Trắc nghiệm cực trị khoảng cách trong không gian Oxyz Phần 1

M thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình (P): .

Ghi CALC nhập tọa độ B, kết quả là 5, CALC nhập tọa độ C, kết quả là 10.

Gọi I là điểm sao cho . M là hình chiếu của I trên (P).

Ghi CALC (nhập tọa độ I) STO M, bấm AC

Ghi bấm = ta được .

Vào MENU 9 1 2 viết phương trình .

Mặt phẳng trung trực của AB là .

Mặt phẳng trung trực của CA là . Giải hệ ba ẩn ta có tâm đường tròn là .

Trục đường tròn là .

Mọi đều thỏa mãn giả thiết đã cho. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến , ta có . Khi đó .

Ghi CALC nhập tọa độ A, kết quả . CALC nhập tọa độ B, kết quả .

Ta có tỉ số . Tìm hình chiếu H, K của A, B trên (P).

Ghi bấm = STO B, Bấm 🞁 CALC nhập tọa độ A STO A.

Tọa độ M thỏa mãn .

Đến đây ta ghi: bấm = thì , sửa thành bấm = thì , sửa thành bấm = thì . Vậy .

Phương trình chính tắc của (nháp).

Tính các khoảng cách lần lượt từ A, B đến d, nhập công thức

CALC (thay A vào tử của d) kết quả CALC (thay B vào tử của d) kết quả .

Do đó .

Đến đây gọi I(0; 3; 3) là trung điểm AB.

CALC nhập kết quả . Mặt khác .

Suy ra .

Gọi là tâm và bán kính mặt cầu, ta có .

Xét .

Đặt . Khi đó điểm C nằm trong mặt cầu, B ngoài mặt cầu và

.

.

Cách 2. (Tổng quát)

Tính nên .

Đặt , ta có: .

.

Dùng CASIO để tìm min, ta có

tại

Trừ các vế hai mặt cầu, ta có phương trình , tức là mặt phẳng .

Hạ vuông góc với , tọa độ và .

Chọn thuộc đoạn , đặt .

Khi đó

.

Ta có nằm một phía của . Gọi đối xứng với qua suy ra.

Ta có . Dấu bằng xảy ra khi .

Xác định được . Suy ra .

Cách 2. (Phương pháp quỹ tích + đại số)

Ta có , suy ra phương trình (Q) chứa A, B và vuông góc với (P) là:

. Nên giao tuyến .

Đến đây ta có:

, đạt được khi .

Khi đó tọa độ . Suy ra .

Ghi CALC nhập tọa độ A, kết quả 18. CALC nhập tọa độ B, kết quả 9.

Tỉ số . Gọi C là giao điểm của đường thẳng AB với , M thuộc đoạn HK thỏa mãn bài toán, khi đó:

(Điểm I như hình vẽ). Suy ra I cố định và M thuộc đường tròn tâm E giao tuyến của mặt cầu đường kính CI với .

Ta cũng có CA = 2CB nên E là trung điểm CM.

Ta có .

Ta có . Tìm tọa độ H, K., ghi bấm = STO B.

Bấm 🞁 CALC nhập tọa độ A, STO A.

ghi bấm = kết quả . Suy ra .

Gọi BH, CK là khoảng cách từ B, C đến . Gọi I(2; 0; -1) là trung điểm của BC.

ID là khoảng cách từ I đến , khi đó BHKC là hình thang có ID là đường trung bình nên BH + CK = 2ID

Ta có suy ra mặt phẳng nhận làm véc tơ pháp tuyến, phương trình và đi qua

Gọi là trọng tâm tam giác ABC, là trung điểm của DE. Khi đó:

, mà là đường kính của mặt cầu tâm .

Ta có .

Vậy .

Ta có , gọi . Điểm C bên trong .

Ta có

Suy ra và .

Cần xác định vị trí M để MA + MB min. Phương trình (nháp)

Ghi CALC (thay A vào tử ) kết quả 20.

CALC (thay B vào tử ) kết quả 20. Đến đây gọi I(2; 4; 3) là trung điểm AB.

Bấm ⏴Trở về sửa thành CALC nhập kết quả .

Mặt cầu tâm , bán kính . Ta có .

Gọi H là trung điểm MN và chọn vị trí M, N như hình vẽ. Khi đó:

.

Khảo sát hàm số trên thì tại .

Ghi CALC nhập ta có . CALC nhập có nên tỉ số .

Sửa lại là bấm = STO B, bấm 🞁 bấm CALC nhập lại STO A. Điểm M thuộc thỏa mãn

.

Đến đây ghi: bấm = thì , sửa thành bấm = thì , sửa thành bấm = thì . Do đó tọa độ .

Vậy .

Ta có thuộc mặt phẳng .

Ta có . Khi đó đi qua điểm .

Mặt cầu có tâm và bán kính . Ta có nên cân.

Gọi là trung điểm của và ta có lớn nhất khi .

Do đó , suy ra , khi đó tiếp diện đi qua E và có vtpt và phương trình .

Cách 2.

Ta có suy ra và:

.

.

Dấu bằng xảy ra khi và ngược hướng, ta có , suy ra (Thỏa mãn ). Phương trình tiếp diện là: .

Ta có .

Khi đó đi qua và vuông góc với .

Phương trình là . Do tiếp xúc với nên ta có: . Khoảng cách từ đến là:

.

Suy ra

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

.

Gọi là hình chiếu của A, B trên mp, độ dài .

Ta chọn vị trí M, N thuộc đoạn HK như hình vẽ, đặt thì .

Khi đó , suy ra:

.