Trắc nghiệm cực trị khoảng cách trong không gian Oxyz Phần 1

M thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình (P): .

Ghi CALC nhập tọa độ B, kết quả là 5, CALC nhập tọa độ C, kết quả là 10.

Gọi I là điểm sao cho . M là hình chiếu của I trên (P).

Ghi CALC (nhập tọa độ I) STO M, bấm AC

Ghi bấm = ta được .

Ta có .

Khi đó đi qua và vuông góc với .

Ghi CALC nhập tọa độ A, kết quả . CALC nhập tọa độ B, kết quả .

Ta có tỉ số . Tìm hình chiếu H, K của A, B trên (P).

Ghi bấm = STO B, Bấm 🞁 CALC nhập tọa độ A STO A.

Tọa độ M thỏa mãn .

Đến đây ta ghi: bấm = thì , sửa thành bấm = thì , sửa thành bấm = thì . Vậy .

Vẽ yếu tố phụ.

Vì A, B khác phía đối với mpnên lấy đối xứng với qua .

Vẽ , khi đó .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A’, C, M thẳng hàng.

Gọi là hình chiếu của A, B trên mp, độ dài . Suy ra .

Ta có thuộc mặt phẳng .

Ta có . Khi đó đi qua điểm .

Ghi CALC nhập tọa độ A, kết quả 18. CALC nhập tọa độ B, kết quả 9.

Tỉ số . Gọi C là giao điểm của đường thẳng AB với , M thuộc đoạn HK thỏa mãn bài toán, khi đó:

(Điểm I như hình vẽ). Suy ra I cố định và M thuộc đường tròn tâm E giao tuyến của mặt cầu đường kính CI với .

Ta cũng có CA = 2CB nên E là trung điểm CM.

Ta có .

Ta có . Tìm tọa độ H, K., ghi bấm = STO B.

Bấm 🞁 CALC nhập tọa độ A, STO A.

ghi bấm = kết quả . Suy ra .

Cần xác định vị trí M để MA + MB min. Phương trình (nháp)

Ghi CALC (thay A vào tử ) kết quả 20.

CALC (thay B vào tử ) kết quả 20. Đến đây gọi I(2; 4; 3) là trung điểm AB.

Bấm ⏴Trở về sửa thành CALC nhập kết quả .

Tổng quát - Tâm tỉ cự.

Ta có tỉ số . Hình chiếu , của A và B trên .

Điểm M thuộc thỏa mãn

.

Đến đây ta tìm được , .

Vậy .

Mặt cầu tâm , bán kính . Ta có .

Gọi H là trung điểm MN và chọn vị trí M, N như hình vẽ. Khi đó:

.

Khảo sát hàm số trên thì tại .

Gọi BH, CK là khoảng cách từ B, C đến . Gọi I(2; 0; -1) là trung điểm của BC.

ID là khoảng cách từ I đến , khi đó BHKC là hình thang có ID là đường trung bình nên BH + CK = 2ID

Ta có suy ra mặt phẳng nhận làm véc tơ pháp tuyến, phương trình và đi qua

Ghi CALC nhập ta có . CALC nhập có nên tỉ số .

Sửa lại là bấm = STO B, bấm 🞁 bấm CALC nhập lại STO A. Điểm M thuộc thỏa mãn

.

Đến đây ghi: bấm = thì , sửa thành bấm = thì , sửa thành bấm = thì . Do đó tọa độ .

Vậy .

Vào MENU 9 1 2 viết phương trình .

Mặt phẳng trung trực của AB là .

Mặt phẳng trung trực của CA là . Giải hệ ba ẩn ta có tâm đường tròn là .

Trục đường tròn là .

Mọi đều thỏa mãn giả thiết đã cho. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến , ta có . Khi đó .

Ta có , gọi . Điểm C bên trong .

Ta có

Suy ra và .

Gọi là trọng tâm tam giác ABC, là trung điểm của DE. Khi đó:

, mà là đường kính của mặt cầu tâm .

Ta có .

Vậy .

Phương trình chính tắc của (nháp).

Tính các khoảng cách lần lượt từ A, B đến d, nhập công thức

CALC (thay A vào tử của d) kết quả CALC (thay B vào tử của d) kết quả .

Do đó .

Đến đây gọi I(0; 3; 3) là trung điểm AB.

CALC nhập kết quả . Mặt khác .

Suy ra .

Phương trình là . Do tiếp xúc với nên ta có: . Khoảng cách từ đến là:

.

Suy ra

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

.

Mặt cầu có tâm và bán kính . Ta có nên cân.

Gọi là trung điểm của và ta có lớn nhất khi .

Do đó , suy ra , khi đó tiếp diện đi qua E và có vtpt và phương trình .

Cách 2.

Ta có suy ra và:

.

.

Dấu bằng xảy ra khi và ngược hướng, ta có , suy ra (Thỏa mãn ). Phương trình tiếp diện là: .

Ta có nằm một phía của . Gọi đối xứng với qua suy ra.

Ta có . Dấu bằng xảy ra khi .

Xác định được . Suy ra .

Cách 2. (Phương pháp quỹ tích + đại số)

Ta có , suy ra phương trình (Q) chứa A, B và vuông góc với (P) là:

. Nên giao tuyến .

Đến đây ta có:

, đạt được khi .

Khi đó tọa độ . Suy ra .

Gọi là tâm và bán kính mặt cầu, ta có .

Xét .

Đặt . Khi đó điểm C nằm trong mặt cầu, B ngoài mặt cầu và

.

.

Cách 2. (Tổng quát)

Tính nên .

Đặt , ta có: .

.

Dùng CASIO để tìm min, ta có

tại