Tính tỉ số thể tích khối chóp – Dạng toán trọng tâm ôn thi THPT Quốc gia

Phương pháp giải bài toán tỉ số thể tích khối chóp lớp 12

Tỉ số thể tích khối chóp là một trong những dạng toán quan trọng thuộc chuyên đề khối đa diện lớp 12, thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT và các kỳ thi đánh giá năng lực. Dạng toán này không chỉ kiểm tra khả năng vận dụng công thức thể tích mà còn yêu cầu học sinh khai thác hiệu quả các quan hệ tỉ lệ, tính chất đồng dạng và kỹ năng phân tích hình học không gian. Trong bài viết này, bạn sẽ được hệ thống đầy đủ phương pháp giải, công thức cần nhớ và các dạng bài tập tỉ số thể tích khối chóp thường gặp giúp nâng cao tốc độ và độ chính xác khi làm bài.

A. Các công thức tính tỉ số thể tích khối chóp cần nhớ

1. Tỉ số diện tích

Xét tam giác ABC với \(B';C'\) là các điểm lần lượt thuộc cạnh AB, AC, ta có: \({\frac{{{S_{\Delta AB'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{AB'}}{{AB}}.\frac{{AC'}}{{AC}}}\).

Nếu hai tam giác \(ABC,\,\,MNP$\) đồng dạng theo tỉ số k (tức là \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{NP}} = k\)) thì \({\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta MNP}}}} = {k^2}}\).

2. Định lí Thalet

Xét tam giác ABC và \(B'C'//BC\), ta có: \({\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}}\) và \({\frac{{AB'}}{{BB'}} = \frac{{AC'}}{{CC'}},\,\,\frac{{BB'}}{{BA}} = \frac{{CC'}}{{CA}}}\).

Ngược lại, nếu ta có \(\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}}\) thì suy ra được \(B'C'//BC\).

Mở rộng, cho  \(B'C'//BC\) , gọi \(h;h'\) lần lượt là các đường cao của tam giác \(AB'C',\,\,ABC\), ta có: \({\frac{{h'}}{h} = \frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = k}\) và \({\frac{{{S_{\Delta AB'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{AB'}}{{AB}}.\frac{{AC'}}{{AC}} = {k^2}}\).

3. Khối chóp có đáy tam giác

4. Khối chóp có đáy là hình bình hành (hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông)

Hình chóp có đáy là hình bình hành với \(\frac{{SM}}{{SA}} = x,\).\(\frac{{SN}}{{SB}} = y,\)\(\frac{{SP}}{{SC}} = z,\) \(\frac{{SQ}}{{SD}} = t\)(Nên nhớ: M, N, P, Q đồng phẳng).

Khi đó: \({\frac{{{V_{S.MNPQ}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{xyz + xyt + xzt + yzt}}{4}}\) và \({\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{t}}\).

5. Hình chóp có đáy là đa giác bất kỳ

Xét hình chóp có đáy là đa giác bất kỳ (xem hình minh họa). Giả sử: \(\left( {MNPQR} \right)\parallel \left( {ABCDE} \right)\) và tỉ số \(k = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{SR}}{{SE}}\). Khi đó: \({\frac{{{V_{S.MNPQR}}}}{{{V_{S.ABCDE}}}} = {k^3}}\).

B. Bài tập ví dụ minh họa tính tỉ số thể tích khối chóp có đáp án

Hướng dẫn giải:

Ta có bảng sau:

Ta có: \(\frac{{V'}}{V} = \frac{{h{a^2}\sqrt 3 }}{3}:\frac{{h{a^2}\sqrt 3 }}{{12}} = 4\). Vậy thể tích khối chóp tăng lên 4 lần. Chọn A.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{{V'}}{V} = \frac{{hab.\sin \varphi }}{{12}}:\frac{{hab.\sin \varphi }}{6} = \frac{1}{2}\). Do đó thể tích khối chóp đã giảm 2 lần sau khi thay đổi kích thước theo đề bài. Chọn C.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Ta có : \(SM = MA \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2}\); \(SN = 2NB \Leftrightarrow SN = 2\left( {SB - SN} \right)\)\(\Leftrightarrow 3SN = 2SB \Leftrightarrow \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3};\)\(SC = 3SP \Leftrightarrow \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{3}.\)

Vì vậy: \(\frac{{V'}}{V} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{9}\) suy ra  \(V' = \frac{V}{9}\). Chọn C.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: \(\frac{{{V_{AB'C'D}}}}{{{V_{ABC{\rm{D}}}}}} = \frac{{AB'}}{{AB}}.\frac{{AC'}}{{AC}}.\frac{{A{\rm{D}}}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.1 = \frac{1}{4}\). Chọn D.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Cách giải 1: Tự luận.

Hình chóp \(S.ABD\) có \(M,\,N,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,SB,\,SD\) nên: \(\frac{{{V_{S.MNQ}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\).

Hình chóp \(S.BCD\) có \(N,P,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SB,\,SC,\,SD\) nên: \(\frac{{{V_{S.NPQ}}}}{{{V_{S.BCD}}}} = \frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}}.\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\).

Do đó: \(\frac{{{V_{S.MNQ}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{{V_{S.NPQ}}}}{{{V_{S.BCD}}}} = \frac{{{V_{S.MNQ}} + {V_{S.NPQ}}}}{{{V_{S.ABD}} + {V_{S.BCD}}}} = \frac{{{V_{S.MNPQ}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{8}\). Chọn B.

Cách giải 2: Trắc nghiệm.

Ta có: \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{1}{2}\)\(\Rightarrow \frac{{{V_{S.MNPQ}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}.\).

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

\({V_{S.BCD}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{2}\) ( do \({S_{\Delta BCD}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\)).

 \(\frac{{{V_{S.BED}}}}{{{V_{S.BCD}}}} = \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{2}{3}\)\(\Rightarrow {V_{S.BED}} = \frac{2}{3}{V_{S.BCD}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\). Chọn B.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

--------------------------------------------------

Việc nắm vững phương pháp tính tỉ số thể tích khối chóp sẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả nhiều dạng toán từ cơ bản đến nâng cao trong chương trình Toán 12. Đây là chuyên đề có tính ứng dụng cao, thường xuyên xuất hiện trong các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao của đề thi THPT Quốc gia. Thường xuyên luyện tập các dạng bài về điểm chia cạnh, mặt cắt và khối chóp đồng dạng sẽ giúp bạn cải thiện kỹ năng tư duy không gian và tự tin đạt điểm số cao trong kỳ thi quan trọng sắp tới.