Tính thể tích khối lăng trụ bằng các công thức cơ bản
Chuyên đề thể tích khối lăng trụ Toán 12
Thể tích khối lăng trụ là một trong những nội dung nền tảng của chương trình Hình học không gian lớp 12 và thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT dưới nhiều hình thức khác nhau. Để giải quyết nhanh các bài toán liên quan, học sinh cần nắm chắc công thức thể tích, hiểu rõ mối liên hệ giữa diện tích đáy và chiều cao, đồng thời biết cách khai thác các yếu tố hình học trong không gian. Bài viết này sẽ giúp bạn hệ thống kiến thức trọng tâm, công thức cần nhớ và phương pháp giải các dạng bài tập thể tích khối lăng trụ từ cơ bản đến nâng cao.
A. Công thức tính thể tích khối lăng trụ cần nhớ
- Thể tích khối lăng trụ với đường cao
\(h\) và diện tích đa giác đáy \(S_d\) là: \({V = h.{S_d}}\). - Thể tích khối hộp chữ nhật có ba cạnh a, b, c là \({V = abc}\).
- Thể tích khối lập phương có cạnh a là \({V = {a^3}}\).
Chú ý:
- Đối với lăng trụ đứng thì chiều cao cũng chính là cạnh bên của lăng trụ đó.
- Lăng trụ đều là lăng trụ đứng, có đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông v.v…).
- Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng, có hai đáy là các tam giác đều bằng nhau.
- Lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng, có hai đáy là các hình vuông bằng nhau.
B. Bài tập ví dụ minh họa tính thể tích khối lăng trụ có đáp án
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng \(a\). Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\) . B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\) . C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) . D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) .
Lời giải:
\(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đều nên đường cao cũng là cạnh bên, ta có: \(h = AA' = a\).
Đáy lăng trụ là tam giác đều nên có diện tích: \({S_d} = {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)
Thể tích khối lăng trụ: \({V_{ABC.A'B'C'}} = h.{S_d} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\). Chọn D.
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(E\). Biết \(AB = 3cm\), \(BC' = 3\sqrt 2 cm\). Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. \(\frac{{27}}{4}c{m^3}\) . B. \(27c{m^3}\) . C. \(\frac{{27}}{2}c{m^3}\) . D. \(\frac{{27}}{8}c{m^3}\) .
Lời giải:
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác vuông \(BCC'\) có \(CC' = \sqrt {B{{C'}^2} - B{C^2}}\)\(= \sqrt {18 - 9}\)\(= 3cm.\)
Diện tích đáy lăng trụ: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.3.3 = \frac{9}{2}c{m^2}\).
Thể tích khối lăng trụ là: \(V = CC'.{S_{\Delta ABC}} = 3.\frac{9}{2}\)\(= \frac{{27}}{2}c{m^3}\). Chọn C.
Ví dụ 2. Tính thể tích \(V\) của khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) biết \(AD' = 2a\sqrt 2\).
A. \(V = {a^3}\) . B. \(V = 8{a^3}\). C. \(V = 2\sqrt 2 {a^3}\). D. \(V = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}{a^3}\) .
Lời giải:
Hình vẽ minh họa:
Gọi cạnh của hình lập phương là \(x;(x>0)\).
Ta có: \(AD' = \sqrt {{x^2} + {x^2}} = x\sqrt 2\).
Theo đề:.\(AD' = 2a\sqrt 2 = x\sqrt 2 \Rightarrow x = 2a\)
Thể tích khối lập phương là \(V = {\left( {2a} \right)^3} = 8{a^3}\). Chon B,
Ví dụ 3. Tính thể tích \(V\) của khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) biết \(AB = AA' = a\) và \(AC = a\sqrt 5\).
A. \(V = {a^3}\sqrt 5\) . B. \(V = \frac{{2{a^3}}}{3}\) . C. \(V = {a^3}\) . D. \(V = 2{a^3}\) .
Lời giải:
Hình vẽ minh họa:
Ta có \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {5{a^2} - {a^2}} = 2a = AD\).
Thể tích khối hộp chữ nhật là \(V = AB.AD.AA' = a.2a.a = 2{a^3}\). Chọn D.
Ví dụ 4. Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) với các cạnh đáy là \(AB = a,\,\,AC = 2a,\,\,BC = a\sqrt 2\). Diện tích hình bình hành \(ABB'A'\) bằng \({a^2}\sqrt 3\) và mặt bên \(\left( {ABB'A'} \right)\) vuông góc với mặt đáy. Tìm thể tích lăng trụ đã cho.
A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{2}\) . B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{8}\) . C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt {21} }}{3}\) . D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt {21} }}{4}\) .
Lời giải:
Hình vẽ minh họa:
Vẽ đường cao AH của hình bình hành \(ABB'A'\), vì mặt bên \(ABB'A'\) vuông góc với mặt đáy nên AH cũng là đường cao của lăng trụ đã cho.
Ta có \({S_{ABB'A'}} = AH.AB \Rightarrow AH = \frac{{{S_{ABB'A'}}}}{{AB}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{a} = a\sqrt 3 .\)
Đặt \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{3a + a\sqrt 2 }}{2}\). Theo công thức Hê-rông:
\({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}.\)
Thể tích khối lăng trụ: \(V = AH.{S_{\Delta ABC}} = a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt {21} }}{4}\). Chọn D.
📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về.
------------------------------------------
Chuyên đề tính thể tích khối lăng trụ không chỉ là nội dung quan trọng trong chương trình Toán 12 mà còn là nền tảng để học sinh tiếp cận các bài toán thể tích khối đa diện phức tạp hơn. Khi nắm vững các công thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng xác định diện tích đáy, chiều cao, bạn sẽ dễ dàng giải quyết các câu hỏi vận dụng trong đề thi THPT Quốc gia. Việc luyện tập thường xuyên theo từng dạng bài sẽ giúp nâng cao tốc độ làm bài và tối ưu điểm số trong các kỳ thi quan trọng.
