghiệm (nếu có), lưu ý nghiệm đơn, nghiệm kép.
Bước 2: Lập bảng xét dấu của đạo hàm.Bước 3: Kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số.

B. Ví dụ minh họa xét tính đơn điệu của hàm có đạo hàm cho trước

Ví dụ 1. Cho hàm số có f'(x) = (x - 2)(x + 5)(x + 1), $\forall x\mathbb{\in R}.$ Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. $(2; + \infty).$ B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có:

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 5)(x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x = 2 \vee x = - 5 \vee x = - 1$ .

Bảng biến thiên:

Vậy đồng biến trên các khoảng $( - 5\ ;\ - 1)$ và $(2\ ;\ + \infty)$ .

Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'(x) = (x + 2)(x - 1)^{2026}(x - 2)^{2029}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 2\ ;\ \ 1)$ .

B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(1\ ;\ \ 2)$ và $(2\ ;\ + \infty)$ .

C. Hàm số nghịch biến trên $( - 3\ ;\ \ - 2)$ .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 2\ ;\ 2)$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có $f^{'(x)} = 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x - 1)^{2026}(x - 2)^{2029} = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{matrix} \right.$ (nghiệm kép).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty; - 2),\ \ (2; + \infty)$ ; hàm số nghịch biến trên khoảng

Ví dụ 3. Cho hàm số có đạo hàm $f'(x) = (3 - x)\left( x^{2} - 1 \right) + 2x,\ \forall x\mathbb{\in R}$ . Hỏi hàm số $g(x) = f(x) - x^{2} - 1$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây ?

A. $(3\ ;\ + \infty)$ . B. $( - \infty\ ;\ 1)$ . C. $(1\ ;\ 2)$ . D. $( - 1\ ;\ 0)$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có:

$g'(x) = f'(x) - 2x = (3 - x)\left( x^{2} - 1 \right) + 2x - 2x = (3 - x)\left( x^{2} - 1 \right)$ ;

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow (3 - x)\left( x^{2} - 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ x = \pm 1 \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên:

Ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty; - 1),\ \ (1;3)$ .

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có đáp án

Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm $f'(x) = (x + 1)^{2}(x - 1)^{3}(2 - x),$ $\forall x\mathbb{\in R}.$ Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. $(2; + \infty).$ B. C. D. $( - \infty; - 1).$

Câu 2. Hàm số có đạo hàm $f'(x) = x^{2}(x + 1)^{2}(x + 2),\ \forall x\mathbb{\in R}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 2; + \infty).$

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - 2; - 1),\ (0; + \infty).$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 2).$

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty; - 2),\ (0; + \infty).$

Câu 3. Cho hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'(x) = (x + 1)^{2028}(x - 1)^{2027}(2 - x).$ Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $( - 1\ ;1)$ . B. $(2\ ; + \infty)$ . C. $(1\ ;2)$ . D. $( - \infty\ ; - 1)$ .

Câu 4. Cho có đạo hàm $f'(x) = - x^{2} + 5x - 6,\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ . Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

A. $( - \infty;2)$ và $(3; + \infty)$ . B. $(3; + \infty)$ . C. $(2; + \infty)$ . D. .

Câu 5. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình bên.

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $( - \infty;\ 0).$ B. $(1; + \infty).$ C. $(0; + \infty).$ D. $( - \infty;\ 1).$

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

------------------------------------------------

FAQ

❓ 1. Khi nào hàm số đồng biến?

Khi đạo hàm của hàm số dương trên khoảng xét.

❓ 2. Khi nào hàm số nghịch biến?

Khi đạo hàm âm trên khoảng cần xét.

❓ 3. Có cần lập bảng biến thiên không?

Có, bảng biến thiên giúp xác định rõ các khoảng biến thiên của hàm số.

❓ 4. Đạo hàm bằng 0 có ảnh hưởng gì?

Đó có thể là điểm cực trị hoặc điểm đổi chiều của hàm số.

❓ 5. Dạng toán này có quan trọng trong đề THPT Quốc gia không?

Có, đây là dạng toán nền tảng thường xuất hiện trong phần khảo sát hàm số.

-------------------------------

Nắm chắc cách xét tính đơn điệu từ đạo hàm cho trước là nền tảng quan trọng để giải tốt các bài toán khảo sát hàm số và tham số. Luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nâng cao tốc độ và tư duy xử lý bài thi.

Tải về

Chọn file muốn tải về: