Tính tỉ số thể tích khối lăng trụ – Dạng toán trọng tâm ôn thi THPT Quốc gia
Tính tỉ số thể tích khối lăng trụ có đáp án chi tiết
Tính tỉ số thể tích khối lăng trụ là một trong những dạng toán hình học không gian quan trọng trong chương trình Toán 12 và thường xuyên xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT. Để giải nhanh và chính xác dạng bài này, học sinh cần nắm vững các công thức thể tích, kỹ thuật chia khối và các phương pháp suy luận hình học. Bộ bài tập Tính tỉ số thể tích khối lăng trụ có đáp án dưới đây sẽ giúp bạn rèn luyện tư duy, củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán hiệu quả.
A. Công thức tính thể tích khối lăng trụ cần nhớ
Lăng trụ có đáy tam giác
\(x = \frac{{AM}}{{AA'}},\,\,y = \frac{{BN}}{{BB'}},\,\,z = \frac{{CP}}{{CC'}}\)
Ta có: \({\frac{{{V_{ABC.MNP}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{{x + y + z}}{3}}\)
Lăng trụ đáy là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông (Lăng trụ này chính là hình hộp thường hoặc hình hộp chữ nhật, hình lập phương).
\(x = \frac{{AM}}{{AA'}},\,\,y = \frac{{BN}}{{BB'}},\,\,z = \frac{{CP}}{{CC'}},\,\,t = \frac{{DQ}}{{DD'}}\)
Ta có: \({\frac{{{V_{ABCD.MNPQ}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \frac{{x + y + z + t}}{4}}\) và \({x + z = y + t}\)
Chú ý: Ngoài những tỉ số thể tích được nêu trên, chắc chắn các em học sinh cần vận dụng thêm các phép lắp ghép đa diện (cộng – trừ thể tích đa diện) để giải quyết các loại toán này.
B. Bài tập ví dụ minh họa tính thể tích khối lăng trụ có đáp án
Ví dụ 1, Khi tăng độ dài tất cả các cạnh của một khối hộp chữ nhật lên gấp 3 thì thể tích khối hộp tương ứng sẽ:
A. t ăng 6 lần. B. tăng 18 lần.
C. tăng 9 lần. D. tăng 27 lần.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(\frac{{V'}}{V} = \frac{{27abc}}{{abc}} = 27\) . Do đó thể tích hình hộp chữ nhật tăng 27 lần nếu mỗi cạnh của nó tăng 3 lần. Chọn D.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) . Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(CC'\) và \(BB'\) . Tính tỉ số \(\frac{{{V_{ABCMN}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}\) .
A. \(\frac{1}{6}\) . B. \(\frac{1}{3}\) . C. \(\frac{1}{2}\) . D. \(\frac{2}{3}\) .
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Xét hai đa diện là \(\underbrace {ABC.AMN}_{ABCMN}\) với \(ABC.A'B'C'\) .
Ta đặt: \(x = \frac{{AA}}{{AA'}} = 0,\,\,y = \frac{{BM}}{{BB'}} = \frac{1}{2},\,\,z = \frac{{CN}}{{CC'}} = \frac{1}{2}\) .
Ta có: \(\frac{{{V_{ABC.AMN}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{{x + y + z}}{3} = \frac{{0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{3} = \frac{1}{3}\) .
Tức là \(\frac{{{V_{ABCMN}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{1}{3}.\) Chọn B.
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) , \(M\) là trung điểm của \(CC'\) . Mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Gọi \({V_1}\) là thể tích khối đa diện chứa đỉnh \(C\) và \({V_2}\) là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) .
A. \(\frac{1}{5}\) . B. \(\frac{1}{6}\) . C. \(\frac{1}{2}\) . D. \(\frac{2}{5}\)
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Cách giải 1: Tự luận.
Ta có:
\({V_1} = {V_{M.ABC}} = \underbrace {\frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}d\left( {C';\left( {ABC} \right)} \right).{S_{\Delta ABC}}}_{{\rm{Do}}\,\,\,CM = \frac{1}{2}CC'} = \frac{1}{6}{V_{ABC.A'B'C'}}\)
Khi đó: \({V_2} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_1} = {V_{ABC.A'B'C'}} - \frac{1}{6}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{5}{6}{V_{ABC.A'B'C'}}.\)
Từ đó ta có: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{1}{6}{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{\frac{5}{6}{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{1}{5}.\) Chọn A.
Cách giải 2: Trắc nghiệm.
Xét hai đa diện gồm \(\underbrace {ABC.ABM}_{ABCM}\) và \(ABC.A'B'C'\) .
Đặt \(x = \frac{{AA}}{{AA'}} = 0,\,\,y = \frac{{BB}}{{BB'}} = 0,\,\,z = \frac{{CM}}{{CC'}} = \frac{1}{2}\) .
Ta có: \(\frac{{{V_{ABC.ABM}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{{x + y + z}}{3} = \frac{1}{6}\)\(\Rightarrow {V_{ABC.ABM}} = \frac{1}{6}{V_{ABC.A'B'C'}}\)\(\Rightarrow {V_1} = \frac{1}{6}{V_{ABC.A'B'C'}}\) .
Suy ra: \({V_2} = \frac{5}{6}{V_{ABC.A'B'C'}}\) . Vì vậy: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{5}.\) .
Ví dụ 4. Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(M\), \(N\) lần lượt trung điểm \(AA'\) , \(CC'\) . \({V_1}\)là thể tích khối đa diện chứa đỉnh \(A\) và \({V_2}\) là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
A. 2 B. \(\frac{1}{2}.\) C. 1 D. \(\frac{2}{3}.\)
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Gọi \(V\) là thể tích khối hộp đã cho. Đặt \(x = \frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{1}{2},\,\,y = \frac{{BB}}{{BB'}} = 0,\,\,z = \frac{{CN}}{{CC'}} = \frac{1}{2},\,\,t = \frac{{DD'}}{{DD'}} = 1\) .
Khi đó: \(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{x + y + z + t}}{4} = \frac{{0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1}}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_1} = \frac{1}{2}V\) . Do đó \({V_2} = V - {V_1} = V - \frac{1}{2}V = \frac{1}{2}V\) .
Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{1}{2}V}}{{\frac{1}{2}V}} = 1\) . Chọn C.
📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.
---------------------------------------------------
FAQ
1. Tỉ số thể tích khối lăng trụ được tính như thế nào?
2. Dạng toán tỉ số thể tích khối lăng trụ có thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia không?
3. Muốn giải nhanh bài toán tỉ số thể tích cần nắm những kiến thức nào?
4. Những sai lầm thường gặp khi giải bài toán tỉ số thể tích là gì?
------------------------------------
Dạng toán tính tỉ số thể tích khối lăng trụ không chỉ giúp học sinh hiểu sâu về hình học không gian mà còn là công cụ quan trọng để giải quyết nhiều bài toán vận dụng trong đề thi THPT Quốc gia. Việc luyện tập thường xuyên các bài tập có đáp án chi tiết sẽ giúp bạn thành thạo phương pháp giải, tối ưu thời gian làm bài và gia tăng cơ hội đạt điểm cao môn Toán.
