Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tính thể tích khối chóp bằng các công thức cơ bản

Bài tập Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương pháp giải nhanh thể tích khối chóp Toán 12

Thể tích khối chóp là một trong những chuyên đề trọng tâm của Hình học không gian lớp 12, xuất hiện thường xuyên trong các đề thi tốt nghiệp THPT và các kỳ thi đánh giá năng lực. Để giải nhanh các bài toán liên quan, học sinh cần nắm chắc công thức tính thể tích khối chóp, cách xác định diện tích đáy và chiều cao cũng như các phương pháp khai thác quan hệ hình học trong không gian. Bài viết này sẽ tổng hợp đầy đủ kiến thức, công thức cơ bản và các dạng bài tập thường gặp giúp bạn ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả hơn.

Công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp với đường cao $h$ và diện tích đa giác đáy ${S_d}$ ${S_d}$ là: ${V = \frac{1}{3}h.{S_d}}$ ${V = \frac{1}{3}h.{S_d}}$.

Chú ý:

Nếu hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao của hình chóp.
Nếu hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy thì đường cao của tam giác (tương ứng mặt bên) kẻ từ đỉnh hình chóp cũng chính là đường cao của hình chóp đó.
Hình chóp đều có đường cao nối từ đỉnh đến tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Phương pháp:

Sử dụng định lý Pi-ta-go để tìm độ dài đường cao hoặc các đoạn thẳng trong đa giác đáy.
Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông hoặc tam giác thường , các công thức diện tích đã học.

Bài tập ví dụ minh họa tính thể tích khối chóp đơn giản

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt 2$ $SA = a\sqrt 2$ . Tính thể tích $V$ của hình chóp $S.ABCD$

A. $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}$ $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}$ . B. $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{4}$ $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{4}$ .

C. $V = \sqrt 2 {a^3}$ $V = \sqrt 2 {a^3}$ . D. $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$ $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$ .

Hướng dẫn giải:

Diện tích đáy: ${S_{ABCD}} = {a^2}$ ${S_{ABCD}} = {a^2}$ .

Thể tích khối chóp: ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}.$ ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}.$

Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật tâm $O$ . Biết $AB = a,\,\,AD = a\sqrt 3 ,\,\,SA = 2a$ $AB = a,\,\,AD = a\sqrt 3 ,\,\,SA = 2a$ và $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ . Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

A. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$ $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$ . B. $\frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{4}$ $\frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{4}$ . C. $\frac{{{a^3}}}{3}$ $\frac{{{a^3}}}{3}$ . D. $\frac{{{a^3}}}{2}$ $\frac{{{a^3}}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

Diện tích đáy: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AB.AD = \frac{1}{2}.a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$ ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AB.AD = \frac{1}{2}.a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

. $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a$ $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a$

$\Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = a$ $\Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = a$

Xét tam giác SOA vuông tại O có:

. $SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3$ $SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3$

Thể tích của hình chóp là: ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}$ ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}$

Chọn D.

Ví dụ 3. Tính thể tích của khối tứ diện đều có tất cả các cạnh đều bằng $a$ .

A. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$ $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$ B. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$ $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$ . C. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$ $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$ . D. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$ $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$ .

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ , $H$ là trọng tâm tam giác $BCD$ suy ra AH là đường cao hình chóp A.BCD.

Ta có: $BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ $BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ , $BH = \frac{2}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ $BH = \frac{2}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ .

$\Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}$ $\Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}$ $= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}$ $= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}$ $= \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$ $= \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$; ${S_{\Delta BCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ ${S_{\Delta BCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Vậy thể tích tứ diện là ${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{\Delta BCD}}.$ ${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{\Delta BCD}}.$ $= \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ $= \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ . Chọn A

Tổng kết:

Thể tích khối tứ diện đều: ${V = \frac{{{{(canh)}^3}\sqrt 2 }}{{12}}}$ ${V = \frac{{{{(canh)}^3}\sqrt 2 }}{{12}}}$ .

Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và có $AB = a,\,\,BC = a\sqrt 3$ $AB = a,\,\,BC = a\sqrt 3$ . Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$ .

A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$ $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$ . B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$ $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$ . C. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$ $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$ . D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$ $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$ .

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB$ . Do $\Delta SAB$ $\Delta SAB$ đều nên $SH \bot AB$ $SH \bot AB$ . Hơn nữa (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABC) nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$ $SH \bot \left( {ABC} \right)$ . Do đó: SH là chiều cao của khối chóp $S.ABC$ .

$\Delta ABC$ $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , ta có:

. $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 2$ $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 2$

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$ ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$; $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ (do tam giác SAB đều cạnh a).

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là: ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$ ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$ . Chọn C.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-----------------------------------------

Việc thành thạo các công thức tính thể tích khối chóp sẽ giúp học sinh xử lý nhanh nhiều dạng bài hình học không gian từ cơ bản đến nâng cao. Bên cạnh việc ghi nhớ công thức, người học cần rèn luyện kỹ năng dựng hình, xác định chiều cao và vận dụng linh hoạt các tính chất hình học để giải bài toán chính xác. Đây là nền tảng quan trọng giúp nâng cao điểm số trong các kỳ thi THPT Quốc gia và các bài kiểm tra học kỳ môn Toán 12.

Tải về

Chọn file muốn tải về: