Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tính thể tích khối chóp thông qua góc

Chuyên đề Thể tích khối chóp có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính thể tích khối chóp thông qua góc trong không gian

Chuyên đề tính thể tích khối chóp thông qua góc đòi hỏi học sinh phải kết hợp kiến thức về thể tích khối chóp, quan hệ vuông góc và hệ thức lượng trong không gian. Khi thành thạo cách khai thác các yếu tố góc để xác định chiều cao, học sinh sẽ giải quyết nhanh hơn các bài toán vận dụng và vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia. Hãy thường xuyên luyện tập các dạng bài điển hình để nâng cao kỹ năng tư duy không gian và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi quan trọng.

A. Các kiến thức cần nhớ

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Xét đường thẳng d cắt mặt phẳng ( P ) như hình vẽ. Ta tìm góc giữa d và ( P ) theo các bước sau:

Tìm M là giao điểm của d và ( P ).
Lấy A thuộc d và A khác M . Tìm hình chiếu vuông góc H của A trên ( P ).
Đường thẳng d’ qua hai điểm M , H chính là hình chiếu của d trên ( P ). Khi đó: ${\left( {\widehat {d,\left( P \right)}} \right) = \left( {\widehat {d,d$ ${\left( {\widehat {d,\left( P \right)}} \right) = \left( {\widehat {d,d'}} \right) = \widehat {AMH}}$.

Trong thực chiến , học sinh thường gặp góc giữa cạnh bên và mặt đáy . Khi đã biết được chân đường cao H của hình chóp, việc xác định góc được thực hiện theo thói quen (xem hình):

$\left( {\widehat {SA,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SAH}$ $\left( {\widehat {SA,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SAH}$;

$\left( {\widehat {SB,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SBH}$ $\left( {\widehat {SB,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SBH}$;

$\left( {\widehat {SC,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SCH}$ $\left( {\widehat {SC,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SCH}$;

$\left( {\widehat {SM,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SMH}$ $\left( {\widehat {SM,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SMH}$.

2. Góc giữa hai mặt phẳng

Xét hai mặt phẳng cắt nhau ( P ) và ( Q ), ta làm các bước sau để xác định góc giữa chúng:

Tìm giao tuyến d của ( P ) và ( Q ).
Tìm đường thẳng $a$ vuông góc d tại I trong mặt phẳng ( P ). Tìm đường thẳng b vuông góc d tại I trong mặt phẳng ( Q ).
Góc cần tìm: $\left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right) = \widehat {AIB}$ $\left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right) = \widehat {AIB}$.

Trong thực chiến , học sinh thường gặp góc giữa mặt bên và mặt đáy . Khi đã biết chân đường cao H của hình chóp, việc xác định góc này cũng được thực hiện theo thói quen (xem hình):

$\left( {\widehat {(SAB),(ABC)}} \right) = \widehat {SDH}$ $\left( {\widehat {(SAB),(ABC)}} \right) = \widehat {SDH}$;

$\left( {\widehat {(SBC),(ABC)}} \right) = \widehat {SEH}$ $\left( {\widehat {(SBC),(ABC)}} \right) = \widehat {SEH}$;

$\left( {\widehat {(SAC),(ABC)}} \right) = \widehat {SFH}$ $\left( {\widehat {(SAC),(ABC)}} \right) = \widehat {SFH}$.

B. Bài tập ví dụ minh họa tính thể tích khối chóp

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt 6$ $a\sqrt 6$, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $30^0$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$?

A. $V = 9{a^3}$ $V = 9{a^3}$. B. $V = 2{a^3}$ $V = 2{a^3}$. C. $V = {a^3}$ $V = {a^3}$ D. $V = 3{a^3}$ $V = 3{a^3}$.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: $AB = BC = CD = AD = a\sqrt 6$ $AB = BC = CD = AD = a\sqrt 6$; $BD = 2\sqrt 3 a \Rightarrow OB = \frac{{BD}}{2} = a\sqrt 3$ $BD = 2\sqrt 3 a \Rightarrow OB = \frac{{BD}}{2} = a\sqrt 3$.

Diện tích $\Delta ABC$ $\Delta ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = 3{a^2}$ ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = 3{a^2}$.

Vì góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30⁰ $\Rightarrow \widehat {SBO} = 30^\circ$ $\Rightarrow \widehat {SBO} = 30^\circ$. Ta có $SO = OB.\tan \widehat {SBO} = a$ $SO = OB.\tan \widehat {SBO} = a$.

Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là: ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a.3{a^2} = {a^3}$ ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a.3{a^2} = {a^3}$. Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SA$ tạo với đáy một góc $60^0$ và $SA = a\sqrt 3$ $SA = a\sqrt 3$, đáy là tứ giác có hai đường chéo vuông góc, $AC = BD = 2a$. Tính thể tích $V$ của khối chóp theo $a$.

A. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}$ $V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}$. B. $V = 3{a^3}$ $V = 3{a^3}$. C. $V = {a^3}$ $V = {a^3}$. D. $V = \frac{{3{a^3}}}{2}$ $V = \frac{{3{a^3}}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Diện tích đáy: ${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD = 2{a^2}$ ${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD = 2{a^2}$.

Dựng $SH \bot (ABCD)$ $SH \bot (ABCD)$.

Ta có: AH là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ( ABCD ).

Suy ra góc giữa $SA$ và đáy là $\widehat {SAH} = 60^\circ$ $\widehat {SAH} = 60^\circ$.

$\Rightarrow SH = SA.sin60^\circ = a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}$ $\Rightarrow SH = SA.sin60^\circ = a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}$

Vậy thể tích khối chóp là ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3a}}{2}.2{a^2} = {a^3}$ ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3a}}{2}.2{a^2} = {a^3}$. Chọn C.

Ví dụ 3. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC.$. Tam giác ABC vuông cân tại A; $AB = AC = a\sqrt 2$ $AB = AC = a\sqrt 2$ và SA tạo với mặt phẳng (ABC)) một góc 60⁰. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ ?

A. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$ $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$. B . $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$ $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$. C . $\frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}$ $\frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}$. D. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$ $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm BC , do tam giác ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp của .

Mặt khác ta có $SA = SB = SC$, do đó $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {SB,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SBH} = {60^0}.$ $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {SB,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SBH} = {60^0}.$

Xét tam giác vuông ABC có: $BC = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = 2a \Rightarrow BH = a.$ $BC = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = 2a \Rightarrow BH = a.$

Xét tam giác vuông SBH có: $SH = BH.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .$ $SH = BH.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .$

Diện tích đáy: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = {a^2}.$ ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = {a^2}.$

Vậy thể tích của khối chóp là: ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.$ ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.$ Chọn B.

Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SB tạo với mặt phẳng góc (SAD). Tính thể tích V của khối chóp $S.ABCD$ .

A. $V = \frac{{{a^3}}}{3}$ $V = \frac{{{a^3}}}{3}$. B. $V = {a^3}\sqrt 3$ $V = {a^3}\sqrt 3$. C. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}$ $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}$. D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$ $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Hình chiếu của SB lên (SAD) là SA nên $\widehat {\left( {SB,\left( {SAD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB,SA} \right)} = \widehat {BSA} = 60^\circ$ $\widehat {\left( {SB,\left( {SAD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB,SA} \right)} = \widehat {BSA} = 60^\circ$.

Ta có: $\tan \widehat {BSA} = \frac{{AB}}{{SA}} \Rightarrow SA = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {BSA}}} = \frac{a}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ $\tan \widehat {BSA} = \frac{{AB}}{{SA}} \Rightarrow SA = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {BSA}}} = \frac{a}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy thể tích khối chóp đã cho: ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{3}{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}$ ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{3}{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}$. Chọn C.

Ví dụ 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy $(ABCD)$. Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$bằng $45^0$ . Thể tích $v$ của khối chóp $S.ABCD$ .

A. ${a^3}\sqrt 3 .$ ${a^3}\sqrt 3 .$ B. $\frac{{{a^3}}}{3}.$ $\frac{{{a^3}}}{3}.$ C. $\frac{{{a^3}}}{2}.$ $\frac{{{a^3}}}{2}.$ D. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.$ $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.$

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Diện tích đáy: ${S_{ABCD}} = {a^2}$ ${S_{ABCD}} = {a^2}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot SB$ $\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot SB$;

. $\left\{ \begin{array}{l} BC = \left( {SBC} \right) \cap (ABCD)\\ AB \bot BC\,\,\,trong\,\,\,\left( {ABCD} \right)\\ SB \bot BC\,\,\,trong\,\,\,\left( {SBC} \right) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} BC = \left( {SBC} \right) \cap (ABCD)\\ AB \bot BC\,\,\,trong\,\,\,\left( {ABCD} \right)\\ SB \bot BC\,\,\,trong\,\,\,\left( {SBC} \right) \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left( {\widehat {(SBC),(ABCD)}} \right) = \left( {\widehat {SB,AB}} \right) = \widehat {SBA} = {45^0}$ $\Rightarrow \left( {\widehat {(SBC),(ABCD)}} \right) = \left( {\widehat {SB,AB}} \right) = \widehat {SBA} = {45^0}$

Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có:

Vậy $V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{3}.$ $V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{3}.$ Chọn B.

📘 Nội dung tài liệu còn tiếp tục, mời bạn tải bản đầy đủ để tham khảo chi tiết hơn.

Tải về

Chọn file muốn tải về: