Tính thể tích khối lăng trụ thông qua góc
Bài tập tính thể tích khối lăng trụ qua góc có đáp án
Trong các bài toán hình học không gian lớp 12, việc tính thể tích khối lăng trụ thông qua góc là một dạng toán quan trọng thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT và các kỳ thi đánh giá năng lực. Thay vì cho trực tiếp chiều cao, đề bài thường cung cấp các góc giữa cạnh bên với mặt đáy hoặc góc giữa các đường thẳng, yêu cầu học sinh vận dụng linh hoạt kiến thức lượng giác và hình học không gian để tìm thể tích. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững phương pháp giải, công thức thường dùng và các dạng bài tập tiêu biểu có đáp án chi tiết.
A. Công thức tính thể tích hình lăng trụ cần nhớ
- Thể tích khối lăng trụ với đường cao h và diện tích đa giác đáy Sđ là:
\({V = h.{S_d}}\). - Thể tích khối hộp chữ nhật có ba cạnh a, b, c là \({V = abc}\).
- Thể tích khối lập phương có cạnh a là \({V = {a^3}}\).
Chú ý:
- Đối với lăng trụ đứng thì chiều cao cũng chính là cạnh bên của lăng trụ đó.
- Lăng trụ đều là lăng trụ đứng, có đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông v.v…).
- Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng, có hai đáy là các tam giác đều bằng nhau.
- Lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng, có hai đáy là các hình vuông bằng nhau.
B. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Xét đường thẳng d cắt mặt phẳng ( P ) như hình vẽ. Ta tìm góc giữa d và ( P ) theo các bước sau:
-
Tìm M là giao điểm của d và ( P ).
-
Lấy A thuộc d và A khác M . Tìm hình chiếu vuông góc H của A trên ( P ).
-
Đường thẳng d’ qua hai điểm M , H chính là hình chiếu của d trên ( P ). Khi đó:
\({\left( {\widehat {d,\left( P \right)}} \right) = \left( {\widehat {d,d'}} \right) = \widehat {AMH}}\).
C. Góc giữa hai mặt phẳng
Xét hai mặt phẳng cắt nhau ( P ) và ( Q ), ta làm các bước sau để xác định góc giữa chúng:
-
Tìm giao tuyến d của ( P ) và ( Q ).
-
Tìm đường thẳng
\(a\) vuông góc d tại I trong mặt phẳng ( P ). Tìm đường thẳng b vuông góc d tại I trong mặt phẳng ( Q ). -
Góc cần tìm:
\(\left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right) = \widehat {AIB}\).
D. Bài tập ví dụ minh họa tính thể tích khối lăng trụ thông qua góc
Ví dụ 1. Cho khối lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\) , góc tạo bởi \(A'B\) và đáy bằng \(60^0\) . Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) .
A. \(\frac{{3{a^3}}}{4}\). B.\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\). C.\({a^3}\sqrt 3\). D.\(3{a^3}\).
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: \(AB\) là hình chiếu của \(A'B\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) .
Khi đó: \(\left( {\widehat {A'B,\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {A'B,AB}} \right) = \widehat {A'BA} = {60^0}\) .
Vì vậy: \(A'A = AB.\tan \widehat {A'BA} = a\sqrt 3\) .
Diện tích đáy lăng trụ: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) .
Thể tích khối lăng trụ là \(V = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{4}\) . Chọn A.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có hình chiếu \(A'\) lên \(mp\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(AB\), \(ABCD\) là hình thoi cạnh 2 a , góc \(\widehat {ABC} = {60^0}\) ,\(BB'\)tạo với đáy một góc \({30^0}\) . Tính thể tích hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) .
A.\({a^3}\sqrt 3\). B. \(\frac{{2{a^3}}}{3}.\) C.\(2{a^3}\). D. \({a^3}\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Ta có: \(\left( {\widehat {BB',\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {AA',\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {A'AH} = {30^0}\) (\(AH\) là hình chiếu của \(AA'\) trên \(mp\left( {ABCD} \right)\) ). Suy ra: \(A'H = AH.\tan {30^0} = a.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
Diện tích đáy lăng trụ (hình thoi): \({S_{ABCD}} = {(2a)^2}.\sin {60^0} = 4{a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2{a^2}\sqrt 3\) .
Vậy: \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}}\)\(= 2{a^2}\sqrt 3 .\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = 2{a^3}\). Chọn A.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB = AC = a\) . Biết rằng \(BC'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) một góc \(30^0\) . Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
A.\(2{a^3}\sqrt 6\). B.\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\). C .\(3{a^3}\sqrt 6\). D.\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot AC\\
AB \bot AA'
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow\) là hình chiếu của \(C'\) trên \(\left( {ACC'A'} \right)\) .
Do đó: \(\left( {\widehat {BC',\left( {ACC'A'} \right)}} \right) = \left( {\widehat {BC',AC'}} \right) = \widehat {AC'B} = {30^0}\)
Xét tam giác ABC’ vuông tại A có:
\(\tan {30^0} = \frac{{AB}}{{AC'}} \Rightarrow AC' = \frac{{AB}}{{\tan {{30}^0}}} = \frac{a}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = a\sqrt 3\)
Xét tam giác \(AA'C'\) vuông tại \(A'\) có:
\(AA' = \sqrt {A{{C'}^2} - A'{{C'}^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 .\)
Diện tích đáy lăng trụ: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}}}{2}.\)
Thể tích lăng trụ: \(V = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 2 .\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\) . Chọn D.
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\) , hình chiếu của \(A'\) lên mặt phẳng \((ABC)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Biết góc giữa cạnh bên với mặt đáy là \(60^0\) , hãy tính thể tích khối đa diện \(ABCA'C'\) .
A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) D.\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Gọi h là chiều cao của lăng trụ đã cho.
Ta có:
\({V_{ABCA'C'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{B.A'B'C'}}\)
\(= h.{S_{\Delta A'B'C'}} - \frac{1}{3}h.{S_{\Delta A'B'C'}}\)
\(= \frac{2}{3}h.{S_{\Delta A'B'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\)
Vì \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) nên: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4};\,\,AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \frac{2}{3}AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Theo giả thiết: \(\widehat {A'AG\,\,} = 60^\circ \Rightarrow A'G = AG.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3 = a\) .
Khi đó: \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'G.{S_{\Delta ABC}} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)
Do đó: \({V_{ABCA'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) .
Chọn C.
Ví dụ 4. Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có ABC là tam giác vuông tại \(B\) , \(AB = a;BC = a\sqrt 2\) . Mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) hợp với mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc \(30^0\) . Tính thể tích khối lăng trụ.
A.\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\) B.\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\). C.\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D.\(\frac{{3{a^3}}}{{\sqrt 6 }}\).
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot BB'
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot A'B\).
Do đó: \(\left\{ \begin{array}{l}
BC = \left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right)\\
AB \bot BC\,\,\,(trong\,\,\,(ABC))\\
A'B \bot BC\,\,\,(trong\,\,\,(A'BC))
\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left( {\widehat {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {A'B,AB}} \right) = \widehat {A'BA} = 30^\circ\)
\(A'A = AB.\tan {30^0} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}.\)
Diện tích đáy lăng trụ: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy thể tích khối lăng trụ: \(V = A'A.{S_{\Delta ABC}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\). Chọn B.
📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.
------------------------------------------------
FAQ
1. Vì sao có thể tính thể tích khối lăng trụ thông qua góc?
2. Những loại góc thường xuất hiện trong bài toán thể tích lăng trụ?
3. Công thức tính thể tích khối lăng trụ là gì?
------------------------------
Dạng toán tính thể tích khối lăng trụ thông qua góc không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy hình học mà còn nâng cao khả năng kết hợp nhiều kiến thức trong cùng một bài toán. Khi nắm vững phương pháp xác định chiều cao từ các yếu tố góc, bạn sẽ giải quyết nhanh chóng các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao trong đề thi Toán 12, từ đó nâng cao kết quả học tập và điểm số thi cử.
